Tutorato di Probabilit`a 1, foglio VIII a.a. 2007/2008 Esercizio 1. Si

Tutorato di Probabilità 1, foglio VIII
a.a. 2007/2008
Esercizio 1. Si chiama legge di Laplace di parametro λ > 0 quella individuata dalla densità
p(x) = c e−λ|x| ,
x ∈ R.
Quanto vale c? Se X è una v.a. di Laplace di parametro λ > 0 qual è la densità di αX (α ∈ R)?
e di |X|?
Esercizio 2. Siano X ∼ Exp(λ) e Y ∼ Exp(µ), con X indipendente da Y . Calcolare la legge
(funzione di ripartizione e densità) di:
a) Z = X + Y ;
b) W = αX con α ∈ R.
Si tratta di leggi note?
Esercizio 3. Un sistema S è formato da due apparecchiature indipendenti A1 e A2 poste in
serie. Supponiamo che A1 e A2 possano rompersi entrambe in un qualsiasi istante a caso tra 0
e 1 (anno). Qual è la legge del tempo di durata del sistema? E se le apparecchiature fossero in
parallelo (ovvero il sistema funziona sino a che almeno una funziona)?
Esercizio 4. Siano X ed Y due v.a. indipendenti X ∼ Un(0, 1) e Y ∼ exp(1). Qual è la legge
di X − Y ? Quanto vale P(X > Y )?
Esercizio 5. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando accuratamente la
risposta.
a) Se X ∼ Exp(λ) allora 1/X ∼ Exp(1/λ);
b) Se X ∼ Un(a, b) con 0 < a < b allora
X−a
b−a
∼ Un(0, 1).
c) Se X ha funzione di ripartizione FX e densità fX allora Y = |X| ha funzione di ripartizione
½
0
se y < 0
FY (y) =
FX (y) − FX (−y) se y ≥ 0,
e densità
³
´
fY (y) = fX (y) + fX (−y) 1(0,+∞) (y).
Soluzioni
S 1. R Cominciamo con il calcolare il valore della costante c. Perché f sia una densità deve
essere R f (x)dx = 1, ovvero
Z
+∞
1=
Z
−λ|x|
ce
dx = 2c
−∞
+∞
e
0
−λx
¯+∞
e−λx ¯¯
2c
dx = 2c =
= .
¯
−λ 0
λ
Da cui c = λ/2. Calcoliamo la funzione di ripartizione di Z = αX. Osserviamo che questa v.a.
prende valori in R. Per z ∈ R,
FZ (z) = P(Z ≤ z) = P(αX ≤ z).
A questo punto occorre distinguere il caso α > 0 dal caso α < 0 ( se α = 0 Z è costante uguale
a zero). Se α > 0, si ha:
Z
FZ (z) = P(Z ≤ z) = P(αX ≤ z) = P(X ≤ z/α) =
z/α
−∞
λ −λ|x|
e
dx.
2
Derivando otteniamo la densità
fZ (z) =
λ − λ |z|
d
FZ (z) =
e α ,
dz
2α
quindi Z ha una legge di Laplace di parametro λ/α. Se α < 0, si ha:
Z +∞
λ −λ|x|
FZ (z) = P(Z ≤ z) = P(αX ≤ z) = P(X ≥ z/α) =
e
dx.
z/α 2
Derivando otteniamo la densità
fZ (z) =
λ
λ − |α|
d
|z|
FZ (z) = −
e
,
dz
2α
quindi Z ha una legge di Laplace di parametro −λ/α. Riassumendo qualunque sia α la v.a. αX
ha legge di Laplace di parametro λ/|α|.
Calcoliamo la funzione di ripartizione di W = |X|. Osserviamo che questa v.a. prende valori
in R+ . Se w ≤ 0 allora FW (w) = 0, per w > 0,
FW (w) = P(W ≤ w) = P(|W | ≤ w) = P(−w ≤ X ≤ w) =
Z
Z w
λ w −λ|x|
e
dx = λ
e−λx dx = 1 − e−λw .
2 −w
0
Quindi W ∼ exp(λ).
S 2. a)Dato che X ed Y sono indipendenti la densità della v.a. Z è data dal prodotto di
convoluzione. Più precisamente per z > 0 (X e Y sono v.a. positive quindi anche la loro somma)
Z
Z
fZ (z) =
fX (x)fY (z − x)dx =
λe−λx 1(0,+∞) (x) µe−µ(z−x) 1(0,+∞) (z − x)dx =
R
R
Z +∞
Z z
λµ
−λx
−µ(z−x)
(e−λz − e−µz ).
λe
µe
1(0,z) (x)dx =
λe−λx µe−µ(z−x) dx =
µ
−
λ
0
0
i
Passiamo al calcolo della funzione di ripartizione. Per z < 0 FZ (z) = 0, mentre per z ≥ 0 si ha
Z z
Z z
λµ
FZ (z) = P(Z ≤ z) =
fZ (x)dx =
(e−λx − e−µx )dx
µ
−
λ
0
0
1
1
−λz
−µz
=
[µ(1 − e ) − λ(1 − e
)] =
[µFX (z) − λFY (z)].
µ−λ
µ−λ
b)Se α = 0 allora W = 0 e P(W = 0) = 1.
Se α > 0 si ha FW (w) = 0 se w < 0 mentre per w ≥ 0
λ
FW (w) = P(W ≤ w) = P(αX ≤ w) = P(X ≤ w/α) = FX (w/α) = 1 − e− α w .
Pertanto W ∼ Exp( αλ ) e quindi ha densità
(
fW (w) =
λ
w
λ −α
αe
0
w>0
w<0
Se α < 0 si ha FW (w) = 1 se w > 0 mentre per w ≤ 0
λ
FW (w) = P(W ≤ w) = P(αX ≤ w) = P(X > w/α) = 1 − FX (w/α) = e− α w .
Pertanto W ha densità
(
fW (w) =
λ
− αλ e− α w w < 0
0
w>0
S 3.
Siano T1 e T2 i tempi di durata dei due componenti A1 e A2 rispettivamente. Ti ∼
Un(0, 1) per i = 1, 2. Se i componenti sono in serie allora il tempo di durata del sistema è
S = T1 ∧ T2 = min{T1 , T2 } mentre se sono in parallelo allora è T = T1 ∨ T2 = max{T1 , T2 }.
Calcoliamo la legge di T ed S. FT (t) = 0 se t < 0, e FT (t) = 1 se t ≥ 1. Mentre per 0 ≤ t < 1
si ha
FT (t) = P(T ≤ t) = P(T1 ∨ T2 ≤ t) = P(T1 ≤ t)P(T2 ≤ t) = t2 ,
ovvero

 0 t<0
t2 0 ≤ t < 1
FT (t) =

1 t≥1
Derivando si ottiene la densità,
½
fT (t) =
2t 0 < t < 1
0 altrimenti.
Allo stesso modo FS (t) = 0 se t < 0, e FS (t) = 1 se t ≥ 1. Mentre per 0 ≤ t < 1 si ha
FS (t) = P(S ≤ t) = P(T1 ∧ T2 ≤ t) = 1 − P(T1 ∧ T2 > t) = 1 − P(T1 > t)P(T2 > t) = 1 − (1 − t)2 ,
ovvero

t<0
 0
1 − (1 − t)2 0 ≤ t < 1
FS (t) =

1
t≥1
ii
Derivando si ottiene la densità,
½
fS (t) =
2(1 − t) 0 < t < 1
0
altrimenti.
S 4.
Occorre prima calcolare la legge di Ỹ = −Y . Per y ≥ 0 FỸ (y) = 1, mentre per
y ∈ (−∞, 0), si ha
Z +∞
FỸ (y) = P(Ỹ ≤ y) = P(Y > −y) =
e−x dx,
−y
e quindi derivando ottengo la densità di Ỹ .
pỸ (y) = ey 1(−∞,0) (y).
Adesso posso considerare la densità di Z = X + Ỹ , che è data dal prodotto di convoluzione.
Precisamente per z ∈ (−∞, 1), si ha
Z
Z 1
Z
z−x
z
1(0,1) (x)e 1(−∞,0) (z − x) dx = e
1(z,∞) (x) e−x dx.
pZ (z) =
pX (x) pỸ (z − x) dx =
R
R
Ora
Z
0
quindi
1
1(z,∞) (x) e
−x
0
( R
1 −x
e dx = 1 − e−1
per z ≤ 0
R01 −x
dx =
−z − e−1 per 0 < z < 1,
e
dx
=
e
z
 z
per z ≤ 0
 e (1 − e−1 )
ez (e−z − e−1 ) per 0 < z < 1
pZ (z) =

0
altrimenti.
Pertanto
Z
+∞
P(X > Y ) = P(X − Y > 0) = P(Z > 0) =
pZ (z) dz =
0
Z 1
Z 1
z −z
−1
e (e − e ) dz =
(1 − ez−1 ) dz = e−1 .
0
0
S 5. a)Falso: calcoliamo la funzione di ripartizione della v.a. Y = 1/X. Per y ≤ 0 FY (y) = 0,
mentre per y > 0,
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X ≥ 1/y) = e−λ/y ,
e questa non è la funzione di ripartizione di una v.a. Exp(1/λ).
b) Vero: calcoliamo la funzione di ripartizione di Y = X−a
b−a .
FY (y) = P(Y ≤ y) = P
´
³X − a
≤ y = P(X ≤ y(b − a) + a) = FX (y(b − a) + a).
b−a
Ricordiamo che se X ∼ Un(a, b) allora

 0
FX (x) =

x−a
b−a
1
pertanto
iii
x<a
a≤x<b
x ≥ b,

 0
FY (y) = FX ((y(b − a) + a) =

y(b−a)+a−a
b−a
1

y(b − a) + a < a
 0 y<0
y 0≤y<1
a ≤ y(b − a) + a < b =

1
y ≥ 1,
y(b − a) + a ≥ b
ovvero la funzione di ripartizione di una Un(0, 1).
c) Vero: calcoliamo la funzione di ripartizione di Y = |X|. Osserviamo intanto che FY (y) = 0
se y < 0. Per y ≥ 0 si ha,
P(Y ≤ y) = P(|X| ≤ y) − P(−y ≤ X ≤ y) = FX (y) − FX (−y).
Derivando si ottiene la densità,
³
´
fY (y) = fX (y) + fX (−y) 1(0,+∞) (y).
iv