Modelli classici di PL

Modelli di PL: allocazione ottima di risorse
I
Un esempio
I
Modelli a risorse condivise
I
Modelli a risorse alternative
I
Modelli multi-periodo
Allocazione ottima di robot
I Un’ azienda automobilistica produce tre diversi modelli di autovettura:
economico (E), normale (N), lusso (L)
I ogni autovettura viene lavorata da tre robot: A, B disponibili 8 ore al
giorno e C disponibile 5 ore al giorno
I durate della lavorazione (min.) di ciascun robot su ciascuna vettura:
A
B
C
economica
20
31
16
normale
30
42
81
lusso
62
51
10
I il numero di autovetture L non deve superare il 20% del totale, mentre il
numero di E deve essere almeno il 40%
I tutte le vetture vengono vendute e il ricavo ammonta rispettivamente a
1000, 1500, 2200 Euro per ciascuna autovettura di tipo E,N e L
Formulare il problema di PL che permetta di elaborare un piano di produzione
che massimizzi il ricavo totale
Formulazione
I variabili decisionali: xE , xN , xL numero di autovetture del modello risp.
E, N, L da produrre in un giorno
I funzione obiettivo: ricavo dalle vendite
max 1000xE + 1500xN + 2200xL
I vincolo sulla capacità produttiva
20xE + 30xN + 62xL ≤ 480
31xE + 42xN + 51xL ≤ 480
16x1 + 81xN + 10xL ≤ 300
I vincoli sulle percentuali di vetture
xL ≤ 0.2(xE + xN + xL )
xE ≥ 0.4(xE + xN + xL )
I vincoli di non negatività
xE ≥ 0, xN ≥ 0, xL ≥ 0
Modello di PL
max 1000xE + 1500xN + 2200xL
subject to
20xE + 30xN + 62xL ≤ 480
31xE + 42xN + 51xL ≤ 480
16x1 + 81xN + 10xL ≤ 300
xL ≤ 0.2(xE + xN + xL )
xE ≥ 0.4(xE + xN + xL )
xE , xN , xL ≥ 0
Osservazione Le variabili sono continue ma rappresentano quantità
indivisibili (numero di autovetture). Dovremmo imporre che xE , xL , xN
fossero intere, perdendo la linearità del problema
Variante
I
Una riorganizzazione del processo produttivo permette ora di
produrre un’autovettura (di qualsiasi tipo) utilizzando un
solo robot
I
le nuove durate delle operazioni sono (adesso i valori di una
colonna sono in alternativa!):
A
B
C
economica
80
41
36
normale
50
95
109
lusso
102
71
40
nuove variabili decisionali: xij , i = A, B, C; j = E, N, L numero
di autovetture del modello j costruite dal robot i
Formulazione
I funzione obiettivo
max 1000(xAE +xBE +xCE )+1500(xAN +xBN +xCN )+2200(xAL +xBL +xCL )
I vincolo sulla capacità produttiva
80xAE + 50xAN + 102xAL ≤ 480
41xBE + 95xBN + 71xBL ≤ 480
36xCL + 109xCN + 40xCL ≤ 300
I vincoli sulle percentuali di vetture
xAL + xBL + xCL ≤ 0.2
X
X
xij
i=A,B,C j=E,L,N
xAE + xBE + xCE ≥ 0.4
X
X
xij
i=A,B,C j=E,L,N
I vincoli di non negatività
xij ≥ 0,
i = A, B, C; j = E, N, L
Modello di PL
max 1000(xAE + xBE + xCE ) + 1500(xAN + xBN + xCN )+
+2200(xAL + xBL + xCL )
subject to
80xAE + 50xAN + 102xAL ≤ 480
41xBE + 95xBN + 71xBL ≤ 480
36xCL + 109xCN + 40xCL ≤ 300
X
X
xAL + xBL + xCL ≤ 0.2
xij
i=A,B,C j=E,L,N
xAE + xBE + xCE ≥ 0.4
X
X
xij
i=A,B,C j=E,L,N
xij ≥ 0,
i = A, B, C; j = E, N, L
In generale
I
m risorse R1 , . . . , Rm
I
n prodotti P1 , . . . , Pn
I
produrre un’unità di Pj richiede una quantità aij di risorsa Ri
R1
..
.
P1
a11
..
.
···
···
Pj
a1j
..
.
···
···
Pn
a1n
..
.
Ri
..
.
ai1
..
.
···
aij
..
.
···
ain
..
.
Rm
am1
···
amj
···
amn
I
le risorse sono limitate: si dispone di bi unità della risorsa Ri
i = 1, . . . , m
I
pj ricavo dalla vendita di un’unità di Pj , j = 1, . . . , n
Caso 1: risorse condivise
I
variabili decisionali: x1 , . . . , xn quantità da produrre di ciascun
prodotto
I
funzione obiettivo: ricavo (proporzionalità, additività)
z = p 1 x1 + . . . + p n xn
I
vincoli sulla capacità produttiva
a11 x1 + . . . + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + . . . + a2n xn ≤ b2
..
..
..
.
···
.
.
am1 x1 + . . . + amn xn ≤ bm
I
vincoli di non negatività
xj ≥ 0, j = i, . . . , n
Caso 2: risorse alternative
I
variabili decisionali: xij quantità di prodotto j da produrre con la
risorsa i
I
funzione obiettivo: ricavo (proporzionalità, additività)
z = p1
m
X
i=1
I
xi1 + p2
m
X
xi2 + . . . + pn
i=1
n
X
xin =
i=1
vincoli sulla capacità produttiva
a11 x11 + . . . + a1n x1n ≤ b1
a21 x21 + . . . + a2n x2n ≤ b2
..
..
..
.
···
.
.
am1 xm1 + . . . + amn xmn ≤ bm
I
vincoli di non negatività
xij ≥ 0, i = 1, . . . , m; j = i, . . . , n
n
X
j=1
pj
m
X
i=1
xij
Modelli multi-periodo
I
Un’industria manifatturiera fabbrica due tipi di prodotti P1 e P2
I
ogni prodotto finito richiede 4 Kg di materiale grezzo e l’utilizzo di
due macchine: una per la levigatura e una per la pulitura
I
la disponibilità massima settimanale della levigatrice è 80 ore
mentre quella della pulitrice è 60 ore.
I
il numero di ore di lavorazione necessarie su ciascuna macchina per
ciascun prodotto finito è il seguente
levigatura
pulitura
P1
4
2
P2
2
5
Modelli multi-periodo
I
si deve programmare la produzione nelle due successive settimane
I
nella prima si potranno vendere al più 12 prodotti P1 e 4 prodotti
P2 , mentre nella seconda al più 8 prodotti P1 e 12 prodotti P2
I
i prodotti fabbricati nella settimana 1 possono anche essere tenuti in
magazzino e venduti nella settimana 2, al costo unitario di 2 Euro
(indipendente dal tipo)
I
l’industria dispone settimanalmente di 75 Kg di materiale grezzo
I
vendendo un’unità di prodotto P1 si ricavano 10 EUR nella
settimana 1 e 11 EUR nella settimana 2; i ricavi per P2 sono risp.
15 e 8 EUR.
Costruire un modello lineare che permetta di massimizzare il profitto
(ricavo − costo) complessivo ottenuto dalla vendita dei prodotti nelle due
settimane
Formulazione
I
variabili decisionali: xij quantità di prodotto Pi , i = 1, 2 fabbricato
nella settimana j, j = 1, 2; y1 , y2 quantità di prodotto risp. P1 e P2
immagazzinato
q.tità di prodotto
fabbricato
x12, x22
q.tità di prodotto
fabbricato
x11, x21
sett.
1
q.tità di prodotto
venduto
I
magazzino
y1, y2
sett.
2
q.tità di prodotto
venduto
funzione obiettivo:
ricavo prima settimana: 10(x11 − y1 ) + 15(x21 − y2 )
ricavo seconda settimana: 11(x12 + y1 ) + 8(x22 + y2 )
costo magazzino: 2(y1 + y2 )
Formulazione
I
vincoli sulla capacità produttiva
4x11 + 2x21 ≤ 80
2x11 + 5x21 ≤ 60
4x12 + 2x22 ≤ 80
2x12 + 5x22 ≤ 60
I
vincoli sulla disponibilità di materia prima
4x11 + 4x21 ≤ 75
4x12 + 4x22 ≤ 75
Formulazione
I
vincoli sulla domanda
x11 − y1 ≤ 12
x21 − y2 ≤ 4
x12 + y1 ≤ 8
x22 + y2 ≤ 12
I
vincoli di non negatività
xij ≥ 0, i = 1, 2; j = 1, 2
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0