Ricerca Operativa - IASI-CNR

TSP
Un problema di miscelazione
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G. Liuzzi1
Lunedı́ 2 Marzo 2015
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Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR
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G. Liuzzi
TSP
Un problema di miscelazione
Problema del Commesso Viaggiatore
Problema: Dato un insieme di città, determinare il percorso di
lunghezza minima che passa una e una sola volta per tutte le città.
In termini più generali:
Dato un grafo G = (V , E ), con V = {1, 2, . . . , n} e E = V × V , e
assegnate delle lunghezze δij ad ogni arco (i, j) ∈ E , si vuole
determinare il ciclo di lunghezza minima che passa una ed una sola
volta per ogni nodo del grafo.
Un ciclo che passa una ed una sola volta per ogni nodo di G è
detto ciclo HAMILTONIANO
Il numero di soluzioni ammissibili del problema (ovvero di cicli
Hamiltoniani nel grafo) è finito e pari a
(n − 1)!
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numero di permutazioni di n − 1 oggetti.
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Rappresentazione del problema
Sia G = (V , E ) con V = {1, 2, 3, 4, 5}.
Graficamente abbiamo:
4
3
2
5
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Il ciclo corrsipondente alla permutazione dei nodi {1, 3, 2, 4, 5} è
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Formulazione matematica del problema
Passo 1. Scelta delle variabili:
1 se (i, j) appartiene ad un ciclo
xij =
0 altrimenti
Quindi, per il ciclo di prima, se indichiamo con
Ē = {(1, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 1)}
l’insieme degli archi che compongono il ciclo, abbiamo:
4
x13 = x32 = x24 = x45 = x51 = 1
xij = 1,
xij = 0,
3
∀(i, j) ∈ Ē ,
∀(i, j) ∈ E \ Ē .
2
5
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Formulazione matematica del problema
Passo 2. Funzione obiettivo:
min
X
δij xij .
(i,j)∈E
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Formulazione matematica del problema
Passo 3. Vincoli:
xij ∈ {0, 1}, ∀ (i, j) ∈ E
Servono dei vincoli (delle relazioni) che IMPONGANO che
xij = 1, se (i, j) appartiene ad un ciclo
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Un problema di miscelazione
Formulazione matematica del problema
Passo 3. Vincoli:
xij ∈ {0, 1}, ∀ (i, j) ∈ E
X
xik = 1,
∀k ∈ V ,
xkj = 1,
∀k ∈ V ,
(i,k)∈E
X
(k,j)∈E
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Un problema di miscelazione
Un problema di miscelazione
Un’industria conserviera produce succhi di frutta (SF )
mescolando polpa di frutta (P) e dolcificante (D).
Il prodotto finale deve soddisfare alcuni requisiti sul contenuto
di Vitamina C (V ), Sali minerali (S) e Zucchero (Z ).
P
D
SF
costo [ecent /hg]
40
60
V [mg/hg]
140
–
≥ 70
S [mg/hg]
20
10
≥ 30
Z [g/hg]
25
50
≥ 75
Problema: Determinare le quantità ottime di P e D da miscelare.
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Formulazione matematica
Passo 1: Scelta delle variabili di decisione
x1 : indica la quantità in hg di P;
x2 : indica la quantità in hg di D;
Passo 2: Funzione obiettivo
min 40x1 + 60x2
Passo 3: Vincoli
140x1 ≥ 70
20x1 + 10x2 ≥ 30
25x1 + 50x2 ≥ 75
x1 , x2 ≥ 0
req. su V
req. su S
req. su Z
non negatività
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