Attenuazione nel cavo coassiale
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Attenuazione nel cavo coassiale
CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI II - A.A. 2013-14 - MARCO BRESSAN 1 Calcolo dell’attenuazione del modo TEM in un cavo coassiale Consideriamo ad esempio il cavo coassiale RG142 che ha le seguenti caratteristiche impedenza caratteristica diametro conduttore interno dielettrico PTFE fattore di velocità Zc 2 ri = = 1/n = 50 0.94 Ω mm r ϕ 0.66 x O assumiamo: σ θe θm conducibilità dei conduttori angolo di perdita elettrico angolo di perdita magnetico 2 107 S / m 3 10−4 trascurabile = = ri re I campi ideali, nel caso si propaghi una sola onda, sono dati da o (r, ϕ, z) = e o (r, ϕ) I o (z) Zc E o (r, ϕ, z) = h o (r, ϕ) I o (z) H dove 1 ur vettore modale elettrico r ln (re /ri ) 1 h o = uϕ vettore modale magnetico 2π r η ln (re /ri ) Zc = impedenza caratteristica 2π dall’espressione dell’impedenza caratteristica si ricava e o = re = ri e2πZc /η = 1.6 mm Ci proponiamo di calcolare la costante di attenuazione dPd dPc + 2P dz 2P dz dove αc tiene conto delle perdite nei conduttori e αd quelle nei dielettrici. La potenza trasportata nella generica sezione z è 1 : α = αc + αd = P = Zc o | I (z)|2 2 La potenza dissipata sui conduttori tra la sezione z e z + dz è 2 : 1 re Rs dPc = dz | I o (z)|2 1+ 2 2πre ri 1 1 è la resistenza superficiale dei conduttori e δ = √ è lo spessore di penetrazione. dove Rs = σδ πμσf 1 P = 1 Re 2 2 dPc = 1 dz 2 Zc o ×H ∗· E uz ds = | I (z)|2 2 S Rs | Js |2 dc = c 1 = dz Rs | I o (z)|2 2 1 dz 2 × h o · uz ds 1 |2 dc Rs | H c | h o |2r=re dc + cesterno o e S | h o |2r=re dc cinterno 1 = dz Rs | I o (z)|2 2 2π re 2πri + (2π re )2 (2πri )2 CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI II - A.A. 2013-14 - MARCO BRESSAN Risulta pertanto 2 30 Rs 1 re αc = 1+ Zc 4πre ri 25 Riscrivendo questa espressione in funzione del parametro adimensionale: 15 x = ln(re /ri ) = 2πZc /η 5 1 + ex x 20 10 si ottiene 1 2 3 4 x 5 1 + ex αc 2 re η/Rs = x da questa espressione si capisce come, una volta fissate le dimensioni del cavo (re ) e i materiali che lo compongono (η e Rs per ciascun valore della frequenza), ci siano dei valori ottimali del parametro x e quindi dell’impedenza caratteristica che rendono minima l’attenuazione. Infatti, al variare del rapporto re /ri , la costante di attenuazione può assumere valori molto grandi sia per re /ri ≈ 1 (a causa del fattore x a denominatore), sia per re /ri molto grande (a causa del termine esponenziale a numeratore). Dal diagramma, si vede che i valori ottimali di x sono compresi tra 1 e 2, per cui i valori ottimali di Zc , assumendo una costante dielettrica relativa intorno a 2, risultano compresi tra circa 40 e 80 Ω. La potenza dissipata nel dielettrico tra la sezione z e z + dz è 3 dPd = P dz 2π (tan θe + tan θm ) λ e quindi π (tan θe + tan θm ) λ Il diagramma seguente riporta il contributo all’attenuazione del cavo, in dB ogni 100 m, dovuto alla dissipazione di potenza nei conduttori (linea rossa) e quello dovuto alla dissipazione di potenza nel dielettrico (linea blu), confrontato con alcuni valori sperimentali, (punti neri). Si nota che nella banda di frequenze considerata la perdita sui conduttori è decisamente prevalente rispetto a quella nel dielettrico. αd = 100 dB / 100 m 10 1 0.1 0.01 0.001 0.01 0.1 1 f [GHz] 3 2π 2π η e ωμ = kη = , risulta: λ η λ 1 |2 ds + μ tan θm |2 ds |E |H ω dz tan θe 2 S S 1 π Zc2 o 2 o 2 o 2 | e | ds + η tan θm | I (z)| | h o |2 ds dz tan θe | I (z)| 2 λ η S S tenendo conto che ω ε = k/η = dPd = = η/Zc = 1 2π Zc | I o (z)|2 dz (tan θe + tan θm ) 2 λ P Zc /η 10