: :LUZIONI

Compito di Algebra Lineare - Ingegneria Biomedica
3 febbraio 2017
IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare
calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si può scrivere con il
lapis.
A chi contravvenisse a queste disposizioni sarà annullata la prova.
Parte II: avete 1 ora e 20 minuti di tempo per risolvere questi
due esercizi, che, se svolti perfettamente, con accurate spiegazioni,
valgono 14 punti l’uno, ai quali si aggiungeranno i punti ottenuti
nella Parte I (0,5 punti per ogni risposta corretta).
Esercizio 1. Consideriamo l’endomorfismo lineare La di R3 dipendente dal
parametro reale a e definito da:
La (x, y, z) = (2ax + 2y + 2z, 2x + 2ay + 2z, 2x + 2y + 2az)
:L
:)
1. Trovare per quali valori di a l’applicazione La non è surgettiva. Fissato
uno di tali valori ā determinare una base di Ker(Lā ) e Imm(Lā ).
:
3. Determinare (se esiste) una base di R3 di autovettori per L1 (ovvero
ponendo a = 1).
2. Discutere la diagonalizzabilità di La al variare del parametro reale a.
Esercizio 2. Si consideri uno spazio vettoriale V e siano A, B, C tre suoi
sottospazi.
)
1. Dare la definizione di A + B e di A + B + C completando qui sotto:
A + B = {.................... | ...........................}
A + B + C = {.............................. | ..............................}
b) 2. Dimostrare la formula di Grassmann
dim(A) + dim(B) = dim(A \ B) + dim(A + B)
:
3. Dire se è vera la formula:
dim (A + B + C) =
= dim A+dim B+dim C dim (A\B) dim (B\C) dim (A\C)+dim (A\B\C)
4. Sia U il sottospazio di R5 definito da
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B 0 C B 1
B C B
C B
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B 0 C,B 0
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C B
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5. Sia M il sottospazio di R5 definito da:
0 1 0
1
B 0 C B
B C B
C B
M = Span(B
B 1 C,B
@ 1 A @
1
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0
2
2
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C B
C,B
C B
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