Sistemi passivi - LAR-DEIS

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Introduzione
Sistemi Passivi e Sistemi Dissipativi
Una breve introduzione alla
Teoria della passività
Claudio Melchiorri
Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica (DEIS)
Università di Bologna
email: [email protected]
Claudio Melchiorri
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Introduzione
Passività: concetti generali
Sommario
1
Introduzione
2
Claudio Melchiorri
2 / 35
Introduzione
Bibliografia:
1
A. van der Schaft, L2 -Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control,
Springer-Verlag, 2000
2
R. Lozano, B. Brogliato, O. Egeland, B. Maschke, Dissipative Systems: Analysis
and Control, Springer-Verlag, 2000
3
R. Ortega, A. Lorı̀a, P.J. Nicklasson, H. Sira-Ramirez, Passivity-Based Control of
Euler-Lagrangian Systems, Springer-Verlag, 1998
4
V. Duindam, A. Macchelli, S. Stramigioli, H. Bruyninckx, (Eds.), Modeling and
Control of Complex Physical Systems: The Port-Hamiltonian Approach,
Springer-Verlag, 2009
5
C.I. Byrnes, A. Isidori, J.C. Willems, Passivity, Feedback Equivalence, and the
Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems, IEEE Trans. on Aut.
Control, Vol. 36, pp. 1228-1240, 1991.
6
M.V. Popov, Hyperstability of Automatic Control Systems, Editura Academiei
Rep. Soc. Romania, Bucharest, 1966, (romanian).
7
P.C. Parks, Lyapunov Redesign of Model Reference Adaptive Control Systems,
IEEE Trans. Aut. Control, Vol. 11, pp. 362-367, 1966.
8
J.C. Willems, Dissipative Dynamical Systems – Part I: General Theory, Arch.
Rational Mechanics and Analysis, Vol. 45, pp. 321-351, 1972.
9
Y.D. Landau, Adaptive Control, New York: Marcel Dekker, 1979.
10
C.A. Desoer, M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input-Output Properties,
Academic Press, 1975.
Claudio Melchiorri
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Introduzione
Passività
La passività rappresenta uno strumento generale molto elegante e potente per
l’analisi di sistemi dinamici, lineari e non lineari, e per il progetto di sistemi di
controllo.
Originariamente, i concetti di passività sono stati sviluppati nell’ambito della
teoria dei circuiti, e applicati nei controlli dai lavori di Popov negli anni ’60.
Nello studio delle proprietà legate alla passività, ci si basa su di una descrizione
ingresso/uscita del sistema e su considerazioni energetiche.
u
-
Claudio Melchiorri
G
y
-
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Introduzione
Passività
Concetti legati alla “passività” si ritrovano in molte aree della scienza:
matematica, fisica, elettronica, controllo, robotica, ...
Rappresentano strumenti che si sono rilevati utili o indispensabili nella
soluzione di complessi problemi di controllo: attenuazione attiva di vibrazioni,
sistemi elettromeccanici, motori a combustione, sviluppo di tecniche di
controllo (es.: controllo adattativo, H2 , ...)
L’idea principale alla base di questi studi è che molti sistemi fisici hanno
deteminate caratteristiche comuni I/O legate alla conservazione, al trasporto e
alla dissipazione dell’energia, caratteristiche che permettono una
generalizzazione e lo sviluppo di strumenti di analisi e sintesi molto potenti e
generali.
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Introduzione
Studiando sistemi passivi, è a volte opportuno riferirsi a modelli (sia nello
spazio degli stati che con relazioni ingresso/uscita) che riflettano le
caratteristiche di dissipazione del sistema.
Si devono introdurre opportune funzioni e definizioni:
energia entrante nel sistema;
energia immagazzinata dal sistema;
energia dissipata dal sistema.
Alcune caratteristiche dei sistemi passivi:
la robustezza intrinseca di sistemi passivi (utile in fase di progetto);
l’interconnessione di sistemi passivi rimane ancora passiva;
le considerazioni legate alla passività possono essere di guida anche nella
scelta delle variabili di uscita (scelta/posizionamento di sensori di misura);
la passività è direttamente collegabile alla stabilità (e.g. le funzioni di
Lyapunov sono spesso determinate sulla base di considerazioni
energetiche).
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Introduzione
Esempio 1: Circuito elettrico.
Dalle leggi di Kirhoff:
Z t
di
1
i (τ )dτ + L
v = Ri +
C 0
dt
da cui (moltiplicando per i )
Z t
1
di
vi = Ri 2 + i
i (τ )dτ + Li
C 0
dt
ovvero, definendo V = VC + VL (energia totale del circuito)

Z t
 VC
d
1
L 2
2
2
i (τ )dτ ) + i
(
= V̇ = vi − Ri
=⇒

dt 2C 0
2
VL
R
( 0t i (τ )dτ )2
=
1
2C
=
L 2
i
2
e integrando:
V (t) = V (0)+
Z
t
v (τ )i (τ )dτ −
0
Z
t
2
Ri (τ )dτ =⇒
0
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 Rt
 0 v (τ )i (τ )dτ

Rt
0
Ri 2 (τ )dτ
→
energia fornita
→
energia dissipata
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Introduzione
Esempio 2: Sistema meccanico
mẍ + b ẋ + kx = f
Energia del sistema:
V (x, ẋ ) =
1
1
mẋ 2 + kx 2
2
2
(≥ 0)
Derivando la funzione V :
d
V (x, ẋ)
dt
=
mẋ ẍ + kx ẋ
=
f ẋ − b ẋ 2
e integrando V̇ rispetto al tempo:
V (x(t), ẋ(t)) = V (x(0), ẋ(0)) +
Claudio Melchiorri
Z
t
f (τ ) ẋ(τ )dτ −
0
Z
t
b ẋ 2 (τ )dτ
0
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Introduzione
Esempio 2: Sistema meccanico
mẍ + b ẋ + kx = f
Se f = 0, b = 0
=⇒
V = cost = V (x(0), ẋ(0))
Se b ≥ 0 e V (x(0), ẋ(0)) > 0, allora
Z t
f (τ )ẋ(τ )dτ ≥ −V (x(0), ẋ(0))
(mẍ + kx = 0)
(1)
0
ovvero
−
Z
t
f (τ )ẋ(τ )dτ ≤ V (x(0), ẋ(0))
0
=⇒ l’energia totale che può essere estratta dal sistema è limitata dall’energia
iniziale del sistema stesso.
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Introduzione
In termini di trasformate di Laplace, si ha che
(ms 2 + bs + k)x(s) = f (s)
=⇒
G (s) =
s
v (s)
=
f (s)
ms 2 + bs + k
Questa funzione di trasferimento è stabile e (per s = jω) ha fase in modulo
sempre inferiore o uguale a 90o :
|arg {G (jω)}| ≤ 90o
=⇒
Re{G (jω)} ≥ 0
gain
Nyquist diagram
1
10
0.8
0
0.6
db
20
0.4
−10
−20
−1
10
0.2
0
1
10
10
rad/sec
0
phase
degrees
100
−0.2
50
−0.4
0
−0.6
−50
−100
−1
10
−0.8
0
1
10
10
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rad/sec
Queste proprietà sono una conseguenza della (1), e possono essere di grande
importanza per il progetto di un controllore.
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Introduzione
Circuito RLC:
Il circuito RLC ha come fdt
Gc (s) =
s
i(s)
= 2
v (s)
Ls + Rs + C
che risulta stabile e che (per s = jω) ha fase in modulo sempre inferiore o
uguale a 90o :
|arg {Gc (jω)}| ≤ 90o
Claudio Melchiorri
=⇒
Re{Gc (jω)} ≥ 0
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Introduzione
Esempio 3 (massa in moto con controllo PD):
Sistema:
mẍ = u
Controllo PD:
u = −kp x − kd ẋ
In catena chiusa si ha:
mẍ +kd ẋ +kp x = 0
Equazione analoga a quella di una massa collegata ad una “molla” di rigidezza
kp e ad uno smorzatore di valore kd .
termine proporzionale kp
=⇒
molla
termine derivativo kd
=⇒
smorzatore
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Introduzione
Esempio 3 (massa in moto con controllo PD):
In modo simile a quanto visto prima si può definire (con un’analogia meccanica)
V (x, ẋ) =
1
1
mẋ 2 + kp x 2
2
2
e si può vedere che questo sistema risulta stabile e che converge alla posizione
x = 0;
ẋ = 0
La stabilità può essere quindi ‘dimostrata’ con considerazioni legate alla
passività.
Si ha stabilità per qualsiasi valore (positivo) di kp , kd , e ciò non dipende dal
valore di m.
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Introduzione
Esempio 4: Controllo adattativo
Sia dato un sistema descritto dall’equazione:
ẋ = ax + u
con a parametro incognito.
Dato un riferimento xd (t) da inseguire, si consideri il controllo
u = −k e−â x+ẋd
con

â




e = x − xd




ã = â − a
→
stima di a
→
errore di inseguimento
→
errore di stima
Si ottiene complessivamente la dinamica dell’errore:
ė + ke = −ãx = ψ
cioè
de
= −ke − ãx
dt
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Introduzione
Definendo una funzione
Ve (e) =
1 2
e =⇒
2
V̇e = e ė = eψ−ke 2
Notare che si ha
Z
(
ke 2
→
“potenza dissipata”
eψ
→
“potenza fornita”
t
e(τ )ψ(τ )dτ ≥ −Ve (e(0))
0
HP: si definisca una seconda funzione ‘energia’ Va (ã) ≥ 0 tale che
V̇a (ã) = −eψ
da cui
Z
t
[−ψ(τ )]e(τ )dτ ≥ −Va (ã(0))
0
Si ha quindi che
V (e, ã) = Ve (e) + Va (ã)
Claudio Melchiorri
=⇒
V̇ = −ke 2
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Introduzione
Basta scegliere la legge di adattamento
dã
= xe
dt
=⇒
Va (ã) =
1 2
ã
2
Controllo adattativo definito utilizzando argomenti legati a concetti energetici.
Risultati simulativi:
Posizione desiderata e reale; Valore di "a"
Errore di inseguimento
2.5
0.35
0.3
2
0.25
1.5
0.2
0.15
1
0.1
0.5
0.05
0
0
5
10
15
20
Tempo (sec)
25
30
35
40
Riferimento xd , uscita x e stima â del
parametro a(= 2)
Claudio Melchiorri
0
0
5
10
15
20
Tempo (sec)
25
30
35
Errore di inseguimento x − xd
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40
Introduzione
Risultati simulativi:
Valore di a e di da/dt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
stima di a e andamento di da/dt
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Tempo (sec)
25
30
35
40
Claudio Melchiorri
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Introduzione
Passività, Dissipatività:
proprietà di un sistema fisico relative alla conservazione e trasmissione
dell’energia.
Si considerino sistemi autonomi (ingresso nullo). In questo caso l’energia
complessiva può:
mantenersi costante
decrescere
Per la passività/dissipatività vi sono definizioni diverse che si applicano a
sistemi lineari e a sistemi nonlineari.
Claudio Melchiorri
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Introduzione
Sistemi lineari (funzioni di trasferimento):
sistema con energia costante
=⇒
sistema positivo reale o PR
sistema con energia decrescente
=⇒
sistema strettamente positivo reale o SPR
Sistemi nonlineari:
sistemi dissipativi
Osservazioni:
I sistemi PR derivano da studi su circuiti elettrici lineari composti da
resistenze, capacità ed induttanze (RLC).
L’impedenza tra due punti qualsiasi di un circuito lineare è sempre PR.
Vale anche il viceversa: qualsiasi fdt PR può essere rappresentata in
termini di un circuito lineare RLC.
La definizione e lo studio di sistemi passivi non richiede necessariamente l’introduzione di norme, ma solo del concetto di energia e quindi l’introduzione di una
rappresentazione consistente del sistema.
Claudio Melchiorri
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Introduzione
Norme e spazi normati
Definizione
L’insieme Lq [0, ∞) = Lq ,
che:
Lq =
q = {1, 2, . . .} consiste di tutte le funzioni f tali
Z ∞
f : IR+ → IR, |
|f (t)|q dt < ∞
0
L’insieme L∞ [0, ∞) = L∞ consiste di tutte le funzioni f tali che:
(
)
L∞ =
f : IR+ → IR, | sup |f (t)| < ∞
+
t∈IR
NB: Lo spazio Lq è uno spazio lineare normato completo (di Banach) rispetto
alla norma:
Z ∞
1
q
kf kq =
|f (t)|q dt
0
kf k∞
=
sup |f (t)|
+
t∈IR
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Introduzione
Definizione
Sia f : IR+ → IR. Si definisca la funzione fT : IR+ → IR, ∀T ∈ IR+ come:
(
f (t)
0≤t<T
fT è la funzione f troncata su [0, T ]
fT =
0
t≥T
f , fT
f (t)
fT (t)
t
T
Claudio Melchiorri
21 / 35
Introduzione
Definizione
L’insieme Lqe , q = {1, 2, . . .} consiste di tutte le funzioni f tali che
Lqe = f : IR+ → IR | fT ∈ Lq , ∀T , 0 ≤ T < ∞
Lqe è l’estensione di Lq ovvero lo spazio Lq esteso.
Ovviamente,
Lq ⊂ Lqe
Inoltre valgono le due proprietà:
1
∀f ∈ Lqe la mappa T → kfT kq è monotona crescente
2
∀f ∈ Lq la mappa kfT kq → kf k se T → ∞
Claudio Melchiorri
22 / 35
Introduzione
Il caso L2 è speciale: la definizione di norma si associa a quella di prodotto
scalare:
Z ∞
< f ,g > =
f (t)g (t)dt
0
kf k2
=
1
< f , f >2
e quindi L2 è uno spazio di Hilbert (spazio lineare normato completo con
prodotto scalare).
Le definizioni di norma si possono estendere facilmente al caso di sistemi
MIMO, con funzioni f : IR+ → V, dove V è un opportuno spazio
n-dimensionale.
Claudio Melchiorri
23 / 35
Introduzione
Sistemi passivi e dissipativi
Si consideri un sistema dinamico descritto nello spazio degli stati
(
ẋ(t) = f (x(t)) + g (x(t))u(t)
y (t)
=
h(x(t))
m
con x ∈ Ln2e (T ), y ∈ Lm
2e (T ), u ∈ L2e (T ).
Le funzioni f , g , h siano smooth in x, con f (0) = 0, h(0) = 0.
In generale, per lo studio della passività di un sistema dinamico è necessario
definire:
=⇒ una funzione w (u, y ) dell’ingresso
Z et dell’uscita detta supply rate, funzione
che deve essere integrabile, cioè
w (u, y )dt < ∞;
0
spesso si considera
formulazione più generale:
w (u, y ) = y T u;
w (u, y ) = y T u + δu T u + ǫy T y ;
=⇒ una funzione S(t) ≥ 0 (o V (t) ≥ 0) continua e differenziabile detta
storage function;
ed eventualmente
=⇒ una funzione d(t) ≥ 0 detta dissipation rate.
Claudio Melchiorri
24 / 35
Introduzione
Definizione
Sistema passivo
Un sistema con ingresso u ∈ IRn ed uscita y ∈ IRn è passivo se, per ogni u e
per ogni t ≥ 0 esiste una costante β ≤ 0 tale che:
Z t
y T (τ )u(τ )dτ ≥ β
(2)
0
Inoltre, se si possono definire due costanti δ ≥ 0, ǫ ≥ 0 tali che
Z t
Z t
Z t
y T (τ )u(τ )dτ ≥ β + δ
u T (τ )u(τ )dτ + ǫ
y T (τ )y (τ )dτ
0
0
∀u, ∀t ≥ 0
0
allora il sistema è
input strictly passive
NB:
(ISP)
se δ > 0
output strictly passive
(OSP)
se ǫ > 0
very strictly passive
(VSP)
se δ > 0, ǫ > 0
β≤0
poichè la (2) deve valere anche per u = 0.
Claudio Melchiorri
25 / 35
Introduzione
Teorema
Se esiste una funzione V (t) ≥ 0 tale che
Z t
V (t) − V (0) ≤
y T (τ )u(τ )dτ
∀u, ∀t ≥ 0, ∀V (0)
0
allora il sistema con ingresso u ed uscita y è passivo.
Se
∃ δ ≥ 0, ǫ ≥ 0 tali che, ∀u, ∀t ≥ 0:
Z t
Z t
Z t
V (t) − V (0) ≤
y T (τ )u(τ )dτ − δ
u T (τ )u(τ )dτ − ǫ
y T (τ )y (τ )dτ
0
0
0
allora il sistema è
input strictly passive (ISP)
se δ > 0
output strictly passive (OSP)
se ǫ > 0
very strictly passive (VSP)
se δ > 0, ǫ > 0
Claudio Melchiorri
26 / 35
Introduzione
La definizione di passività può essere anche espressa in forma differenziale
come:
V̇ (t) ≤ y T (t)u(t)
Z t
o, introducendo una funzione d(t) tale che
d(τ )dτ ≥ 0, ∀t ≥ 0
0
T
V̇ (t) ≤ y (t)u(t) − d(t)
Analogamente:
1
Se esiste un δ ≥ 0 tale che
V̇ (t) ≤ y T (t)u(t)−δu T (t)u(t)−d(t)
2
il sistema è ISP
=⇒
il sistema è OSP
Se esiste un ǫ ≥ 0 tale che
V̇ (t) ≤ y T (t)u(t)−ǫy T (t)y (t)−d(t)
3
=⇒
Se esistono δ ≥ 0, ǫ ≥ 0 tali che
V̇ (t) ≤ y T (t)u(t−δu T (t)u(t)−ǫy T (t)y (t)−d(t)
Claudio Melchiorri
=⇒
il sistema è VSP
27 / 35
Introduzione
Definizioni alternative
Definizione
Dissipatività
Un sistema con ingresso u ed uscita y è dissipativo rispetto alla funzione supply
rate w (u, y ) sse esiste una storage function V ≥ 0 tale che
Z t
V (t) ≤ V (0) +
w (u(τ ), y (τ ))dτ
∀u, ∀t ≥ 0, ∀x0
0
Definizione
Passività
Un sistema con ingresso u ed uscita y è passivo se è dissipativo rispetto alla
funzione supply rate
w (u, y ) = y T u
Claudio Melchiorri
28 / 35
Introduzione
Definizione
Passività ISP
Un sistema con ingresso u ed uscita y è strettamente passivo sull’ingresso
(ISP) se è dissipativo rispetto alla funzione supply rate
w (u, y ) = y T u − δu T u,
con
δ>0
Definizione
Passività OSP
Un sistema con ingresso u ed uscita y è strettamente passivo sull’uscita (OSP)
se è dissipativo rispetto alla funzione supply rate
w (u, y ) = y T u − ǫy T y ,
Claudio Melchiorri
con
ǫ>0
29 / 35
Introduzione
La passività la stabilità alla Lyapunov sono strettamente collegate.
Lemma
Si consideri un sistema
(
ẋ(t)
=
f (x(t)) + g (x(t))u(t)
y (t)
=
h(x(t))
e si supponga che sia strettamente passivo. Se la storage function V (x) è
definita positiva, radialmente illimitata e decrescente, allora, per u ≡ 0, il punto
di equilibrio x = 0 del sistema è globalmente uniformemente (asintoticamente)
stabile.
Dim. Considerando u ≡ 0, nel caso di stretta passività si ottiene
V̇ (x(t)) < 0
e quindi il punto x = 0 è globalmente uniformemente (asintoticamente) stabile.
Analogamente si procede nel caso di passività semplice.
Claudio Melchiorri
30 / 35
Introduzione
Una proprietà interessante della passività è che può essere facilmente applicata
all’analisi delle proprietà di stabilità di sistemi composti.
=⇒ Una combinazione di sistemi passivi risulta essere un sistema passivo, e se
uno dei sistemi è strettamente passivo (dissipativo), allora l’insieme risulta
asintoticamente stabile.
Inoltre, se un sistema con ingresso u(t) e uscita y (t) è passivo, una
trasformazione lineare data da Au → A−T y fornisce un sistema passivo.
Più in generale, la passività di un sistema non è modificata da una
trasformazione espressa da una matrice A ortonormale (i.e. una matrice tale
che AT A = I ).
Claudio Melchiorri
31 / 35
Introduzione
Interconnessione di sistemi passivi
Un risultato molto importante della passività è che l’interconnessione di sistemi
passivi è ancora un sistema passivo.
u1-
G1
u
u2
y1
? y
j -
u - ju1 -
y2
y2
Claudio Melchiorri
y1 -y
− 6
6
G2
G1
G2
u2
32 / 35
Introduzione
Siano dati due sistemi G1 e G2 , con ingressi ed uscite u1 , y1 , u2 , y2
rispettivamente.
Si supponga che:
1
esistano due funzioni continue e differenziabili V1 (t) ≥ 0, V2 (t) ≥ 0
2
esistano due funzioni d1 (t) e d2 (t) tali che
Z t
Z t
d1 (τ )dτ ≥ 0 e
d2 (τ )dτ ≥ 0, ∀t ≥ 0
0
3
0
esistano delle costanti δ1 ≥ 0, δ2 ≥ 0, ǫ1 ≥ 0, ǫ2 ≥ 0 tali che
V̇1 (t)
=
y1T (t)u1 (t) − δ1 u12 (t) − ǫy12 (t) − d1 (t)
V̇2 (t)
=
y2T (t)u2 (t) − δ2 u22 (t) − ǫy22 (t) − d2 (t)
cioè i sistemi sono passivi (e ISP, OSP o VSP se le opportune costanti
sono > 0)
Claudio Melchiorri
33 / 35
Introduzione
Sistemi in parallelo
u1-
G1
y1
? y
j -
u
u2
6
G2
=⇒ u1 = u2 = u,
T
y = y1 + y2
T
=⇒ y u = (y1 +y2 ) u = y1T u1 +y2T u2
y2
allora
∃ V = V1 + V2 ≥ 0,
tale che
e
una δ = δ1 + δ2 ,
Z
un dp = d1 + d2 + ǫ1 y12 + ǫ2 y22
t
dp (τ )dτ ≥ 0, ∀t ≥ 0
0
V̇ (t) = y T (t)u(t) − δu 2 (t) − dp (t)
cioè il sistema è passivo, e anche ISP se δ1 > 0 o δ2 > 0.
Claudio Melchiorri
34 / 35
Introduzione
Sistemi in retroazione
u - ju1 -
G1
y1 -y
− 6
y2
=⇒
G2
u2
y1 = u2 = y , u1 = u − y2 ,
=⇒ y T u = y1T (u1 +y2 ) = y1T u1 +u2T y2
allora
∃ V = V1 + V2 ≥ 0, un ǫ = ǫ1 + ǫ2 + δ2 , un dr = d1 + d2 + δ1 u12
tale che
Z t
dr (τ )dτ ≥ 0, ∀t ≥ 0
0
e
V̇ (t) = y T (t)u(t) − ǫy 2 (t) − dr (t)
cioè il sistema è passivo, e anche OSP se ǫ1 > 0 o ǫ2 > 0 o δ2 > 0.
Claudio Melchiorri
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