lavoro di squadra recluta

Modelli da esame
Premessa
Questo documento contiene 18 problemi di esame.
Le soluzioni si trovano alla fine dei testi. Quando non indicato diversamente, le sommatorie e gli operatori universali vengono applicati su tutti
possibili elementi associabili all’indice. E.g., ∀i corrisponde a ∀i ∈ I.
Problemi
Problema 1
Un insieme J = {j = 1, ..., |J|} di lavorazioni può essere eseguito solo su una
macchina a controllo numerico. Ciascuna lavorazione j richiede gli utensili
appartenenti all’insieme Sj ⊆ I, dove I = {i = 1, ..., |I|} è l’insieme di
tutti utensili disponibili. Ogni lavorazione richiede un tempo qj e, una volta
effettuata, porta un certo profitto pj . Lavorazioni diverse possono avere
utensili in comune. Il magazzino utensili della macchina può ospitare al più
K utensili. Inoltre, a causa di incompatibilità varie, gli utensili 1, 2 e 3,
non possono essere contemporaneamente presenti nel magazzino utensili. Se
la lavorazione 1 viene eseguita dovrà essere eseguita anche la lavorazione 2.
Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere quali utensili
caricare nel magazzino utensili al fine di massimizzare il profitto avendo a
disposizione un intervallo di tempo Q.
Problema 2
Dovete formare j = 1, ..., J squadre di lavoratori avendo a disposizione
i = 1, ..., I operai specializzati e k = 1, ..., K operai generici. Ogni operaio
specializzato i caratterizzato dagli anni di esperienza ai e da un certo costo
orario pij , quest’ultimo valore dipende dalla squadra (e quindi tipo di lavoro) a cui l’operaio è assegnato. Ogni operaio generico k è caratterizzato
1
solo dal costo orario qkj . Ogni squadra deve essere composta da 2 operai
specializzati e 3 operai generici. Inoltre, per ogni squadra, è richiesto che la
somma complessiva degli anni di esperienza degli operai specializzati sia almeno F . A causa di incompatibilità personale gli operai generici 1, 2 e 3 non
possono essere contemporaneamente nella stessa squadra. Viceversa, data la
lunga esperienza comune, gli operai specializzati 4 e 5 accettano l’incarico
solo se assegnati alla stessa squadra. Ogni operaio può appartenere ad una
sola squadra. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere come formare le squadre di lavoro al fine di minimizzare i costi orari
complessivamente pagati.
Problema 3
Dovete localizzare i = 1, ..., I depositi per diversi materiali. A tal fine
state valutando j = 1, ..., J potenziali siti. Realizzare il generico deposito i
nel sito j ha un costo cij . In ogni sito non possono essere presenti più di due
depositi. La spesa complessiva per ogni sito non deve eccedere K. I depositi
1 e 2 devono essere in siti differenti. Infine, per motivi politici, è necessario
che almeno un deposito sia localizzato in uno tra i siti 1, 2 e 3. Sviluppare un
modello matematico che vi supporti nel decidere dove localizzare i depositi
al fine di minimizzare i costi di localizzazione.
Problema 4
Il comandante della caserma CAR in cui state svolgendo il servizio militare
vi ha incaricato di assegnare i ruoli j = 1, ..., J alle nuove reclute i = 1, ..., I.
Dovete assegnare un ruolo per ogni recluta. Ogni recluta i è caratterizzata da
un valore di utilità cij che misura la sua attitudine nel svolgere il ruolo j e da
un costo qij che deve essere pagato per prepararla a svolgere tale ruolo. Ad
ogni ruolo j possono essere assegnate al più bj reclute. Avete a disposizione
un budget F per la formazione del personale che non potete superare. Dovete
tenere conto anche che i test psicoattitudinali hanno indicato che le reclute 1,
2, e 3 non devono ricoprire lo stesso ruolo. Viceversa, per motivi familiari, le
reclute 4 e 5 devono certamente avere lo stesso ruolo. Sviluppare un modello
matematico che vi supporti nel decidere quale ruolo assegnare ad ogni recluta al fine di massimizzare l’utilità complessiva. Affrontare poi il problema
cercando di massimizzare la minima utilità percepita da una recluta.
Problema 5
Dovete assegnare i = 1, ..., I compiti a j = 1, ..., J operai. Ogni compito i
richiede wi ore. Tutti i compiti devono essere svolti, mentre non è necessario
2
che tutti gli operai siano utilizzati. Se impegnate il generico operaio j dovete
pagare un costo di chiamata gj , più un costo qij per ogni compito i che gli
date da svolgere. Ogni operaio può lavorare al massimo K ore e richiede una
supervisione per dj minuti. Complessivamente non volete perdere più di S
minuti in supervisione. Per motivi di incompatibilità personale, se chiamate
l’operaio 4 non potete chiamare l’operaio 5. Per motivi contrattuali, almeno
due tra gli operai 1, 2 e 3 devono comunque essere chiamati. Sviluppare un
modello matematico che vi supporti nel decidere come assegnare i compiti
agli operai in modo da minimizzare i costi complessivi.
Problema 6
Dovete attribuire le aree del vostro vostro comune ai seggi elettorali.
Avete diviso il comune in i = 1, ..., I aree da assegnare a j = 1, ..., J seggi.
Ogni area i è caratterizzata da un numero ni di abitanti e dalle distanze
dij da ogni seggio elettorale j. Ogni zona deve essere assegnata ad un solo
seggio. Ogni seggio può avere assegnato al massimo 3 zone e in ogni caso
non più di K cittadini. Per motivi di omogeneità sociale le zone 1 e 2 devono essere attribuite allo stesso seggio. Viceversa le zone 4 e 5 non possono
essere assegnate allo stesso seggio. Sviluppare un modello matematico che vi
supporti nel decidere come attribuire le zone ai seggi in modo da minimizzare la distanza complessiva delle zone dai seggi. Affrontare poi il problema
cercando di minimizzare la massima distanza.
Problema 7
Dovete assegnare i vostri clienti i = 1, ..., I ai vostri venditori j = 1, ..., J.
Ogni cliente i è caratterizzato da un ricavo atteso bij che dovrebbe fornirvi
se assegnato al venditore j e da un livello di compatibilità di carattere vij
con lo stesso venditore. Ogni cliente deve essere assegnato ad un venditore.
Ogni venditore deve avere assegnato almeno un cliente ma, in ogni caso, deve
avere un insieme di clienti tale che non sia responsabile più di k volte il ricavo
atteso complessivamente da tutti i clienti. Poiché i clienti 1 e 2 sono concorrenti, non potete assegnarli allo stesso venditore. Viceversa, siccome 3, 4 e 5
appartengono alla stessa catena di franchising, essi devono essere assegnati
allo stesso venditore. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel
decidere come attribuire i clienti ai venditori in modo da massimizzare la
compatibilità complessiva tra di essi. Affrontare poi il problema cercando di
massimizzare la minima somma delle compatibilità che ogni cliente ha con il
venditore che gli viene assegnato.
Problema 8
3
Dovete localizzare dei centri di soccorso in alcuni degli i = 1, ..., I comuni
della vostra regione. Per ogni comune i è dato il costo ci di realizzazione
di un centro di soccorso. Per ogni comune i è inoltre dato l’insieme Si dei
comuni da cui possono partire i mezzi di soccorso in modo tale da raggiungere
i in tempo utile (si noti che ovviamente i ∈ Si ). I centri di soccorso devono
coprire tutti i comuni, devono cioè essere tali che ne esista almeno uno per
ogni insieme Si associato ad ogni comune i. Per ogni provincia j = 1, ..., J
della vostra regione dovete aprire almeno 3 centri nei comuni della provincia
appartenenti all’insieme Pj , in ogni caso però non dovete spendere più di B
per aprire i centri di soccorso nei comuni in Pj . Al fine di rispettare i delicati
equilibri politici, se aprite un centro di soccorso nel comune 1 dovrete aprirlo
anche nel comune 2. Viceversa non dovete aprire più di un centro nei comuni
4, 5 e 6. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere dove
localizzare i centri di soccorso in modo da minimizzare i costi di apertura.
Problema 9
Dovete determinare in che giorni j = 1, ..., J della prossima settimana
eseguire degli interventi chirurgici i = 1, ..., I in una sala operatoria per interventi non di emergenza. Ogni operazione i deve essere eseguita. Ogni operazione i richiede qi ore di occupazione della sala e un tempo wi di preparazione
del paziente al di fuori della sala. Ogni giorno la sala operatoria può funzionare solo K ore e, inoltre, voi avete personale solo per gestire i pazienti per
R ore al di fuori della sala stessa. Le operazioni 1 e 2 devono essere eseguite
lo stesso giorno poiché richiedono l’utilizzo di macchinari speciali che dovete
affittare. Viceversa, le operazioni 4, 5 e 6 devono essere eseguite in giorni
diversi. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere in
che giorni eseguire le diverse operazioni in modo da minimizzare il numero
di giorni in cui tenete aperta la sala operatoria.
Problema 10
Dovete assegnare un gruppo di alloggi popolari j = 1, ..., J ad un uguale
numero di famiglie i = 1, ..., I. Gli alloggi sono distribuiti in k = 1, ..., K,
palazzi, gli insiemi Sk contengono gli indici degli alloggi appartenenti allo
stesso palazzo. Ogni famiglia i è caratterizzata dal numero dei componenti ni
e dalla somma delle età pi dei componenti. Inoltre, ogni famiglia ha espresso
dei valori di utilità vij , ognuno dei quali rappresenta il grado di preferenza
per un alloggio j. Ad ogni famiglia deve essere assegnato un alloggio. Per
motivi di sicurezza, la somma complessiva dei componenti le famiglie assegnate allo stesso palazzo non deve superare il valore K. Per ragioni di
4
tranquillità condominiale, la somma complessiva delle età dei componenti le
famiglie assegnate allo stesso stabile deve essere almeno F . I Carabinieri vi
hanno inoltre indicato che, per motivi di ordine pubblico, dovete assegnare
le famiglie 1, 2 e 3 a palazzi diversi. Infine, per ragioni di supporto reciproco,
volete assegnare le famiglie 4 e 5 allo stesso condominio. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere come assegnare le famiglie agli
alloggi in modo da massimizzare l’utilità complessiva. Affrontare poi il problema cercando di massimizzare la minima utilità percepita da una famiglia.
Problema 11
State organizzando un torneo. In particolare dove distribuire i = 1, ..., I
squadre tra j = 1, ..., J gironi eliminatori, ognuno dei quali si svolge in una
determinata città. Ogni squadra è caratterizzata da punteggio di riferimento
ni che ne indica il valore sportivo ed ha espresso dei valori di utilità qij che indicano il livello di preferenza per ogni città j. Ogni squadra deve appartenere
ad un girone. Ogni girone deve coinvolgere 6 squadre e la somma del punteggio di riferimento delle squadre coinvolte deve essere non inferiore a F .
I Carabinieri vi hanno inoltre indicato che, per motivi di ordine pubblico,
dovete assegnare le squadre 1, 2 e 3 a gironi diversi. Viceversa, volete assegnare le squadre 4 e 5 allo stesso girone. Sviluppare un modello matematico
che vi supporti nel decidere come assegnare le squadre ai gironi in modo da
massimizzare l’utilità complessiva. Affrontare poi il problema cercando di
massimizzare la minima utilità percepita da una squadra.
Problema 12
State selezionando alcuni tra gli investimenti i = 1, ..., I in cui la vostra
ditta si potrebbe impegnare. Gli investimenti non possono essere frazionati.
Ogni investimento i ha un profitto atteso qi , un rischio pi e un costo vi . Avete
un dato budget B a disposizione. Il rischio che assumete per ogni singolo
investimento non deve mai essere superiore a k volte il rischio complessivo
di tutti gli investimenti che farete. Siete inoltre vincolati da contratti precedenti, per cui dovete certamente impegnarvi in almeno 2 tra gli investimenti
1, 2, 3 e 4. Inoltre, se fate l’investimento 5 dovete anche fare l’investimento 6.
Infine, per motivi strategici, non volete spendere più di un capitale Q negli
investimenti appartenenti all’insieme S. Sviluppare un modello matematico
che vi supporti nel decidere nel selezionare gli investimenti in modo da massimizzare il profitto atteso complessivo.
Problema 13
5
State organizzando uno spettacolo di dilettanti allo sbaraglio. Ogni dilettante i = 1, ..., I deve fare tre prove su j = 1, ..., J. Ogni dilettante i ha
espresso dei valori qij di utilità che esprimono la sua preferenza rispetto ad
ogni prova j, inoltre ha indicato quanto tempo pij impiegherebbe per tale
performance. Voi avete stimato il valore vij , in termini di contatti televisivi,
che ha ogni prova j svolta dal dilettante i. Possono essere svolte al più tre
prove dello stesso tipo j (e.g., solo tre dilettanti possono esibirsi nella danza),
tutto lo spettacolo non deve durare più del tempo T . Infine, le prove devono
essere tali che ad ogni dilettante i sia garantita una utilità complessiva delle
tre prove di almeno K, ma in ogni caso i dilettanti 1, 2 e 3 non devono avere
prove comuni. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere quali prove fare svolgere ad ogni dilettante in modo da massimizzare
i contatti televisivi complessivi.
Problema 14
Volete formare j = 1, ..., J equipaggi dei vostri aerei avendo a disposizione
i = 1, ..., I piloti e k = 1, ..., K componenti il personale di cabina. Ogni pilota
i è caratterizzato da un dato numero ni di ore di volo. Ogni equipaggio j deve
essere composto da due piloti e da tre componenti il personale di cabina. La
somma delle ore di volo dei due piloti di ogni equipaggio deve essere almeno
W . Ogni persona può essere assegnato al più ad un equipaggio. Per motivi
di incompatibilità di carattere, il pilota 1 e il personale di cabina 2 e 3 non
devono appartenere allo stesso equipaggio. Ogni pilota ha espresso un valore
di utilità pij indicante il livello di gradimento di appartenere all’equipaggio
j. Analogamente anche ogni membro del personale di cabina ha espresso un
valore di utilità qkj . Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel
decidere a quale equipaggio assegnare il personale in modo da massimizzare
l’utilità complessiva. Affrontare poi il problema cercando di massimizzare la
minima utilità percepita da un pilota o da un componente del personale di
cabina.
Problema 15
State organizzando una serata di danza per beneficenza e dovete formare
le coppie di ballerini. Avete a disposizione i = 1, ..., I uomini e j = 1, ..., J
donne. Ci sono più uomini che donne e quindi dovrete lasciare a casa qualche
uomo. Ognuno può ballare con un solo partner. Ogni potenziale ballerino i
esprime dei valori di utilità pij , ognuno di essi è misura del livello del desiderio
di essere in coppia con la ballerina j. Analogamente ogni potenziale ballerina
j esprime dei valori di utilità qji , ognuno misura del livello del desiderio di
6
essere in coppia con il ballerino i. Sapete che dovrete comunque spendere
wij minuti del vostro tempo per convincere il ballerino i a ballare con la
ballerina j. Analogamente dovrete spendere uji minuti del vostro tempo per
convincere la ballerina j a ballare con il ballerino i. In ogni caso non volete
spendere più di W minuti complessivamente in opera di convincimento. Per
motivi di invidie personali, se il ballerino 1 è in coppia con la ballerina 2
allora il ballerino 3 deve essere in coppia con la ballerina 4. Inoltre se il
ballerino 4 non è in coppia con la ballerina 5 allora neanche il ballerino 7
può fare coppia con la ballerina 6. Sviluppare un modello matematico che
vi supporti nel decidere come formare le coppie in modo da massimizzare
l’utilità complessiva. Affrontare poi il problema cercando di massimizzare la
minima utilità percepita da una ballerina.
Problema 16
La ditta di trasporto presso la quale lavorate deve suddividere i propri
mezzi tra i clienti j = 1, ..., J al fine di effettuare i trasporti della giornata.
Avete a disposizione i = 1, ..., I camion. Ogni camion i è caratterizzato da
una capcità in peso bi , per esso sarà sostenuto un costo cij se inviato a servire
il cliente j. Ogni camion può essere inviato ad un solo cliente. Ogni cliente j
deve caricare gli oggetti k non frazionabili appartenenti all’insieme Sj . Ogni
oggetto k è caratterizzato da un peso wk . Tutti gli oggetti devono essere
trasportati. Per motivi di sicurezza, l’oggetto 1 non può stare nello stesso
camion dell’oggetto 2. Viceversa per motivi di stabilità, gli oggetti 3, 4 e 5
devono viaggiare nello stesso mezzo. Sviluppare un modello matematico che
vi supporti nel decidere come assegnare i camion in modo da minimizzare i
costi per la vostra ditta.
Problema 17
La ditta di trasporto presso la quale lavorate deve fare eseguire delle
consegne i = 1, ..., I agli autotrasportatori j = 1, ..., J. Ogni consegna i
deve essere eseguita. Ogni autotrasportatore j può eseguire al massimo una
consegna i al costo pij e richiedendo la supervisione del cliente finale per un
tempo tij . Non volete fare perdere complessivamente ai vostri clienti più di
un tempo K in supervisione. Per motivi di compatibilità caratteriale tra gli
autotrasportatori e i vostri clienti, volete che la consegna 1 sia eseguita da
uno tra gli autotrasportatori 1, 2 o 3. Inoltre se la consegna 2 non è eseguita
dal trasportatore 4, il trasportatore 5 non deve eseguire la 3. Sviluppare un
modello matematico che vi supporti nel decidere come assegnare le consegne
in modo da minimizzare i costi per la vostra ditta.
7
Problema 18
Dovete eseguire le commesse i = 1, ..., I sulle macchine gemelle j =
1, ..., J. Ogni commessa i è frazionabile ed eseguibile anche contemporaneamente su più macchine. Viceversa ogni macchina può lavorare una sola
commessa alla volta. Ogni commessa i richiede complessivamente un tempo
di lavorazione pi più un tempo fisso qi di attrezzaggio (set-up) di ogni macchina
su cui viene eseguita anche solo parzialmente. Ogni commessa deve essere eseguita ed avete a disposizione K ore (tra lavorazioni ed attrezzaggi) per ogni
macchina. Per motivi di compatibilità tra i materiali utilizzati, le commesse
1 e 2 non possono essere eseguite sulle stesse macchine. Inoltre il tempo
di lavorazione della commessa 1 sulla macchina 2 non può essere superiore alla somma dei tempi di lavorazione delle commesse 3 e 4 sulla stessa
macchina. Sviluppare un modello matematico che vi supporti nel decidere
come assegnare le commesse in modo da minimizzare i tempi complessivi di
attrezzaggio.
Soluzioni
Soluzione Problema 1
½
1
½0
1
=
0
se utensile i utilizzato
altrimenti
se lavorazione j effettuata
altrimenti
xi =
yj
z = max
X
pj yj
(1)
j
X
yj ≤ xi ∀j, ∀i ∈ Sj
xi ≤ K
(2)
(3)
i
x1 + x2 + x3 ≤ 1
X
qj y j ≤ Q
(4)
(5)
j
y1 ≤ y2
yj , xi ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
Commenti alle equazioni del modello:
(1) massimizzato il profitto,
8
(6)
(7)
(2) si devono avere a disposizione tutti gli utensili necessari(quelli nell’insieme
Sj ) per eseguire la lavorazione j
(3) non più di K utensili nel magazzino,
(4) non più di un utensile, tra 1, 2 e 3, può essere presente nel magazzino,
(5) si ha a disposizione un intervallo di tempo Q per effettuare le lavorazioni
scelte,
(6) se viene effettuata la lavorazione 1 deve essere effettuata anche la lavorazione 2,
(7) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive. E.g., una lavorazione può essere soltanto eseguita completamente o non eseguita del tutto.
Soluzione Problema 2
½
1
½0
1
=
0
se operaio specializzato i assegnato squadra j
altrimenti
se 1 operaio generico k assegnato squadra j
altrimenti
xij =
ykj
z = min
X
X
i
XX
j
pij xij +
i
XX
j
xij = 2 ∀j
qkj ykj
(8)
k
(9)
i
ai xij ≥ F
X
∀j
(10)
ykj = 3 ∀j
(11)
k
y1j + y2j + y3j ≤ 1 ∀j
x4j = x5j ∀j
X
xij ≤ 1 ∀i
(12)
(13)
(14)
j
X
ykj ≤ 1 ∀k
(15)
j
ykj , xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i, ∀k
Commenti alle equazioni del modello:
(8) minimizzati i costi orari complessivamente pagati,
9
(16)
(9) due operai specializzati per ogni squadra j,
(10) per ogni squadra j, la somma complessiva degli anni di esperienza degli
operai specializzati sia almeno F ,
(11) tre operai generici per ogni squadra j,
(12) gli operai generici 1, 2 e 3 non possono essere contemporaneamente
nella stessa squadra,
(13) gli operai specializzati 4 e 5 accettano l’incarico solo se assegnati alla
stessa squadra,
(14), (15) gli operai possono essere assegnati ad una sola squadra,
(16) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 3
½
xij =
1 se deposito i localizzato nel sito j
0 altrimenti
z = min
X
XX
j
cij xij
(17)
i
xij = 1 ∀i
(18)
xij ≤ 2 ∀j
(19)
j
X
X
i
cij xij ≤ K
∀j
(20)
i
x1j + x2j ≤ 1 ∀j
X
xij ≥ 1
X
(21)
(22)
j∈{1,2,3} i
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(23)
Commenti alle equazioni del modello:
(17) minimizzati i costi di localizzazione,
(18) ogni deposito deve essere localizzato. Questo vincolo è espresso solo
implicitamente nel testo, ma deve essere presente. Altrimenti, dato che
si paga per localizzare i depositi e data la presenza del vincolo (22),
verrebbe aperto solo il deposito meno costoso in uno dei siti 1, 2 o 3,
10
(19) per ogni sito j, non più di due depositi,
(20) la spesa complessiva per ogni sito j non deve eccedere K,
(21) i depositi 1 e 2 devono essere in siti differenti, ovvero non nello stesso
sito,
(22) almeno un deposito deve essere localizzato in uno tra i siti 1, 2 e 3,
(23) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 4
½
xij =
1 se recluta i assegnata al ruolo j
0 altrimenti
z = max
X
XX
j
cij xij
(24)
i
xij = 1 ∀i
(25)
xij ≤ bj
(26)
j
X
XX
i
∀j
i
qij xij ≤ F
(27)
j
x1j + x2j + x2j ≤ 1 ∀j
x4j = x5j ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(28)
(29)
(30)
Commenti alle equazioni del modello:
(24) massimizzata l’utilità complessiva,
(25) a ogni recluta i deve essere assegnato un solo ruolo j, Questo vincolo
è espresso solo implicitamente nel testo, ma deve essere presente. Altrimenti, dato che si ha un’aumento di utilità per ogni ruolo assegnato
ad una recluta, verrebbero assegnati più ruoli ad ogni recluta,
(26) ad ogni ruolo j possono essere assegnate al più bj reclute,
(27) avete a disposizione un budget F per la formazione del personale,
(28) le reclute 1, 2, e 3 non devono ricoprire lo stesso ruolo,
11
(29) le reclute 4 e 5 devono certamente avere lo stesso ruolo,
(30) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Massimizzazione della minima utilità:
½
1 se recluta i assegnata al ruolo j
0 altrimenti
minima utilità
xij =
y
:
z = max y
X
y ≤
cij xij
X
(31)
(32)
∀i
j
xij = 1 ∀i
(33)
xij ≤ bj
(34)
j
X
XX
i
∀j
i
qij xij ≤ F
(35)
j
x1j + x2j + x2j ≤ 1 ∀j
x4j = x5j ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(36)
(37)
(38)
La condizione (32) impone che y sia minore o uguale dell’utilità percepita
da ogni recluta. L’obiettivo (31) cercando di massimizzare il valore di y forza
tale variabile ad essere uguale al valore della minima utilità percepita e contemporaneamente cerca di rendere tale utilità la più grande possibile.
Soluzione Problema 5
½
1
0
½
1
=
0
xij =
yj
se compito i assegnato all’operaio j
altrimenti
se operaio j utilizzato
altrimenti
z = min
X
XX
j
xij = 1 ∀i
j
12
i
qij xij +
X
gj yj
(39)
j
(40)
X
wi xij ≤ Kyj
∀j
(41)
i
X
dj yj ≤ S
(42)
j
y4 + y5 ≤ 1
y1 + y2 + y3 ≥ 2
xij , yj ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(43)
(44)
(45)
Commenti alle equazioni del modello:
(39) minimizzati i costi complessivi,
(40) ogni compito i deve essere svolto,
(41) ogni operaio j può lavorare al massimo K ore,
(42) non volete perdere più di S minuti in supervisione,
(43) se chiamate l’operaio 4 non potete chiamare l’operaio 5,
(44) almeno due tra gli operi 1, 2 e 3 devono comunque essere chiamati,
(45) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 6
½
xij =
1 se zona i attribuita al seggio j
0 altrimenti
z = min
X
X
i
XX
j
dij xij
(46)
i
xij = 1 ∀i
(47)
j
ni xij ≤ K
X
∀j
xij ≤ 3 ∀j
(48)
(49)
i
x1j = x2j ∀j
x4j + x5j ≤ 1 ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
Commenti alle equazioni del modello:
13
(50)
(51)
(52)
(46) minimizzata la distanza complessiva delle zone dai seggi,
(47) ogni zona i deve essere assegnata ad un solo seggio,
(48) ogni seggio j può avere assegnato non più di K cittadini,
(49) ogni seggio j può avere assegnato al massimo 3 zone,
(50) le zone 1 e 2 devono essere attribuite allo stesso seggio,
(51) le zone 4 e 5 non possono essere assegnate allo stesso seggio,
(52) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Minimizzazione della massima distanza:
½
xij =
y
:
1 se zona i attribuita al seggio j
0 altrimenti
massima distanza
z = min y
X
y ≥
dij xij
X
X
i
∀i
(53)
(54)
j
xij = 1 ∀i
(55)
j
ni xij ≤ K
X
∀j
xij ≤ 3 ∀j
(56)
(57)
i
x1j = x2j ∀j
x4j + x5j ≤ 1 ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(58)
(59)
(60)
La condizione (54) impone che y sia maggiore o uguale della distanza di
ogni area dal seggio a cui è assegnata. L’obiettivo (53) cercando di minimizzare il valore di y forza tale variabile ad essere uguale al valore della massima
distanza e contemporaneamente cerca di rendere tale distanza la minore possibile.
Soluzione Problema 7
½
xij =
1 se cliente i attribuito a venditore j
0 altrimenti
14
z = max
X
XX
j
vij xij
(61)
i
xij = 1 ∀i
(62)
xij ≥ 1 ∀j
(63)
j
X
i
X
bij xij ≤ k
J X
X
∀j
(64)
x1j + x2j ≤ 1 ∀j
x3j = x4j = x5j ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(65)
(66)
(67)
i
bis xis
s=1 i
Commenti alle equazioni del modello:
(61) massimizzata la compatibilità complessiva tra clienti e venditori,
(62) ogni cliente i deve essere assegnato ad un venditore,
(63) ogni venditore j deve avere assegnato almeno un cliente,
(64) ogni venditore j deve avere un insieme di clienti tale che non sia responsabile più di k volte il ricavo atteso complessivamente da tutti i
clienti. Si ricordi che gli indici sono muti e quindi non devono necessariamente chiamarsi i o j, a condizione che siano chiari gli insiemi su
cui variano. Per questo motivo nella formula viene indicato in modo
esplicito l’insieme su cui varia s. Non è corretto indicare j al posto di
s in quanto possono nascere ambiguità circa quale operatore controlli
l’indice j, la sommatoria o l’operatore universale,
(65) i clienti 1 e 2 non possono essere assegnati allo stesso venditore,
(66) i clienti 3, 4 e 5 devono essere assegnati allo stesso venditore,
(67) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Massimizzazione della minima compatibilità:
½
xij =
y
:
1 se cliente i attribuito a venditore j
0 altrimenti
minima compatibilità
15
z = max y
X
y ≤
vij xij
X
(68)
(69)
∀i
j
xij = 1 ∀i
(70)
xij ≥ 1 ∀j
(71)
j
X
i
X
bij xij ≤ k
J X
X
bis xis
∀j
(72)
x1j + x2j ≤ 1 ∀j
x3j = x4j = x5j ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(73)
(74)
(75)
s=1 i
i
La condizione (69) impone che y sia minore o uguale dell’compatibilità tra
ogni coppia venditore cliente realizzata. L’obiettivo (68) cercando di massimizzare il valore di y forza tale variabile ad essere uguale al valore della
minima compatibilità e contemporaneamente cerca di rendere tale compatibilità la più grande possibile.
Soluzione Problema 8
½
xi =
1 se centro di soccorso aperto nel comune i
0 altrimenti
z = min
X
X
c i xi
(76)
i
xk ≥ 1 ∀i
(77)
xi ≥ 3 ∀j
(78)
k∈Si
X
i∈Pj
X
c i xi ≤ B
∀j
(79)
i∈Pj
x1 ≤ x2
x4 + x5 + x5 ≤ 1
xi ∈ {0, 1} ∀i
Commenti alle equazioni del modello:
16
(80)
(81)
(82)
(76) minimizzati i costi di apertura,
(77) ogni comune i deve essere coperto. Almeno un centro in Si . Si ricordi
che gli indici sono muti e quindi non devono necessariamente chiamarsi
i o j, a condizione che siano chiari gli insiemi su cui variano. Per questo
motivo nella formula viene indicato in modo esplicito l’insieme su cui
varia k. Non è corretto indicare i al posto di k in quanto possono
nascere ambiguità circa quale operatore controlli l’indice i, la sommatoria o l’operatore universale,
(78) in ogni provincia j almeno 3 centri nei comuni appartenenti all’insieme
Pj ,
(79) non spendere più di B per aprire i centri di soccorso nei comuni in Pj ,
(80) se è aperto un centro di soccorso nel comune 1 deve essere aperto un
centro anche nel comune 2,
(81) non più di un centro nei comuni 4, 5 e 6,
(82) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 9
½
1
½0
1
=
0
xij =
yj
se operazione i schedulata giorno j
altrimenti
se sala operatoria occupata giorno j
altrimenti
z = min
X
X
yj
(83)
j
xij = 1 ∀i
(84)
j
X
qi xij ≤ Kyj
∀j
(85)
wi xij ≤ Ryj
∀j
(86)
i
X
i
x1j = x2j ∀j
x4j + x5j + x6j ≤ 1 ∀j
xij , yj ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
Commenti alle equazioni del modello:
17
(87)
(88)
(89)
(83) minimizzato il numero di giorni in cui la sala operatoria è aperta,
(84) ogni operazione i deve essere eseguita,
(85) ogni giorno j la sala operatoria può funzionare solo K ore, a condizione
che quel giorno si operi,
(86) ogni giorno j si hanno a disposizione non più di R ore di preparazione
al di fuori della sala, a condizione che quel giorno si operi,
(87) le operazioni 1 e 2 devono essere eseguite lo stesso giorno,
(88) le operazioni 4, 5 e 6 devono essere eseguite in giorni diversi,
(89) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 10
½
xij =
1 se famiglia i assegnata all’alloggio j
0 altrimenti
z = max
X
X X
j∈Sk
i
vij xij
(90)
j
xij = 1 ∀i
(91)
j
ni xij ≤ K
∀k
(92)
pi xij ≥ F
∀k
(93)
(x1j + x2j + x3j ) ≤ 1 ∀k
(94)
j∈Sk
i
j∈Sk
i
X X
X
XX
X
x4j =
j∈Sk
X
x5j
∀k
(95)
j∈Sk
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(96)
Commenti alle equazioni del modello:
(90) massimizzata l’utilità complessiva,
(91) ogni famiglia i deve avere un alloggio,
(92) somma complessiva dei componenti le famiglie assegnate allo stesso
palazzo k non deve superare il valore K,
18
(93) la somma complessiva delle età dei componenti le famiglie assegnate
allo stesso stabile k deve essere almeno F ,
(94) le famiglie 1, 2 e 3 in palazzi diversi,
(95) le famiglie 4 e 5 nello stesso condominio,
(96) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Massimizzazione della minima utilità:
½
xij =
y
:
1 se famiglia i assegnata all’alloggio j
0 altrimenti
minima utilità
z = max y
X
y ≤
vij xij
X
X X
j
xij = 1 ∀i
(99)
j
ni xij ≤ K
∀k
(100)
pi xij ≥ F
∀k
(101)
(x1j + x2j + x3j ) ≤ 1 ∀k
(102)
j∈Sk
i
j∈Sk
i
X X
X
∀i
(97)
(98)
j∈Sk
X
x4j =
j∈Sk
X
x5j
∀k
(103)
j∈Sk
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(104)
La condizione (98) impone che y sia minore o uguale dell’utilità percepita
da ogni famiglia. L’obiettivo (97) cercando di massimizzare il valore di y
forza tale variabile ad essere uguale al valore della minima utilità percepita
e contemporaneamente cerca di rendere tale utilità la più grande possibile.
Soluzione Problema 11
½
xij =
1 se squadra i assegnata a girone j
0 altrimenti
19
z = max
X
XX
i
qij xij
(105)
j
xij = 1 ∀i
(106)
xij = 6 ∀j
(107)
j
X
X
i
ni xij ≥ F
∀j
(108)
i
x1j + x2j + x3j ≤ 1 ∀j
x4j = x5j ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(109)
(110)
(111)
Commenti alle equazioni del modello:
(105) massimizzata l’utilità complessiva,
(106) ogni squadra i appartenere ad un girone,
(107) ogni girone j deve coinvolgere 6 squadre,
(108) la somma del punteggio di riferimento delle squadre coinvolte in ogni
girone j deve essere non inferiore a F ,
(109) le squadre 1, 2 e 3 in gironi diversi,
(110) le squadre 4 e 5 nello stesso girone,
(111) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Massimizzazione della minima utilità:
½
xij =
y
:
1 se squadra i assegnata a girone j
0 altrimenti
minima utilità
z = max y
X
y ≤
qij xij
X
∀i
(112)
(113)
j
xij = 1 ∀i
j
20
(114)
X
X
xij = 6 ∀j
(115)
i
ni xij ≥ F
∀j
(116)
i
x1j + x2j + x3j ≤ 1 ∀j
x4j = x5j ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(117)
(118)
(119)
La condizione (113) impone che y sia minore o uguale dell’utilità percepita
da ogni squadra. L’obiettivo (112) cercando di massimizzare il valore di y
forza tale variabile ad essere uguale al valore della minima utilità percepita
e contemporaneamente cerca di rendere tale utilità la più grande possibile.
Soluzione Problema 12
½
xi =
1 se investimento i selezionato
0 altrimenti
z = max
X
X
qi xij
(120)
j
v i xi ≤ B
i
pi xi ≤ k
(121)
X
p j xj
∀i
(122)
j
x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2
x5 ≤ x6
X
vi xi ≤ Q
(123)
(124)
(125)
i∈S
xi ∈ {0, 1} ∀i
(126)
Commenti alle equazioni del modello:
(120) massimizzato il profitto atteso complessivo,
(121) non eccedere il budget B a disposizione,
(122) il rischio per ogni singolo investimento i non deve mai essere superiore
a k volte il rischio complessivo di tutti gli investimenti,
(123) almeno 2 tra gli investimenti 1, 2, 3 e 4,
(124) impegno nell’investimento 5 impone impegno nell’investimento 6,
21
(125) non spendere più di un capitale Q negli investimenti appartenenti
all’insieme S,
(126) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 13
½
xij =
1 se prova j assegnato a dilettante i
0 altrimenti
z = max
X
XX
i
vij xij
(127)
j
xij = 3 ∀i
(128)
xij ≤ 3 ∀j
(129)
j
X
XX
j
i
pij xij ≤ T
(130)
i
X
qij xij ≥ K
∀i
(131)
j
x1j + x2j + x3j ≤ 1 ∀j
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(132)
(133)
Commenti alle equazioni del modello:
(127) massimizzati i contatti televisivi,
(128) ogni dilettante i deve fare tre prove,
(129) al più tre prove dello stesso tipo j,
(130) tutto lo spettacolo non deve durare più del tempo T ,
(131) ad ogni dilettante i deve essere garantita una utilità complessiva delle
tre prove di almeno K,
(132) i dilettanti 1, 2 e 3 non devono avere prove comuni,
(133) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
22
Soluzione Problema 14
½
1
½0
1
=
0
xij =
ykj
se pilota i assegnato ad equipaggio j
altrimenti
se personale k assegnato ad equipaggio j
altrimenti
z = max
X
XX
i
pij xij +
j
XX
j
qkj ykj
(134)
k
xij = 2 ∀j
(135)
ykj = 3 ∀j
(136)
i
X
X
i
k
ni xij ≥ W
X
∀j
(137)
xij ≤ 1 ∀i
(138)
ykj ≤ 1 ∀k
(139)
x1j + y2j + y3j ≤ 1 ∀j
xij , ykj ∈ {0, 1} ∀j, ∀i, ∀k
(140)
(141)
j
X
j
Commenti alle equazioni del modello:
(134) massimizzata l’utilità complessiva,
(135) ogni equipaggio j deve essere composto da due piloti,
(136) ogni equipaggio j deve essere composto da tre componenti il personale
di cabina,
(137) la somma delle ore di volo dei due piloti di ogni equipaggio j deve
essere almeno W ,
(138) ogni pilota i può essere assegnato al più ad un equipaggio j,
(139) ogni componente il personale di cabina k può essere assegnato al più
ad un equipaggio j,
(140) il pilota 1 e il personale di cabina 2 e 3 non devono appartenere allo
stesso equipaggio j,
(141) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
23
Massimizzazione della minima utilità:
½
1 se pilota i assegnato ad equipaggio j
½ 0 altrimenti
1 se personale k assegnato ad equipaggio j
ykj =
0 altrimenti
w : minima utilità
xij =
z = max w
X
w ≤
pij xij
∀i
(142)
(143)
∀k
(144)
j
w ≤
X
X
qkj ykj
j
xij = 2 ∀j
(145)
ykj = 3 ∀j
(146)
i
X
X
i
k
ni xij ≥ W
X
∀j
(147)
xij ≤ 1 ∀i
(148)
ykj ≤ 1 ∀k
(149)
x1j + y2j + y3j ≤ 1 ∀j
xij , ykj ∈ {0, 1} ∀j, ∀i, ∀k
(150)
(151)
j
X
j
Le condizioni (143) e (144) impongono che w sia minore o uguale dell’utilità
percepita rispettivamente da ogni pilota e da ogni componente del personale
di cabina. L’obiettivo (142) cercando di massimizzare il valore di w forza
tale variabile ad essere uguale al valore della minima utilità percepita e contemporaneamente cerca di rendere tale utilità la più grande possibile.
Soluzione Problema 15
½
xij =
1 se ballerino i in coppia con ballerina j
0 altrimenti
z = max
X
XX
(pij + qji )xij
i
xij ≤ 1 ∀i
j
24
(152)
j
(153)
X
XX
i
xij = 1 ∀j
(154)
i
(wij + uji )xij ≤ W
(155)
j
x12 ≤ x34
x76 ≤ x45
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(156)
(157)
(158)
Commenti alle equazioni del modello:
(152) massimizzata l’utilità complessiva,
(153) ogni ballerino i può ballare al più con una partner j, qualche i rimane
a casa,
(154) ogni ballerina j deve ballare con un partner i,
(155) non spendere più di W minuti complessivamente in opera di convincimento,
(156) se il ballerino 1 è in coppia con la ballerina 2 allora il ballerino 3 deve
essere in coppia con la ballerina 4,
(157) se il ballerino 4 non è in coppia con la ballerina 5 allora neanche il
ballerino 7 può fare coppia con la ballerina 6, quindi se 7 è in coppia
con 6 allora 4 è in coppia con 5,
(158) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Massimizzazione della minima utilità:
½
xij =
w
:
1 se ballerino i in coppia con ballerina j
0 altrimenti
minima utilità
z = max w
X
w ≤
qji xij
X
∀j
(159)
(160)
i
xij ≤ 1 ∀i
(161)
xij = 1 ∀j
(162)
j
X
i
25
XX
i
(wij + uji )xij ≤ W
(163)
j
x12 ≤ x34
x76 ≤ x45
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(164)
(165)
(166)
Le condizioni (160) impongono che w sia minore o uguale dell’utilità
percepita da ogni ballerina. L’obiettivo (159) cercando di massimizzare il
valore di w forza tale variabile ad essere uguale al valore della minima utilità
percepita e contemporaneamente cerca di rendere tale utilità la più grande
possibile.
Soluzione Problema 16
½
1
½0
1
=
0
se camion i assegnato al cliente j
altrimenti
se oggetto k nel camion i
altrimenti
xij =
yki
z = min
X
XX
i
cij xij
(167)
j
xij ≤ 1 ∀i
(168)
j
X
wk yki ≤ bi xij
∀j, ∀i
(169)
k∈Sj
X
yki = 1 ∀k
(170)
i
y1i + y2i ≤ 1 ∀i
y3i = y4i = y5i ∀i
xij , yki ∈ {0, 1} ∀j, ∀i, ∀k
(171)
(172)
(173)
Commenti alle equazioni del modello:
(167) minimizzati i costi,
(168) ogni camion i può essere inviato ad un solo cliente j,
(169) ogni cliente j deve caricare gli oggetti k non frazionabili appartenenti
all’insieme Sj sui camion che gli sono stati assegnati, nel rispetto delle
capacità degli stessi. Notare le similitudini con il problema di bin packing,
26
(170) ogni oggetto k deve essere trasportato,
(171) l’oggetto 1 non può stare nello stesso camion dell’oggetto 2,
(172) gli oggetti 3, 4 e 5 devono viaggiare nello stesso mezzo,
(173) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
Soluzione Problema 17
½
xij =
1 se consegna i assegnata al trasportatore j
0 altrimenti
z = min
X
XX
i
pij xij
(174)
j
xij = 1 ∀i
(175)
xij ≤ 1 ∀j
(176)
j
X
XX
i
i
tij xij ≤ K
(177)
j
x11 + x12 + x13 = 1
x35 ≤ x24
xij ∈ {0, 1} ∀j, ∀i
(178)
(179)
(180)
Commenti alle equazioni del modello:
(174) minimizzati i costi,
(175) ogni consegna i deve essere eseguita,
(176) ogni autotrasportatore j può eseguire al massimo una consegna i,
(177) non far perdere complessivamente ai clienti più di un tempo K in
supervisione,
(178) la consegna 1 eseguita da uno tra gli autotrasportatori 1, 2 o 3,
(179) se la consegna 2 non è eseguita dal trasportatore 4, il trasportatore 5
non deve eseguire la 3,
(180) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive.
27
Soluzione Problema 18
½
xij =
yij
:
1 se lavorazione i eseguita su macchina j
0 altrimenti
tempo speso per lavorazione i su macchina j
z = min
X
X
XX
i
qi xij
(181)
j
yij = pi
∀i
(182)
(qi xij + yij ) ≤ K
∀j
(183)
j
i
yij
x1j + x2j
y12
xij
yij
≤
≤
≤
∈
≥
pj xij ∀j, ∀i
1 ∀j
y32 + y42
{0, 1} ∀j, ∀i
0 ∀j, ∀i
(184)
(185)
(186)
(187)
(188)
Commenti alle equazioni del modello:
(181) minimizzati i tempi complessivi di attrezzaggio,
(182) ogni commessa i richiede complessivamente un tempo di lavorazione
pi ,
(183) si hanno a disposizione K ore (tra lavorazioni ed attrezzaggi) per ogni
macchina j,
(184) un tempo fisso qi di attrezzaggio (set-up) è richiesto su ogni macchina
j su cui viene eseguita anche solo parzialmente la lavorazione i, i.e., per
ogni macchina per cui yij > 0,
(185) le commesse 1 e 2 non possono essere eseguite sulle stesse macchine,
(186) il tempo di lavorazione della commessa 1 sulla macchina 2 non può
essere superiore alla somma dei tempi di lavorazione delle commesse 3
e 4 sulla stessa macchina,
(187) le variabili sono intere, poiché corrispondono a decisioni mutualmente
esclusive,
(188) lei tempi di lavorazione possono essere solo non negativi,
28