La sezione aurea - Istituto Comprensivo di S.Pietro in Cariano (VR)

LABORATORIO DI
MATEMATICA E INFORMATICA
CLASSE 3°D
ANNO SCOLASTICO 2006-2007
Introduzione
Durante l’anno scolastico 2006 – 2007 la nostra classe, nell’ambito dell’organizzazione con 33 ore
settimanali, ha lavorato per tutto l'anno (un’ora alla settimana) al progetto del laboratorio di
matematica-informatica proposto e organizzato dalla prof. ssa Emmanuela Chignola.
Il nostro lavoro ha affrontato il tema della Sezione Aurea: ecco come viene presentato da Johannes
Kepler (1571 - 1630):
" La geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora, l'altro è la Sezione Aurea
di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d'oro, il secondo lo
possiamo definire un prezioso gioiello".
La Sezione Aurea (i nomi storici sono anche "Divina Proportione" o "Numero Aureo") è un numero che
si indica con la lettera greca φ (fi): il suo valore (φ = 1,6180339887) è noto fin dall'antichità e ha
influenzato da sempre il lavoro di architetti, pittori e scultori. Non solo: la Sezione Aurea è alla base,
in natura, della disposizione delle foglie sui rami, dei semi nei girasoli, delle brattee legnose nelle
pigne, fino alla curva di accrescimento delle ammoniti.
Iniziamo il nostro percorso dalle biografie di due importanti matematici: Pitagora e Fibonacci.
Pitagora
Pitagora nacque all’incirca nel 575 a.c. nell'isola di Samo (nell'Egeo orientale, poco lontano dalle coste
della Turchia). A proposito della sua formazione, la maggior parte degli autori afferma che egli avrebbe appreso le scienze chiamate matematiche dagli Egizi, dai Caldei e dai Fenici: gli Egizi, infatti,
da tempi immemorabili, si erano occupati di geometria, i Fenici dei numeri e della scienza dei calcoli, i Caldei dello studio del cielo. Intorno al 530 a.c. si stabilì in Magna Grecia a Crotone (sulla costa ionica della Calabria) dove fondò la famosa scuola che prende il suo nome: si trattava in realtà di una vera e propria setta regolata da
precetti rigidissimi. Gli ambiti del suo pensiero hanno investigato tutto il sapere dell’epoca, che può essere suddiviso nelle
seguenti discipline:
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Musica
Aritmetica
Filosofia
Geometria
Astronomia
MUSICA
Un aneddoto racconta che Pitagora stava passeggiando per Crotone quando, udendo i suoni che
venivano dalla bottega di un fabbro,si accorse che alcuni erano consonanti e altri erano invece
dissonanti. Confrontando i pesi dei martelli che battevano sull’incudine scoprì che i suoni consonanti
erano prodotti da martelli i cui pesi erano in relazione numerica fra loro.
Peso martello 1 Peso martello 2
500
500
800
1000
750
600
Rapporto pesi
1:2
2:3
4:3
Suono martello Suono martello
1
2
sol
sol
do
sol
do
fa
Rapporto fra le
note
ottava
quinta
quarta
Attraverso la musica Pitagora scopre il numero 5 che rappresenta l’intervallo fra note piacevoli da
ascoltare insieme.
Compie molti studi sulla lunghezza necessaria di corde e sul loro diametro affinché producano
determinati suoni e scopre che queste relazioni sono esprimibili attraverso rapporti e quindi numeri
frazionari.
ARITMETICA
Il numero, secondo Pitagora, è lo strumento che permette di leggere la
realtà. Il numero cardine della conoscenza è il cinque (il pentagramma è il
simbolo della scuola pitagorica). Introduce la distinzione fra numeri pari
e numeri dispari e il concetto di numero quadrato.
FILOSOFIA
Pitagora ha introdotto il concetti di metempsicosi: il corpo è una gabbia per l’anima dalla quale
l’anima stessa deve liberarsi. Compiuto questo processo l’anima potrà trasmigrare in un altro corpo
(reincarnazione).
GEOMETRIA
In questo ambito Pitagora è famoso per il noto teorema
che prende il suo nome: la somma delle aree dei
quadrati costruiti sui cateti è equivalente all’area del
quadrato costruito sull’ipotenusa.
ASTRONOMIA
Oltre ovviamente alla Terra e all’insieme delle “stelle fisse”, al tempo di Pitagora erano conosciuti i
seguenti corpi celesti:
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ LUNA
MERCURIO
VENERE
SOLE
MARTE
GIOVE
SATURNO
Abbiamo scritto questi corpi celesti nell’ordine in cui appaiono a un osservatore posto sulla Terra:
poiché questi corpi sono sette, come le note musicali, Pitagora applicò la sua teoria del numero
cinque a questa successione.
Contando per cinque partendo dalla Luna si ottiene il seguente ordine:
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ LUNA
MARTE
MERCURIO
GIOVE
VENERE
SATURNO
SOLE
(lunedì)
(martedì)
(mercoledì)
(giovedì)
(venerdì)
(sabato)
… che è quello ancora oggi noi usiamo per la successione dei giorni della settimana!
LEONARDO PISANO (DETTO FIBONACCI)
Leonardo Pisano nacque a Pisa nel 1170circa. Ancora fanciullo seguì il padre Guglielmo dei Bonacci che in Algeria curava gli interessi dei mercanti
pisani. Qui ebbe contatti con il mondo dei mercanti e imparò tecniche matematiche allora sconosciute in Occidente. Si deve a Fibonacci (filius Bonacci) l'introduzione in Europa delle cifre arabe e del sistema di
numerazione posizionale, permesso dal numero zero, mai utilizzato fino ad allora. Fibonacci è conosciuto anche per la sua famosa serie.
La serie di Fibonacci si ottiene a partire dai numeri 0 e 1: ogni numero successivo si ricava dalla somma dei due numeri precedenti.
0 1 1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1 + 0 1 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 5 5 + 8 8 + 13 13 + 21 21 + 34 34 + 55 Una particolarità presentata dalla serie si trova nel rapporto fra due numeri successivi: il valore del rapporto si avvicina al valore 1,618 che è la sezione aurea ( SECTIO AUREA ).
La Serie di Fibonacci può essere considerata anche sotto l’aspetto geometrico, individuando in ogni numero della serie la misura del lato di un quadrato:
Se si congiungono i due vertici opposti di ogni quadrato tramite un arco di cerchio potremo ottenere
una spirale logaritmica:
Piccolo approfondimento sul logaritmo
La potenza è un’operazione composta da due numeri: la base e l’esponente. Questa operazione non
gode della proprietà commutativa e questo determina la presenza di due operazioni inverse: la radice
e il logaritmo.
operazione diretta:
102 = 100
operazioni inverse:
radice
2
100 = 10
logaritmo
log10100 = 2
La spirale logaritmica in natura
Molto numerosi sono gli esempi, sia in animali che in piante, in cui troviamo degli accrescimenti che
rispettano esattamente la spirale logaritmica o, in altri termini, che rispettano esattamente la Serie di
Fibonacci: qui sotto abbiamo riportalo la conchiglia di un nautilus, una pianta grassa, un cavolfiore
romano, una pigna e un girasole.
La Sezione Aurea
E’ il punto di arrivo del nostro lavoro; questo numero così famoso fin dall’antichità nasce proprio
dalla Serie di Fibonacci, e precisamente calcolando il rapporto fra due numeri successivi della serie:
55 : 34 = 89 : 55 = 144 : 89 = 233 : 144 = 1,618
Come abbiamo visto troviamo la SEZIONE AUREA in molti ambiti del mondo naturale.
Proprio perché anche nel passato gli uomini avevano riconosciuto il valore di questo rapporto, la Sezione Aurea è stata presa a riferimento sia in architettura (dai templi greci all’architettura
romanica fino a quella contemporanea) sia nella pittura (ad esempio la Gioconda di Leonardo da
Vinci), sia nella scultura; qui si potrebbe aprire un altro approfondimento, che per noi non è possibile
sviluppare per motivi di tempo.
Per concludere riportiamo un brano tratto dal libro “Il codice Da Vinci” di Dan Brown che ben sintetizza tutto il nostro argomento: ... All'improvviso gli parve di essere ritornato ad Harvard, davanti ai suoi studenti del corso “il simbolismo nell'arte” e di scrivere alla lavagna il suo numero preferito 1,618. Langdon si era voltato verso la sua aula piena di studenti ansiosi. “Chi mi sa dire che numero è?”.
Un diplomato in matematica, nelle ultime file, aveva alzato la mano. “Il numero phi “. Lo pronunciava “fi”.
“Bene, Stettner” aveva commentato Langdon. “Signori, vi presento phi .Da non confondere con il pi greco” aveva commentato Stettner, sorridendo “come diciamo noi matematici, il phi è di un'acca più
interessante del pi”.
Langdon aveva riso, ma nessun altro aveva capito la battuta. Stettner era tornato a sedere deluso.
“Questo numero phi” aveva continuato Langdon, “uno virgola seicentodiciotto, è un numero molto
importante per l'arte. Chi mi sa dire il perché?”
Stettner aveva cercato di riabilitarsi. “Perchè è bello?”. Tutti avevano riso. “A dire il vero” aveva commentato Langdon ”Stettner ha di nuovo ragione. In genere phi è considerato il
più bel numero dell'universo”.
Le risate erano cessate e subito Stettner aveva sorriso. Mentre caricava il proiettore delle diapositive, Langdon aveva spiegato che il numero “phi” proviene
dalla sequenza di Fibonacci, una progressione famosa non solo perché la somma di due termini adiacenti era uguale al termine successivo, ma perché il quoziente di due numeri adiacenti tendeva sorprendentemente al valore 1, 618, phi!
Nonostante la bizzarra origine matematica del phi, aveva spiegato Langdon, il suo più sorprendente
aspetto era il suo ruolo di mattone fondamentale della natura. Piante, animali e persino uomini
avevano misure che rispettavano esattamente il rapporto tra phi e uno.
”L'onnipresenza del phi in natura” aveva detto Langdon mentre spegneva la luce ”va chiaramente al di
là delle coincidenze e perciò gli antichi pensavano che fosse stato stabilito dal Creatore dell'universo. I
primi scienziati la chiamarono “ proporzione divina” .
” Un momento,” aveva detto una giovane donna seduta in prima fila. “Io sono diplomata in biologia e non ho mai visto questa divina proporzione in natura.”
“No?” Langdon aveva sorriso. “Non ha mai studiato il rapporto tra femmine e maschi in un alveare?”
”Certo, le femmine sono sempre in numero superiore ai maschi”.
“Esatto. E sa che in qualsiasi alveare se si prende il numero delle femmine e lo si divide per quello dei
maschi si ottiene sempre lo stesso numero?”
“Davvero?”
“Si, Il numero del phi”.
La ragazza era rimasta a bocca aperta. “Non è possibile!” - “Certo che lo è!” aveva ribattuto Langdon, sorridendo, e aveva proiettato la diapositiva di una conchiglia. “Riconosce questa?” “E' un nautilus” aveva detto la diplomata in biologia “un mollusco cefalopode che pompa gas nelle camere della sua
conchiglia per regolare la spinta di galleggiamento.” - “ Esatto: e mi sa dire il rapporto tra il diametro di
una spira e quello della successiva?”
La ragazza aveva guardato con aria incerta le curve concentriche della spirale del nautilus. Langdon aveva annuito. “Phi, la proporzione divina, uno virgola seicentodiciotto a uno.” La ragazza l'aveva guardato con aria stupita. Langdon era passato alla successiva diapositiva, l'ingrandimento dei semi di un girasole. “I semi di
girasole crescono secondo spirali opposte. Chi sa dire il rapporto tra una rotazione e la successiva?”
“Il numero phi?” avevano chiesto tutti.
“Tombola!”
Langdon aveva continuato a proiettare altre diapositive, ma assai più in fretta: una pigna e la sua
suddivisione secondo due serie di spirali, la disposizione delle foglie sui rami, i segmenti di alcuni
insetti. Tutti rispettavano in modo stupefacente la proporzione divina.
“Incredibile” aveva esclamato qualcuno. “D'accordo,” aveva commentato qualcun altro “ma cosa
c'entra con l'arte?”
“Ah!” aveva esclamato Langdon, “sono lieto che l'abbia chiesto”. Proiettò un'altra diapositiva: una
pergamena ingiallita in cui si scorgeva il famoso nudo maschile di Leonardo da Vinci, l'uomo
vitruviano, così chiamato dal nome di Marco Vitruvio, il grande architetto romano che aveva tessuto
le lodi della proporzione divina nel suo libro De Architectura.
“Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano. Leonardo
disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea umana. Fu il primo a
mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito di elementi che stanno tra di loro in rapporto di
phi”.
Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa. “Non mi credete?” li aveva sfidati Langdon , “la prossima
volta che fate la doccia, portatevi un metro”.
Un paio di giocatori di football avevano riso di lui. “Non soltanto voi scimmioni insicuri” aveva
continuato Langdon. “Tutti, maschi e femmine. Fate la prova. Misurate la vostra altezza poi dividetela
per la distanza da terra del vostro ombelico. Indovinate che numero si ottiene.”
“Non phi!” aveva detto uno degli “scimmioni”. “Proprio phi, invece” aveva risposto Langdon. “Uno
virgola seicentodiciotto. Volete un altro esempio? Misurate la distanza dalla spalla alla punta delle dita
e dividetela per la distanza dal gomito alla punta delle dita. Di nuovo phi. Altro esempio? Dal fianco al
pavimento diviso per la distanza dal ginocchio al pavimento. Di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le
sezioni della colonna vertebrale, ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è il tributo ambulante alla
proporzione divina.”(...)
Gli alunni della III B a. s. 2006-‘07