Corso di Motori Aeronautici
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Corso di Motori Aeronautici Mauro Valorani Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER) Sapienza, Università di Roma Anno Accademico 2011-12 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Sett. 8: Turbomacchine (II) 1 Rendimenti Turbomacchine Classificazione Rendimento Turbine Lavoro Turbine total-total e total-static Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine Divergenza isobare Rendimento di una turbina pluristadio Rendimento di una macchina a infiniti stadi Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica Fattore di recupero politropico 2 Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Turbomacchine termiche Parametri di prestazione adimensionali Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile Curve caratteristiche per compressori e turbine Condizione di massimo rendimento Numero di giri e diametro specifici Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici Applicazioni dell’analisi dimensionale 3 Compressori e Turbine Assiali Tipologie di triangoli di velocità Compressore assiale Turbina assiale Cifre adimensionali Triangoli di velocità di compressore assiale Triangoli di velocità di turbina assiale Relazioni cinematiche Lavoro di stadio Lavoro di stadio adimensionale Schiere di pale per compressori e turbine Rendimento di stadio Rapporto delle pressioni Grado di Reazione Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Lez. 16: Rendimenti delle Turbomacchine Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rendimenti Turbomacchine Figure: Schematizzazione del flusso energetico in un compressore. Figure: Schematizzazione del flusso energetico in una turbina. Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Classificazione Rendimento Turbine Classificazione Rendimento Turbine Rendimento adiabatico (o isentropico) di macchina: Rendimento total-to-total; Rendimento total-to-static; Rendimento pluri-stadio Numero finito di stadi; Numero infinito di stadi: rendimento politropico. Figure: Evoluzione del flusso in turbina riportata nel piano entalpico. Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Lavoro Turbine total-total e total-static Lavoro Turbine total-total e total-static Espansione adiabatica ideale Q̇ = 0 attraverso uno statore ed un rotore: ∆sStator = ∆sRotor = 0 ⇒ Ėv ≡ 0 Se l’energia cinetica del flusso in uscita è utile allora il lavoro utile ideale estraibile dalla turbina è detto total to total e vale: id Ẇtt = −∆ [h0 ]id tt = h01 − h03s (s1 , p03s ) ṁ (19) Se l’energia cinetica residua non è utile si definisce il lavoro utile ideale estraibile dalla turbina è detto total to static e vale: id Ẇts = −∆ [h0 ]id ts = h01 − h3s (s1 , p3 ) ṁ (20) Entrambe le forme sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto di espansione della turbina. Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine Espansione adiabatica reale Q̇ = 0 attraverso uno statore ed un rotore. Perdite non nulle: vanno sottratte al lavoro ideale per avere il valore reale estratto. Ẇ re Ėv Ėrec Ėv Ėrec re id = −∆ [h0 ] = −∆ [h0 ]tt − + = h01 − h03s (s1 , p03s ) − + ṁ ṁ ṁ ṁ ṁ ! " 2 Ẇ re V Ė Ė Ė Ė V2 v rec v rec re id = −∆ [h0 ] = −∆ [h0 ]ts − 3 − + = h01 −h3s (s1 , p3s )− − + 3 ṁ 2 ṁ ṁ ṁ ṁ 2 Introduciamo quindi il rendimento adiabatico total to total: ηtt = Ẇ re Ėv − Ėrec h01 − h03 =1− = id h01 − h03s ṁ (h01 − h03s ) Wtt e il rendimento adiabatico total to static: ηts = Ẇ re id Ẇts = Ėv − Ėrec + ṁV32 /2 h01 − h03 =1− h01 − h3s ṁ (h01 − h3s ) Il lavoro estratto sarà : Ẇ re ' ( id (h03s ) ηtt h03s , Ėv , Ėrec Ẇtt * ) = V32 id Ẇ η h , Ė , Ė , ts 3s v rec ts (h3s ) 2 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine Il rendimento adiabatico total to static è esprimibile in funzione del rapporto di espansione e il lavoro estratto: ηts = cp (T01 − T03 ) = cp (T01 − T3s ) T03 T03 1− Ẇ /ṁ T01 T01 (21) = ) * γ−1 = * γ−1 ) T3s p γ p3 γ 3 1− 1− cp T01 1 − T01 p01 p01 1− visto che nel caso ideale l’espansione è isentropica; per il rendimento total to total: 1− ηtt = 1− ) T03 T01 * γ−1 = p03 p01 γ Ẇ /ṁ ) * γ−1 p03 γ cp T01 1 − p01 e il lavoro per unità di massa può essere quindi espresso come: ) * γ−1 p3 Ẇ γ = ηts cp T01 1 − ṁ p01 (22) (23) oppure * γ−1 ) Ẇ p03 γ = ηtt cp T01 1 − ṁ p01 (24) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine Se le differenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale sono piccole: V32 V2 $ 3s 2 2 allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti: ηtt = ηts V32 1− [2cp (T01 − T3s )] e risulta subito: ηtt > ηts (25) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine Dalla relazione: 1− ηts = 1− ) T03 T01 * γ−1 p3 p01 γ e poichè lo stato (03) e (03s) hanno la stessa pressione totale ∆s T03 R p03 T03 = ln − ln = ln cp T03s cp p03s T03s Inoltre: ∆s T03 T03s T03 = = e cp T01 T03s T01 e quindi: ηts = ed analogamente: ηtt = ) p03 p01 * γ−1 * γ−1 ∆s p03 γ e cp p01 ) * γ−1 p3 γ 1− p01 1− ) * γ−1 ∆s p03 γ e cp p01 ) * γ−1 p03 γ 1− p01 1− ) γ Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Divergenza isobare Divergenza isobare Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha: ds = cp dp0 dT0 −R T0 p0 ma per un’isobara (dp0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all’aumentare della temperatura (e quindi dell’entalpia): ! dT0 !! T0 = ds !p0 =cost. cp Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rendimento di una turbina pluristadio Rendimento di una turbina pluristadio Fattore di recupero Consideriamo una macchina a tre stadi; ogni stadio ha lo stesso rendimento adiabatico ηst definito come: ηst = h01 − h02 h02 − h03 h03 − h04 = = h01 − h02s h02 − h03ss h03 − h04sss mentre il rendimento totale sarà definito come: h01 − h04 h01 − h04s (h01 − h02s ) + (h02 − h03ss ) + (h03 − h04sss ) = ηst h01 − h04s Esplicitando le perdite entalpiche si ottiene: ηT = " h02 = h02s + ∆h2 " ; h03 = h03ss + ∆h3 " ; "" h04sss = h04s + ∆h4 + ∆h4 e sostituendo: ηT = ηst ' ( / ' (0 " " " "" h01 − h02s + h02s + ∆h2 − h03ss + h03ss + ∆h3 − h04s + ∆h4 + ∆h4 h01 − h04s ossia: ηT ' ( " " " "" ∆h2 + ∆h3 − ∆h4 + ∆h4 = ηst 1 + h01 − h04s con ηT > ηst vista la divergenza delle isobare. Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rendimento di una macchina a infiniti stadi Rendimento di una macchina a infiniti stadi Rendimento politropico Per una turbina formata da infiniti stadi, attraverso ognuno dei quali si verifica un salto di pressione infinitesimo, si definisce rendimento politropico: ηp := dh0 dhid 0 Dall’espressione dell’entropia si ha: T ds = dh0 − 1 dp0 ρ0 Nel caso isoentropico ds = 0 e quindi: id dh0 = 1 dp0 ρ0 per cui il rendimento politropico diventa: ηp = p0 γ dT0 ρ0 cp dT0 = dp0 T0 γ − 1 dp0 Considerando ηp = cost tra due stati (01) e (02) e integrando per separazione delle variabili si ha: ) * γ−1 ηp T02 p02 γ = T01 p01 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica Per una trasformazione politropica di indice n rappresentata dall’espressione p0 · ρ−n = cost. 0 Differenziando si ha: dp0 dρ0 −n =0 p0 ρ0 (26) Differenziando l’equazione di stato per un gas ideale e sostituendo la precedente si ottiene: dp0 dρ0 n − 1 dp0 dT0 = − = (27) T0 p0 ρ0 n p0 Integrando la precedente e confrontando con il risultato scritto in funzione di ηp si ha " " # n−1 # γ−1 ηp n γ p02 p02 T02 = (28) = T01 p01 p01 da cui si ricava la relazione fra ηp e indice della politropica n: ηp = γ n−1 γ−1 n (29) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Fattore di recupero politropico Fattore di recupero politropico Il rendimento della turbina si può esprimere in funzione del rendimento politropico e del rapporto di espansione: " # γ−1 ηp γ p02 T02 1− p02 h01 − h02 p01 T01 ηt ηp , = = = # γ−1 " T02s p01 h01 − h02s γ p02 1− 1− T01 p01 ' & Si dimostra che il rapporto (fattore di recupero) FR := ηt ηp , pp02 /ηp , è sempre 01 maggiore di uno a causa della divergenza delle isobare $ % 1− Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Fattore di recupero politropico Lez. 17: Analisi Dimensionale per le Turbomacchine Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale L’analisi e il confronto tra le turbomacchine è reso più agevole dall’analisi dimensionale: con l’ausilio del Teorema Π di Buckingham possiamo ridurre il numero dei parametri che caratterizzano il sistema in esame. Possiamo distinguere: parametri di funzionamento velocità angolare ω (o numero di giri N ); portata massica ṁ (o volumetrica Q ); coppia applicata Ma ; variazione caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperatura T , volume specifico v); parametri di prestazione variazione di entalpia totale ∆ [h0 ]; rendimento η; potenza trasmessa o ricevuta dall’asse Ẇ ; proprietà del fluido densità del flusso entrante ρ ; viscosità dinamica µ; peso molecolare M; calore specifico cp ; geometria del sistema dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro); altre lunghezze caratteristiche, %i (sezioni di ingresso/uscita, giochi, ecc. . . ) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Turbomacchine termiche Turbomacchine termiche Nei flussi non isotermi si nota la presenza della temperatura tra le grandezze fondamentali; dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo: ∆h0 = h (ṁ, N, D, ρ01 , µ01 , a01 , γ, $i ) η = η (ṁ, N, D, ρ01 , µ01 , a01 , γ, $i ) Ẇ = Ẇ (ṁ, N, D, ρ01 , µ01 , a01 , γ, $i ) ove il pedice ()01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione di ingresso Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Parametri di prestazione adimensionali Parametri di prestazione adimensionali Grandezze fondamentali: densità ρ, diametro caratteristico D, numero di giri N temperatura T : cifra di flusso ṁ ϕ= ρ01 N D 3 numero di Reynolds di macchina ReD = ρ01 N D 2 µ01 numero di Mach di pala M aD = ND a01 cifra di pressione ψ= ( ) ∆ h0is (N D)2 cifra di potenza Ẇ ρ01 N 3 D 5 Le prestazioni della macchina potranno essere quindi espresse da funzionali del tipo: λ= ψ = ψ (ϕ, ReD , M aD , γ) ; η = η (ϕ, ReD , M aD , γ) ; λ = λ (ϕ, ReD , M aD , γ) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali Espressioni equivalenti: cifra di flusso in funzione del numero di Mach di pala ϕ= √ ṁ a01 ṁ 1 ṁ RT01 1 ṁ = = = √ ρ01 N D 3 ρ01 a01 D 2 N D ρ01 a01 D 2 M aD p01 D 2 γ M aD cifra di pressione in funzione del rapporto tra le pressioni: " # γ−1 γ p02 cp (T01 − T02s ) cp T01 1− ψ= = p01 (N D)2 (N D)2 # γ−1 # γ−1 " " γ γ γRT01 1 p02 p02 = = 1− 1− p01 (γ − 1) M a2D p01 (γ − 1) (N D)2 cifra di potenza in funzione del salto di temperature totali λ= a201 ṁcp ∆T0 ϕ cp ∆T0 ϕ Ẇ = = = 2 2 γRT 2 3 5 ρ01 N D MD (γ − 1) MD ρ01 (N D) (N D) a201 01 " ∆T0 T01 # Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile Definizioni alternative: portata ridotta √ ṁ RT01 √ p01 D 2 γ cifra di pressione espressa come rapporto tra le pressioni: " √ # p02 ṁ RT01 p02 = √ , ReD , M aD , γ 2 p01 p01 p01 D γ cifra di potenza espressa come salto di temperature totali " √ # ∆T0 ∆T0 ṁ RT01 = √ , ReD , M aD , γ 2 T01 T01 p01 D γ rendimento η=η " √ # ṁ RT01 , Re , M a , γ √ D D p01 D 2 γ Con le ipotesi: stesso fluido per tutte le macchine in esame: medesimi γ ed R; le macchine con lo stesso diametro D; allora si possono definire una portata e numero di giri ridotti come segue √ N ṁ T01 √ p01 T01 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Curve caratteristiche per compressori e turbine Curve caratteristiche per compressori e turbine Le prestazioni delle turbomacchine in condizioni di fuori progetto (curve caratteristiche) possono essere sintetizzate utilizzando ad esempio un piano ( portata ridotta, rapporto delle pressioni totali ) Figure: Curve caratteristiche per compressori e turbine Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Condizione di massimo rendimento Condizione di massimo rendimento Le curve caratteristiche descrivono le prestazioni in condizioni di fuori progetto di una macchina in termini di cifra di pressione e rendimento in funzione della cifra di flusso. Come si può invece caratterizzare una macchina in base ad un solo punto di funzionamento ? Si considera la condizione di massimo rendimento a cui corrisponde la cifra di flusso ϕ∗ : ! ∂η !! =0 ∂ϕ !ϕ∗ ovvero ϕ∗ = η −1 (ηmax ) e quindi si trova il valore della cifra di pressione corrispondente ( ) ψ ∗ = ψ η −1 (ηmax ) = ψ̄ (ηmax ) La coppia (ϕ∗ (ηmax ) , ψ ∗ (ηmax )) caratterizza univocamente una macchina Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Numero di giri e diametro specifici Numero di giri e diametro specifici ϕ∗ (ηmax ) , ψ ∗ (ηmax ) dipendono però sia dal numero di giri che dal diametro; conviene allora definire: numero di giri specifico per una pompa come 1 Ns = (ϕ∗ ) 2 3 (ψ ∗ ) 4 = ' √ N Q / 0 0( 3 4 ∆ pρ (30) che dipende solo dal numero di giri; per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione 1 Nsp = λ2 5 ψ4 =N Ẇ √ 1 2 5 (31) ρ01 (∆ [h0 ]) 4 diametro specifico (dipende solo dal diametro) 1 Ds = (ψ ∗ ) 4 1 (ϕ∗ ) 2 = . ( )/ 1 D ∆ h0 4 √ Q ϕ∗ e ψ ∗ sono funzione del disegno e delle condizioni operative della macchina (dimensioni, portata, numero di giri); Ns e Ds sono funzioni della sola architettura della turbina o pompa (assiale, radiale o mista). Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici Nel piano (Ns , Ds ) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia a pendenza negativa. si ha inoltre che: macchine ad angolo di uscita β2 costante sono su curve a pendenza negativa all’incirca parallele tra di loro; macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescenti decrescenti con i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori; le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori Il numero di giri ed il diametro specifici sono fra loro inversamente proporzionali, e quindi macchine con una una più elevata prevalenza (diametro specifico maggiore) hanno rendimenti sempre più bassi; per ovviare a questo inconveniente si ricorre alla stadiazione. Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Applicazioni dell’analisi dimensionale Applicazioni dell’analisi dimensionale Con l’analisi dimensionale è possibile, tra gli altri, risolvere i seguenti problemi: dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpia totale), la portata (massica o di volume) e il numero di giri è possibile determinare il numero di giri specifico e quindi il tipo di macchina; dal tipo di macchina (Ns ), il salto entalpico e la portata si può trovare il numero di giri al quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabile come condizione di progetto); noto il diametro specifico (Ds ), il salto entalpico e la portata si può determinare il diametro della macchina che fornisce il massimo rendimento; dato Ns e il range di valori che può assumere il numero di giri (N ∈ [Nmin , Nmax ]) si possono determinare gli estremi valori assunti dalla potenza; si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: si suddivide il diagramma (Ns , Ds ) in zone a ciascuna delle quali verrà assegnata una condizione di riferimento da cui costruire la macchina; la classificazione delle turbomacchine; la prova su diverse scale. Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Applicazioni dell’analisi dimensionale Lez. 18: Compressore Vs Turbina Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Compressori e Turbine Assiali Flusso nel piano meridiano e inter-palare Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Tipologie di triangoli di velocità Tipologie di triangoli di velocità Figure: Triangoli di ingresso ed uscita con base condivisa Figure: Triangolo di ingresso ed uscita con vertice condiviso Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Compressore assiale Piano TS e triangoli di velocità di un compressore assiale Figure: Piano (T,s) e sezione su piano meridiano Figure: Sezione su piano inter-palare Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Turbina assiale Piano TS e triangoli di velocità di una turbina assiale Figure: Sezione su piano meridiano e piano inter-palare Figure: Piano (T,s) e triangoli di velocità Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Cifre adimensionali Cifre adimensionali Cifra di flusso ϕ := Ca U Cifra di pressione ψ := |cp ∆[T0 ]st | |Ẇst | = U2 U2 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Triangoli di velocità di compressore assiale Triangoli di velocità di compressore assiale Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Triangoli di velocità di turbina assiale Triangoli di velocità di turbina assiale Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Relazioni cinematiche Relazioni cinematiche In un triangolo di velocità di compressore assiale valgono le seguenti relazioni cinematiche 1 = tan α1 + tan β1 ϕ1 1 = tan β2 + tan α2 ϕ2 dalle quali si possono ricavare α1 and α2 , per un assegnato valore di ϕ e degli angoli metallo β1 and β2 In un triangolo di velocità di turbina assiale valgono le seguenti relazioni cinematiche 1 = tan α2 − tan β2 ϕ2 1 = tan β3 − tan α3 ϕ3 dalle quali si possono ricavare α2 and α3 , per un assegnato valore di ϕ e degli angoli metallo β2 and β3 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Lavoro di stadio Lavoro di stadio Il Lavoro di stadio di un compressore si ottiene dall’Equazione di Eulero: −Ẇst,comp = cp ∆ [T0 ]st = ∆ [U Cu ] + Ė ṁ con ∆ [T0 ]st = T03 − T01 = T02 − T01 > 0 In assenza di perdite (Ėv = 0) si ha: −Ẇst = ∆ [U Cu ] = U2 Ca,2 tan α2 −Ca,1 U1 tan α1 In un triangolo di velocità, valgono le seguenti relazioni 1 1 = tan α1 + tan β1 = tan β2 + tan α2 ϕ1 ϕ2 Se U1 = U2 e Ca,1 = Ca,2 (ϕ1 = ϕ2 ), allora: tan α2 − tan α1 = tan β1 − tan β2 e quindi: −Ẇst = cp ∆ [T0 ]st = U Ca (tan β1 − tan β2 ) > 0 ovvero, la deviazione del flusso relativo diminuisce attraverso il rotore: β1 > β2 > 0 Il Lavoro di stadio di una turbina si ottiene dall’Equazione di Eulero: −Ẇst,turb = cp ∆ [T0 ]st = ∆ [U Cu ] + Ė ṁ con ∆ [T0 ]st = T03 − T01 = T03 − T02 < 0 In assenza di perdite (Ėv = 0) si ha: 1 2 ' ( % U % · %2 · U %2 − C %3 · U %3 Ẇst = − U ∆ C = C U = U2 Ca,2 tan α2 − (−U3 Ca,3 tan α3 ) = U2 Ca,2 tan α2 + U3 Ca,3 tan α3 Dalle relazioni 1 = tan α2 − tan β2 ϕ2 1 ϕ3 = tan β3 − tan α3 e se U2 = U3 e Ca,2 = Ca,3 (ϕ2 = ϕ3 ), allora: tan α2 + tan α3 = tan β3 + tan β2 e quindi: Ẇst = −cp ∆ [T0 ]st = U Ca (tan β2 + tan β3 ) > 0 ovvero, la deviazione del flusso relativo aumenta attraverso il rotore: β2 > 0 > β3 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Lavoro di stadio adimensionale Lavoro di stadio adimensionale Espressioni adimensionali del lavoro di stadio di compressore e turbina Coefficiente di carico di stadio di compressore (stage loading) Lavoro specifico cp ∆ [T0 ]st = U Ca (tan β1 − tan β2 ) Coefficiente di carico ψ = ϕ (tan β1 − tan β2 ) Coefficiente di carico di stadio di turbina (blade loading coefficient) Lavoro specifico Ẇst = U Ca (tan β2 + tan β3 ) Coefficiente di carico ψ = ϕ (tan β2 + tan β3 ) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Schiere di pale per compressori e turbine Schiere di pale per compressori e turbine la deviazione del flusso relativo aumenta (inverte direzione !) attraverso il rotore turbina: Figure: Stadio di turbina assiale β2 > 0 > β3 la deviazione del flusso relativo diminuisce (stessa direzione !) attraverso il rotore compressore: β1 > β2 > 0 Figure: Stadio di compressore assiale Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rendimento di stadio Rendimento di stadio Il Rendimento di stadio adiabatico di un compressore si scrive: ηst := h03,ss − h01 h03 − h01 = T03,ss − T01 Dalle definizioni di rendimenti di stadio adiabatico total-total e total-static h01 − h03 ηts := = h01 − h3,ss T03 − T01 T01 − T03 T01 − T3,ss T = 1− da cui T03,ss T01 = 1 + ηst ∆ [T0 ] T01 con ∆ [T0 ] = T03 − T01 Dalla definizione di rapporto di compressione di stadio si ha * γ ) p03 T03,ss γ−1 Πst := = = p01 T01 γ * ) ∆ [T0 ] γ−1 1 + ηst T01 e per la Πst = ∆[T0 ] ∆[U C ] = c T u , si ha T01 p 01 ! 1 + ηst ∆ [U Cu ] cp T01 " γ γ−1 ηtt := h01 − h03 h01 − h03,ss = T01 − T03 T01 − T03,ss 1 − T03 01 ' ( γ−1 T01 =1− −∆ [T0 ]st T3,ss ηtt T01 T01 γ T = 1− da cui T03,ss p3 p01 1 − T03 01 ( γ−1 ' =1− p03 p01 γ −∆ [T0 ]st ηts T01 I rapporti di espansione tt e ts in funzione ηtt e ηts sono γ γ ) * * ) −∆ [T0 ]st − γ−1 p01 T03,ss − γ−1 = 1− Πtt := = p03 T01 ηtt T01 Πts := ovvero p01 p3 = ) *− γ T3,ss γ−1 T01 Πtt/ts = ! 1− = ) 1− −∆ [U Cu ] ηtt/ts cp T01 −∆ [T0 ]st ηts T01 "− γ γ−1 *− γ γ−1 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Rapporto delle pressioni Rapporto delle pressioni In un triangolo di velocità di compressore si ha: In un triangolo di velocità di turbina si ha: −∆ [Cu ] = Wu,3 − (−Wu,2 ) = Ca (tan β3 + tan β2 ) ∆ [Cu ] = Wu,1 − Wu,2 = Ca (tan β1 − tan β2 ) = Cu,2 − Cu,1 = Ca (tan α2 − tan α1 ) Per una macchina assiale quindi = Cu,2 − (−Cu,3 ) = Ca (tan α2 + tan α3 ) Per una macchina assiale quindi −∆ [UCu ] = UCa (tan β3 + tan β2 ) ∆ [UCu ] = UCa (tan β1 − tan β2 ) = UCa (tan α2 + tan α3 ) = UCa (tan α2 − tan α1 ) e quindi il rapporto di espansione diviene e quindi il rapporto di compressione diviene Πst = ! 1 + ηst UCa cp T01 (tan β1 − tan β2 ) " γ γ−1 ! 1− UCa ηtt/ts cp T01 "− γ (tan β2 + tan β3 ) γ−1 Dalla relazione cp ∆ [T0 ]st = Ẇst = U Ca (tan β2 + tan β3 ) Dalla relazione cp ∆ [T0 ]st = Ẇst = U Ca (tan β1 − tan β2 ) si ha che Ẇst = cp ∆ [T0 ]st = Πtt/ts = cp T01 ηst γ−1 1 − Π γ st si ha che − γ−1 γ cp ∆ [T0 ]st = Ẇtt/ts = ηtt/ts cp T01 1 − Πtt/ts NB: i rendimenti non sono costanti ma diminuiscono all’aumentare della deflessione del flusso imposta dalla pala ! Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Grado di Reazione Grado di Reazione Λ := ∆Trot Λ := ∆Tst C1 = C3 ∆Tst ⇒ ∆Tst = ∆T0,st = ∆I0,rot = 0 = h1 + 2 W1 ∆Trot := T2 − T1 = − 2 U1 2 Se U1 = U2 ⇒ h1 + 2 2 W1 2 U ∆[Cu ] Cp = h2 + = h2 + C1 = C3 2 W2 − 2 2 U2 2 2 W2 2 2 − W2 W1 2 2] ∆[Ca − Cu,1 + Cu,2 Infine se: Ca,1 = Ca,2 ⇒ ∆I0,rot = 0 = h2 + 2 W2 − 2 2 2 W2 2 2U Cp = h3 + = h3 + 2 W3 − 2 2 U3 2 2 W3 2 2 − W2 W3 2 2Cp 2 2] ∆[Ca − Cu,2 + Cu,3 2U ∆[Cu ] Cu,1 + Cu,2 2 U2 U ∆[Cu ] 2 2 = Ca + (U − Cu ) ( 1 ' 2 2 ∆Trot = −∆[Ca ] − ∆[Cu ] + 2U ∆[Cu ] 2Cp ' ( 2 ] − ∆[C 2 ] + 2U ∆[C ] −∆[Ca ∆Trot u u = Λ = ∆Tst 2U ∆[Cu ] con W Λ = 1+ 2U Λ = 1− ∆Tst = ∆T0,st = − ∆Trot := T2 − T3 = 2Cp 2 2 con W = Ca + (U − Cu ) ( 1 ' 2 2 ∆Trot = −∆[Ca ] − ∆[Cu ] + 2U ∆[Cu ] 2Cp ' ( 2 ] − ∆[C 2 ] + 2U ∆[C ] −∆[Ca ∆Trot u u = Λ = ∆Tst 2U ∆[Cu ] 2U ∆[Cu ] ⇒ Se U2 = U3 ⇒ h2 + 2 Λ = 1+ ∆Trot Infine se: Ca,2 = Ca,3 ⇒ 2U Λ = 1− Cu,2 + Cu,3 2U Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocità assiale costante, il grado di reazione può essere scritto come Λ = 1− Cu,1 + Cu,2 Per uno stadio di Turbina ripetuto e con velocità assiale costante, il grado di reazione può essere scritto come Λ = 1− Cu,2 + (−Cu,3 ) 2U = 1− Cu,2 − Cu,3 2U 2U e sostituendo le relazioni valide per i triangoli di velocità si hanno le seguenti espressioni equivalenti e sostituendo le relazioni valide per i triangoli di velocità si hanno le seguenti espressioni equivalenti ϕ (tan β3 − tan β2 ) = (tan β3 − tan β2 ) 2U 2 1 Ca 1 ϕ Λ = − (tan α2 − tan β3 ) = − (tan α2 − tan β3 ) 2 2U 2 2 Ca ϕ Λ = 1− (tan α2 + tan α3 ) = 1 − (tan α2 + tan α3 ) 2U 2 Λ = Λ = Ca (tan β1 + tan β2 ) 2U 1 Ca Λ = − (tan α1 − tan β2 ) 2 2U Ca (tan α1 + tan α2 ) Λ = 1− 2U da cui Ca da cui Λ = 0 ⇒ 0 = Ca ϕ 2 1 1 (tan β1 + tan β2 ) ⇒ β1 = −β2 1 1 (tan β3 − tan β2 ) ⇒ β3 = −β2 ϕ ⇒ = − (tan α2 − tan β3 ) ⇒ α2 = β3 Λ = 2U 2 2 2 2 1 Ca ϕ Λ = ⇒ = − (tan α1 − tan β2 ) ⇒ α1 = β2 (tan α2 + tan α3 ) ⇒ α2 = −α3 Λ = 1 ⇒ 1 = 1− 2 2 2 2U 2 Ca (tan α1 + tan α2 ) ⇒ α1 = −α2 Λ = 1 ⇒ 1 = 1− 2U Λ = 0 ⇒ 0 = 1 Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Disegno di stadio di compressore Disegno di stadio di compressore Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocità assiale costante, valgono contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agli angoli dei palettaggi: ψ=ϕ (tan β1 − tan β2 ) Λ= ϕ 1 ϕ ϕ (tan β1 + tan β2 ) = − (tan α1 − tan β2 ) = 1 − (tan α1 + tan α2 ) 2 2 2 2 Risolvendo rispetto agli angoli β1 e β2 si puo costruire uno stadio di compressore che sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore in accordo con un grado di reazione assegnato Λ . Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Disegno di stadio di turbina Disegno di stadio di turbina Per uno stadio di turbina ripetuto e con velocità assiale costante, valgono contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agli angoli dei palettaggi: ψ = ϕ (tan α3 + tan α2 ) = ϕ (tan β3 + tan β2 ) Λ= 1 ϕ ϕ ϕ (tan β3 − tan β2 ) = − (tan α2 − tan β3 ) = 1 − (tan α2 + tan α3 ) 2 2 2 2 Risolvendo rispetto agli angoli β2 e β3 si puo costruire uno stadio di turbina che sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore in accordo con un grado di reazione assegnato Λ: 1 1 0 ψ − 2Λ 2ϕ tan β3 = 1 1 0 ψ + 2Λ 2ϕ 1 1 0 ψ − 2Λ + 2 2ϕ tan α3 = 1 1 0 ψ + 2Λ − 2 2ϕ tan β2 = ovvero tan α2 = Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Parametri di disegno di uno stadio Parametri di disegno di uno stadio Dall’analisi delle relazioni che esprimono: il rapporto di compressione Πst = ) il rapporto di espansione ! Πtt/ts = 1 + ηst 1− UCa (tan β1 − tan β2 ) cp T01 * UCa (tan β3 + tan β2 ) ηtt/ts cp T01 γ γ−1 "− γ γ−1 si evince che i principali parametri di disegno per avere un elevato rapporto di pressione attraverso lo stadio sono: elevata velocità periferica U = ωD/2, ovvero elevata velocità di rotazione o grandi ingombri elevate velocità assiali (alte portate) che realizzano piccole sezioni frontali (bassa resistenza aerodinamica) elevate deflezioni del fluido, che però comportano maggiori perdite di palettaggio (compromesso) bassa temperatura totale di ingresso (inter–refrigerazione fra stadi) Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Vincoli sui parametri di disegno Vincoli sui parametri di disegno Vincoli parametri di disegno compressore: sulla velocità √ periferica U < Umax ∼ σ in cui 3 r t ρpala ω 2 rA(r)dr σ= Aradice pala rr sulla velocità assiale Ca,1 tale che: Mtip ∼ 1.1 per compressore transonico; ∼ 1.5 - 1,7 per fan, con Mtip definito come 4 2 2 Ca,1 + Utip W1,max Mtip := = 5 a γRT1,tip 6 Utip =6 γR ) 2 Ca,1 U2 tip T01 − +1 2 Ca,1 2Cp * sulla deflessione del fluido tale che non si verifichino separazioni di flusso: criterio de Haller e/o del Fattore di deflessione (NASA) Vincoli parametri di disegno turbina: Tensioni dovute alla forza centrifuga come nei compressori Tensioni derivanti dall’interazione flusso/struttura Inversamente proporzionali al numero di palette e dipendenti dalla forma dei profili palari (criterio di Zweifel) direttamente proporzionali all’altezza delle palette ed al lavoro specifico assegnato alla schiera Minimizzazione del peso della macchina: scelta del numero di stadi Scelta di un grado di reazione vicino al 50% e minimo swirl allo scarico Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore Criterio di de Haller DH := V2 < 0.72 V1 Fattore di deflessione (NASA) DF := Vmax − V2 V2 ∆ [UCu ] ≈1− + V1 V1 2σV1 c (chord) con σ := s (pitch) DF < 0.6 per prevenire lo stallo DF ≈ 0.45 buona scelta di primo disegno Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine Ass Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel) Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel) La scelta del rapporto passo inter-palare s con la corda % del profilo può essere effettuato utilizazndo il criterio di Zweifel: s ' basso: numero elevato di pale forniscono una capacità di guida notevole ma elevate perdite per attrito; s ' alto: numero basso di pale determinano un elevato carico specifico della singola paletta che quindi favorisce la separazione del flusso Si “rendimento” del profilo, ψT , il rapporto tra la componente tangenziale della forza agente sul profilo, FY , e quella massima ideale, FYid , che si avrebbe qualora il lato in pressione/aspirazione si trovasse alla massima (p01 )/minima (p2 ) pressione possibile: ψT := FY FYid in cui FY = 7 8 9 t p dy = ρsVm Wθ2 − Wθ1 id FY = ' ( W2 0 p1 − p2 % = ρ 2 % 2 Al diminuire del numero di pale FY aumenta mentre pmin diminuisce fino a separazione; si dimostra che ψT si può scrivere come: ) * * ) 1 s 1 2 sin β2 − ψT = % tan β2 tan β1 Per ogni valore di ψT si ricava il rapporto s/% corrispondente ad un valore di angolo di pala al bordo di attacco, β1 , e di uscita, β2 . Nota la corda del profilo % si ottiene dunque il numero di palette: z = πD/s