Interferenza e diffrazione

Nome file k:\scuola\didattica\corsi\corso fisica\ottica\interferenza.doc Creato il 23/05/2003 17.33.00
Elaborato il 20/09/2004 alle ore 22.58.25, salvato il 15/09/04 22.44
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stampato il 20/09/2004 22.58.00
Andrea Zucchini
Web: http://digilander.iol.it/profzucchini
Interferenza e diffrazione
Principio di Huygens
Tutti i punti su un fronte d’onda fungono da sorgenti puntiformi di onde
elementari sferiche, chiamate onde sferiche secondarie.
Dopo un tempo t la posizione del fronte d’onda sarà determinato
dall’inviluppo delle onde sferiche secondarie.
L'inviluppo può essere pensato come un modo di derivare una nuova curva basata su una famiglia di
curve. L'inviluppo di una famiglia di curve è una curva tale da risultare tangente a ciascun elemento
della famiglia di curve.
Sono presentate parabola ed ellisse come inviluppo delle tangenti.
Con il principio di Huygens si possono ricavare le leggi dell’ottica geometrica, per esempio la legge
di Snell. Osserviamo una serie di fronti d’onda a distanza λ che attraversano la superficie di
separazione di due mezzi; l’inclinazione dei raggi è interpretata come una variazione di velocità di
propagazione delle onde.
Nelle figure si capisce che nel vetro l’onda deve propagarsi a velocità inferiore, infatti quando un
fronte d’onda oltrepassa la superficie di separazione dei due mezzi il tempo impiegato in aria a
percorrere una lunghezza d’onda dovrà essere uguale al tempo impiegato nel vetro e quindi avremo
t=
λ1
v1
=
λ2
v2
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Osservando poi i triangoli hce e hcg avremo
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λ1
λ
= 2
sin θ1 sin θ 2
essendo hc l’ipotenusa dei due triangoli e quindi avremo
sin θ1 λ1 v1
=
= . Definendo poi indice di rifrazione il
sin θ 2 λ2 v2
rapporto fra velocità della luce nel vuoto e velocità nel mezzo
sin θ1
c
c v1 n2
e infine
o n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
=
=
v
sin θ 2 v2 c n1
avremo n =
Dalla relazione t =
λ1
v1
λ2
=
possiamo ricavare la variazione
v2
della lunghezza d’onda in un mezzo confrontandola con quela
nel vuoto
λn
v
=
λ
da cui λn = λ
c
avremo infine λn =
λ
n
v
c
e dalla relazione n =
v
c
che ci dice che la luce in un mezzo
diverso dal vuoto si propaga a velocità inferiore a c.
Conseguenza di quest’ultima relazione è che se diferenti raggi
compiono differenti attraverso mezzi di diversi indici di rifrazione o di differenti lunghezze i fronti
d’onda possono venir modificati e apparire con fasi differenti.
Se la stessa lunghezza L viene percorsa da due onde attraversando materiali differenti si avrà
N1 =
L
λn
=
1
N 2 − N1 =
L
λ
L
λ
n1 e N 2 =
L
=
λn
2
n2 −
L
λ
n1 =
L
λ
L
λ
n2 e lo sfasamento conseguente sarà quantificabile come
(n2 − n1 )
Si potrebbe analizzare lo sfasamento provocato anche da lunghezze differenti di percorsi in materiali
differenti:
N1 =
L1
λn
=
1
N 2 − N1 =
L1
λ
L2
λ
n1 e N 2 =
L2
λn
2
n2 −
L1
λ
n1 =
1
λ
=
L2
λ
n2 e lo sfasamento conseguente sarà quantificabile come
(L2 n2 − L1n1 )
La quantità Li ni è chiamata cammino ottico.
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Diffrazione
Il fenomeno della diffrazione, tipicamente ondulatorio, si presenta quando un’onda incide su una
fenditura di dimensioni d confrontabili con la lunghezza d’onda λ ,
d
λ
≈ 1 , mentre all’aumentare della
dimensione della fenditura gli effetti della diffrazione risultano sempre meno evidenti.
Per il principio di Huygens ogni punto della fenditura diventa sorgente di onde sferiche secondarie il
cui inviluppo risulta più prossimo alla forma circolare (o sferica nelle 3D) quando la fenditura risulta
più piccola.
Esperimento di Young
1801 Thomas Young
Due fenditure vengono investite da luce diffratta
da una fenditura precedente; le onde sferiche
secondarie prodotte alle fenditure S1 e S 2
interferiscono formando sullo schermo successivo
C un sistema di righe alternativamente chiare e
scure, detto figura di interferenza, che indicano
l’intersezione delle linee nodali con il pinao e
soprattutto la natura ondulatoria della luce.
Senza quest’ultima ipotesi non sarebbe spiegabile
questa ridistribuzione della radiazione.
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Le frange d’interferenza sono determinate dalla differenza di
fase tra le onde provenienti dalle due fenditure.
Dalla figura 36-8 risulta chiaro che
∆L = d ⋅ sin θ = mλ frangie luminose
1⎞
⎛
∆L = d ⋅ sin θ = ⎜ m + ⎟λ frangie scure
2⎠
⎝
con m = 0,1,2,......
Coerenza
Fondamentale per la formazione della figura d’interferenza è
che la differenza di fase si mantenga costante, altrimenti se le
due sorgenti S1 e S 2 emettessero onde con fasi casuali e
scorrelate si avrebbe un’illuminamento dello schermo C
omogeneo, ad esempio si potrebbe pensare di sostituire le
due sorgenti S1 e S 2 illuminate dalla stessa fonte di luce con
sorgenti indipendenti ma non si potrebbero osservare le figure d’interfenreza.
Intensità nell’interferenza a doppia fenditura
Ricordando che l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza, si avrà
2πd
⎛1 ⎞
I = 4 I 0 cos 2 ⎜ φ ⎟ con φ =
sin θ
λ
⎝2 ⎠
infatti consideriamo due onde, o meglio i campi
elettrici di due onde coerenti
E1 = E0 sin (ωt ) e E2 = E0 sin (ωt + φ )
e scriviamone la somma
E1 + E2 = E0 [sin (ωt ) + sin (ωt + φ )]
che per la prostaferesi darà
⎡ ⎛
φ ⎞ ⎛ φ ⎞⎤
φ⎞
⎛ φ⎞ ⎛
2 E0 ⎢sin⎜ ωt + ⎟ cos⎜ − ⎟⎥ = 2 E0 cos⎜ − ⎟ sin⎜ ωt + ⎟
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ 14
23⎠ ⎝
2⎠
⎣ ⎝
42⎝44
ampiezza
⎛ φ⎞
⎛φ ⎞
Per calcolare l’intensità, ricordando che cos⎜ ⎟ = cos⎜ − ⎟ avremo
⎝ 2⎠
⎝2⎠
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2
⎡
⎛ φ ⎞⎤
⎛φ ⎞
2
2 E0 cos⎜ ⎟⎥
4 E0 cos 2 ⎜ ⎟
⎢
2
I
E
⎝ 2 ⎠⎦
⎝ 2 ⎠ = 4 cos 2 ⎛ φ ⎞
= 2 =⎣
=
⎜ ⎟
2
2
I 0 E0
E0
E0
⎝2⎠
da cui infine
⎛1 ⎞
I = 4 I 0 cos 2 ⎜ φ ⎟
⎝2 ⎠
con
φ
d ⋅ sin θ
=
2π
λ
da cui
φ=
2πd
λ
sin θ
Metodo dei vettori di fase
Date due onde descritte come in precedenza da
E1 = E0 sin (ωt ) e E2 = E0 sin (ωt + φ ) e fissato un istante
t la differenza di fase sarà φ e tale resterà al
trascorrere del tempo.
Essendo 2 β = φ avremo che
⎛φ ⎞
E = 2 E0 cos(β ) = 2 E0 cos⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛φ ⎞
2
E 2 = 4 E0 cos 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
2
da cui
I
E
= 2
I 0 E0
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⎛φ ⎞
2
4 E0 cos 2 ⎜ ⎟
I
⎝ 2 ⎠ = 4 cos 2 ⎛ φ ⎞ e quindi I = 4 I cos 2 ⎛ 1 φ ⎞
e quindi infine
=
⎜
⎟
⎜ ⎟
0
2
I0
E0
⎝2 ⎠
⎝2⎠
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Interferenza su pellicole sottili
Quando un raggio incide su una pellicola sottile di
materiale trasparente la riflessione e la rifrazione
“sdoppiano” il raggio originale in due raggi , r1 e r2 ,
che potrebbero trovarsi non più in fase.
Assumiamo di considerare l’angolo θ = 0 essendo
comunque molto piccolo.
La differenza di cammino del raggio sarà ≈ 2 L .
L‘origine dello sfasamento tra i raggi potrà quindi essere dovuto:
1. alla differente lunghezza dei percorsi e/o all’attraversamento di
materiali di differente indice di rifrazione (diverso camino
ottico)
2. alla riflessione nel passaggio n2 > n1 U n2 > n3 (sfasamento
λ
2
:
equivale al ribaltamento dell’impulso di un’onda che incontra ad
un suo estremo un nodo che fa azione e reazione)
Va sottolineato che la rifrazione in sé non genera mai sfasamento
Se cerchiamo quindi la condizione di massimo d’interferenza dovremo avere che l’attraversamento
della pellicola genera uno sfasamento equivalente a
λ
2
avuto per riflessione dal raggio r1 ma
dovremo anche tenere conto che la lunghezza d’onda nel materiale della lamina è λn =
λ
n
e quindi
arriviamo alle seguenti formule:
2L =
λ
2n2
(2m + 1) con
m = 0,1,2,......
costruttiva
mentre avremo interferenza distruttiva (minimo) quando l’attraversamento della pellicola genera
uno sfasamento nullo
2L = m
λ
n2
con m = 0,1,2,......
distruttiva
Chiaramente solo alcune lunghezze d’onda soddisferanno le relazioni indicate; la relazione
d’interferenza costruttiva ci fornisce la possibilità di individuare le lunghezze d’onda che si vedono
“brillare” su una lamina sottile quando illuminata con luce bianca.
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Se la pellicola è molto sottile (L < 0.1λ ) gli effetti dell’attraversamento della lamina sono trascurabili
rispetto allo sfasamento di
λ
2
generato dalla riflessione e dato che le onde sono tutte in opposizione
di fase la lamina appare scura.
Nell’immagine la pellicola è più spessa in basso che in alto e quindi lì appare scura.
.
7/7