Foglio di esercizi 1 - e-Learning

Processi Stocastici 2015/16 – Foglio di esercizi 1†
Legge condizionale e speranza condizionale
Esercizio 1. Siano X, Z variabili aleatorie reali, con densità congiunta
fX,Z (x, z) = e−z 1{0≤x≤z} .
(a) Si calcolino le leggi condizionali
µX|Z (· |z) = µX (· |Z = z) ,
µZ|X (· |x) = µZ (· |X = x) ,
e si deducano le speranze condizionali E[X|Z] e E[Z|X].
(b) Posto Y := Z − X, si calcolino µX|Y e E[X|Y ].
[Sugg. Si determini la densità congiunta di (X, Y ).]
Esercizio 2 (Lemma del congelamento (o freezing)). Siano X, Y variabili aleatorie indipendenti a valori rispettivamente in Rn , Rd e sia Z := ϕ(X, Y ), dove ϕ : Rn × Rd → R è una
funzione misurabile. Facciamo l’ipotesi che Z ≥ 0 oppure Z ∈ L1 . Allora
E[Z|X] = E[ϕ(x, Y )]|x=X .
[Sugg. Qual è la legge condizionale µZ|X ?]
Esercizio 3. Siano X, Y variabili aleatorie i.i.d. U (0, 1) e sia Z := (Y − X)+ .
(a) Si determini la legge condizionale µZ|X (· |x) di Z dato X = x, mostrando che è una
probabilità su R né discreta né assolutamente continua.
(b) Si deduca la speranza condizionale E[Z|X].
(c) Si calcoli E[Z|X] senza usare la legge condizionale, ma applicando il lemma di freezing.
Esercizio 4. Sia X ∈ L2 definita su (Ω, A, P) e sia G ⊆ A.
(a) Si mostri che E[(X − E[X|G])2 |G] = E[X 2 |G] − E[X|G]2 .
[Sugg. Può essere utile definire Z := E[X|G].]
(b) Si deduca la seguente proposizione: vale l’uguaglianza E[X 2 |G] = E[X|G]2 se e solo se
esiste una variabile aleatoria Y che sia G-misurabile, tale che X = Y q.c..
Esercizio 5. Siano (Xn )n∈N variabili aleatorie i.i.d. integrabili. Sia τ una variabile aleatoria
integrabile a valori in N, indipendente dalle (Xn )n∈N . Definiamo S0 := 0 e Sn := X1 +. . .+Xn
per n ∈ N, quindi poniamo
Sτ =
τ
X
τ (ω)
Xn ,
ossia
(Sτ )(ω) =
n=1
n=1
Si mostri che E[Sτ | τ ] = E[X1 ] τ e si deduca che
E[Sτ ] = E[X1 ] E[τ ] .
†
Ultima modifica: 24 marzo 2016.
X
Xn (ω) .