2011.02.07 IV Allenamento online - "G.B. Vico"

ALLENAMENTO GARA A SQUADRE ON-LINE (7/2/2011)
Istruzioni Generali
•
Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero
compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e
comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali.
•
Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte
intera di un numero reale x e il più grande intero minore od uguale ad x.
•
Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.
•
Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si
indichi 9999.
•
Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
2 = 1,4142
3 = 1,7321
5 = 2,2361
6 = 2,4495
π = 3,1416
NON APRIRE QUESTO FASCICOLO
FINO A QUANDO LA GARA NON È INIZIATA
Tanto tempo fa in una galassia
lontana, lontana....
Hanno collaborato alla stesura dei problemi:
Carlo Cassola
Enrico Munini
Giulio Simonetti
Ivano Triolo
Laura Candotti
Luca Lamanna
Marco Albano
Mattia Pellegrini
Sandro Campigotto
Santina De Monte
Ugo Tomat
La forza sia con voi
1. DROIDI SONDA
Darth Vader diede ordine di inviare nei quattro quadranti della galassia migliaia di droidi-sonda, con
l'intento di scovare il nascondiglio ribelle. Al sistema di Hoth furono destinati tutti i droidi il cui codice
identificativo era uno dei divisori di 12600. Al primo pianeta del sistema erano stati inviati tutti i
droidi con codice multiplo di 8, al secondo i droidi rimasti multipli di 12. Ai tre pianeti successivi
furono destinati i droidi avanzati in parti uguali. Quanti droidi sono stati inviati su Hoth, quinto
pianeta del sistema?
2. IL QUESITO DI LUKE
Luke ha proposto ad Han un vecchio quesito che un tempo il maestro Obi-Wan Kenobi aveva usato per
addestrarlo. "Qual è il più grande intero n per cui n 4 + 4 è un numero primo?" Han, invece di cercare
la soluzione, aveva preferito prendere un Tauntaun ed uscire in perlustrazione.
3. PATTUGLIE
Per sorvegliare il gelido pianeta Hoth i ribelli lo avevano suddiviso in settori circolari
di ampiezza 60°. Ogni settore aveva un sensore che sorvegliava una zona circolare,
mentre la restante parte veniva ispezionata a vista, a cavallo dei Tauntaun. Quale
percentuale del settore veniva perlustrata a vista dai ribelli?
4. CATTURATO DAL WAMPA
Sorpreso da un wampa Luke fu appeso come un salame alla parete di ghiaccio della tana dell'animale.
Per cercare di restare sveglio e raggiungere la concentrazione necessaria per richiamare a sé la spada
laser con la Forza, Luke si mise a sommare le cifre di tutti i numeri dispari:
1 3 5 7 9 11 13 15 … 1483 1485. Arrivato a sommare le cifre del numero 1485 aveva raggiunto il suo
obiettivo. Quale fu la somma ottenuta?
5. RIPARARE L'IPERGUIDA
Chewbecca cercò di riparare da solo l'iperguida danneggiata del Millenium Falcon. Dopo aver saldato
tutti i componenti e riacceso il sistema, il computer di bordo chiese di riprogrammare i componenti
inserendo il più piccolo valore di n > 10 (intero) tale che f (n) abbia la stessa cifra finale di f (10) ,
dove f è la funzione standard dell'iperguida che tutti i piloti devono sapere: f ( x) = 2 x + x 4 .
R2D2 l'avrebbe già calcolato.
6. FUGA DA HOTH
Per sfuggire alle ingenti forze imperiali, il generale Mon Mothma aveva disposto una strategia che
risultò vincente. Tutti i trasporti decollarono in fila indiana dal grande hangar, puntando verso il
primo Star Destroyer imperiale. Arrivati lì un trasporto entrò nell'iperspazio e gli altri si disposero in
file da due puntando al secondo Star Destroyer. Giunti in prossimità dell'astronave, un altro trasporto
abbandonò il gruppo mentre gli altri si raggrupparono in file da tre e così via. Quando le astronavi
giunsero di fronte allo Star Destroyer di Darth Vader erano in file da 10 e a quel punto tutte entrarono
nell'iperspazio. Qual è il minimo numero di trasporti impiegati dai ribelli per fuggire dal pianeta Hoth?
7. LA FUGA DI LUKE
Dopo gli scontri con i walkes Imperiali, Luke saltò a bordo del suo XWing, cercando di ricordare le parole del Maestro Kenobi che gli
indicavano le coordinate del pianeta Dagobah. "Dagobah si trova
nella posizione spaziale pari al più piccolo numero primo che ha il
fattoriale che finisce con almeno 1001 zeri." Quale codice inserì Luke
per incontrare il maestro Yoda su Dagobah?
8. LA FUGA DI LUKE
L'X-Wing di Luke, per arrivare sul pianeta Dagobah ha percorso un
certo tratto di iperspazio ad una velocità costante (superiore alla
luce) in un tempo T . Se fosse andato mezzo parsec/secondo più
veloce avrebbe impiegato i quattro quinti del tempo T . Se fosse
andato mezzo parsec/secondo più lento avrebbe impiegato 2 secondi
e mezzo in più. Qual è la distanza che ha percorso, in parsec?
9. ANCORA PROBLEMI DI IPERGUIDA
Nel tentativo di riparare l'iperguida mentre il Millennium Falcon era sotto il tiro dei Caccia
Torpedinieri Imperiali, Han Solo ricevette dal computer di bordo la richiesta di immettere il resto
della divisione per 10000 della somma di tutti i numeri di 6 cifre che si possono formare usando le
cifre 2,3,4,5,6. Magari ci fosse stato lì R2D2 ad aiutare Han!
10. L'ASTEROIDE
Con l'iperguida fuori uso Han Solo rischiò molto decidendo di entrare in un campo di asteroidi. Ad un
certo punto il computer segnalò la presenza di un grande asteroide a forma di poliedro convesso dove
Han decise di atterrare. Il computer segnalò che in ogni vertice del poliedro convergevano due
quadrati, un triangolo equilatero ed un pentagono regolare, che tra due pentagoni c'era sempre un
quadrato e che tra tre quadrati c'era sempre un triangolo. Quante facce di ogni tipo aveva l'asteroide?
(dare come risposta il prodotto delle facce triangolari per quelle quadrate per quelle pentagonali)
A
11. IL MAESTRO YODA
L'atterraggio sul pianeta Dagobah fu un disastro. A causa
della grande nebbia Luke fu costretto ad attivare il computer
tattico per potersi orientare, e comunque cadde in una
palude con il suo X-Wing. Le ultime informazioni del
computer erano quelle rappresentate in figura.
Se Luke cadde nel punto E e l'abitazione di Yoda si trovava
nel punto B , quanti metri dovette camminare Luke nella
palude per raggiungere la casa del Maestro Jedy?
AB = 1700 m
BF = 1700 m
D
AD = 1500 m
DC = 1000 m
B
BC = 2800 m
E
F
12. LO STRATAGEMMA
Lasciato in tutta fretta l'asteroide Han Solo dovette gettarsi nelle braccia delle forze imperiali, ma
con un'abile stratagemma riuscì a nascondersi dietro alla torre di uno degli Star Destroyer. D3BO fece
presente che la probabilità di non venire scoperti era pari alla probabilità di fare 36 moltiplicando il
risultato del tiro di 4 dadi. Chewbecca non gradì l'informazione e lo spense immediatamente. Quale
calcolo aveva fatto il droide? (Dare la risposta sommando numeratore e denominatore della frazione
ridotta ai minimi termini.)
13. IMPARARE LE VIE DELLE FORZA
Yoda, il vecchio Maestro Jedy, aveva sottoposto Luke ad una lunga serie di allenamenti
fisici e mentali. Una delle prime prove fu quella di fargli calcolare quanti triangoli è
possibile realizzare unendo tre punti in una griglia 5x5 (come rappresentato in figura).
14 LA CITTÀ DELLE NUVOLE
Sfuggito alle forze imperiali, Han e Leila decisero di cercare rifugio presso la "Città delle Nuvole", base
spaziale e capitale del pianeta Bespin.
La città volante era sorretta da una base antigravitazionale quadrata e la città era costruita al centro
della base sulla parte comune ai 4 triangoli equilateri costruiti internamente alla base a partire dai
lati. Se l'area del quadrato era di 450 + 250 3 ui 2 ( ui =Unità Imperiali), qual era l’area su cui era
costruita la città? (in ui 2 )
15. IMPARARE LE VIE DELLE FORZA 2
"Una infinità di cerchi è costruita a partire da un triangolo equilatero come in
figura. Quale percentuale del triangolo è stata colorata in grigio?" Luke non fu
in grado di rispondere a questo enigma che il Maestro Yoda gli aveva posto.
La sua mente era distratta dalla sensazione di pericolo per i suoi amici e,
contro la volontà del maestro, decise di partire.
16 HAN RICOPERTO DI GRAFITE
Darth Vader decise di testare il sistema di copertura in grafite su Han Solo, perché non si fidava delle
capacità dei tecnici di Bespin. Infatti egli sapeva che solo un valore avrebbe mantenuto in vita un
essere umano e questo valore era il numero delle coppie ( x, y ) soluzioni intere dell'equazione
x + 2 y = 100 . Qual era il valore richiesto?
C
17 LUKE, SONO TUO PADRE
Sfuggito al tentativo di congelamento nella grafite Luke dovette affrontare il malvagio Darth Vader in
un duello con le spade laser, ma in un attimo di sosta Darth Vader rivelò a Luke di essere suo padre.
Incredulo, Luke disse: "Se sei veramente mio padre devi conoscere la soluzione di questo enigma. Se il
polinomio p ( x ) = x 3 + px 2 + qx + 72 è divisibile sia per s ( x) = x 2 + ax + b sia per t ( x ) = x 2 + bx + a ,
con a , b , p e q costanti e a ≠ b , quanto vale p 2 + q 2 ?" Nel sentire la risposta corretta, Luke si
lasciò cadere nella grande torre finendo nel sistema di scarico della città.
Quale valore convinse Luke della triste verità?
18 SALVARE LUKE
Mentre fuggivano da Bespin, Leila sentì un richiamo ed ordinò ad
Han di invertire la rotta. La torre della città, che aveva la
sezione di un esagono regolare di lato 34 m, era costruita sopra
ad un basamento a forma di dodecagono regolare. La zona non
occupata dalla torre era disseminata di antenne e su una di esse
Luke si era aggrappato ferito e dolorante. Se il lato del
dodecagono aveva la stessa lunghezza del lato dell'esagono, qual
era la superficie occupata dalle antenne che Han e Leila
ispezionarono per trovare Luke?
19. SFUGGIRE AI CACCIA IMPERIALI
Nel tentativo disperato di sfuggire ai caccia imperiali che circondavano il
Millennium Falcon, Han Solo attivò il computer tattico che, partendo da 12 punti
del contorno circolare del suo schermo, costruì tutte le possibili corde in modo da
non avere mai tre corde concorrenti. Le astronavi nemiche erano segnalate da
tutti i triangoli senza vertici sul contorno dello schermo formatisi nell'incrocio
delle corde (e i cui lati erano sulle corde). Con quante navi nemiche stavano
combattendo i nostri eroi?
20. IL SALTO NELL'IPERSPAZIO
Lo Star Destroyer di Darth Vader era a ridosso del Millennium Falcon e l'iperguida non era ancora stata
riparata. Oramai il destino era segnato.
Nel tentativo disperato di salvarsi, Han Solo interrogò il computer di bordo che gli pose il solito
quesito di riallineamento del sistema:
"Inserire il valore N sapendo che:
1. almeno una delle ultime due dichiarazioni è vera;
2. questa è o la prima vera o la prima falsa dichiarazione della lista;
3. ci sono tre dichiarazioni false consecutive;
4. la differenza tra il numero dell'ultima dichiarazione vera e il numero della prima dichiarazione vera
è un fattore di N ;
5. la somma dei numeri delle dichiarazioni vere è N ;
6. questa non è l'ultima dichiarazione vera;
7. il numero d'ordine di ogni dichiarazione vera è un fattore di N ;
8. N è uguale alla percentuale delle dichiarazioni vere;
9. il numero dei diversi fattori di N (non necessariamente primi, ma diversi da 1e N ) è maggiore
della somma dei numeri delle dichiarazioni vere;
10. non ci sono tre dichiarazioni consecutive vere."
Leila era disperata, ma questa volta il droide meccanico R2D2 era a bordo e con un rapido calcolo
inserì il valore esatto direttamente nel sistema, attivando l'iperguida e salvando tutti da morte sicura.
Quale valore di N inserì R2D2?