Ragionamento e matematica - Dipartimento di Matematica

Ragionamento e Matematica
Introduzione
Ragionamento e matematica
I livelli del pensiero umano
I livelli del pensiero umano
S I più primitivi:
S emozioni;
S bisogni;
S desideri.
Ragionamento e matematica
S
S
S
I livelli del pensiero umano
Assiomi della geometria euclidea
Assiomi di Peano
S
Il ragionamento scientifico:
S il principio di causa
ed effetto;
S il metodo induttivo;
S il metodo deduttivo.
I più evoluti:
S logica: la tecnica del ragionamento;
S matematica:
lo studio delle possibili forme razionali (logiche) del pensiero.
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08/01/2011
Ragionamento e matematica
III - 1
I livelli del pensiero umano
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Ragionamento e matematica
Il metodo scientifico
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III - 2
I livelli del pensiero umano
Il metodo matematico
S la scienza come raccolta d’informazioni;
S la scienza come raccolta critica d’informazioni;
S la scienza come raccolta d’informazione sperimentale;
S la scienza come creazione d’informazione sperimentale (e
sperimentabile).
S Linguaggio scientifico: una tendenza all’univocità ed inequivocabilità
dei significati;
S ragionamento scientifico: la logica del vero e falso,
S ragionamento matematico: il rigore del ragionamento logico, applicato
ad una formalizzazione di elementi reali.
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III - 3
Una teoria matematica si basa su alcune verità, per poterne costruire
altre, in base al solo ragionamento.
Nella riflessione sulla realtà, le verità di base devono avere un fondamento
empirico, ovvero devono derivare da un’osservazione del reale.
La scienza usa la matematica come strumento per costruire modelli e
teorie che descrivano, ed eventualmente spieghino, il funzionamento del
mondo.
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III - 4
Il ragionamento matematico
Assiomi della geometria euclidea
Assiomi della geometria euclidea
Definizioni:
Assiomi della geometria euclidea
1)
2)
3)
4)
Per due punti si può tirare un segmento di retta.
Una retta per due punti può esser prolungata oltre i due punti.
Fissato un punto ed un segmento, esiste una circonferenza con
centro il punto e raggio il segmento.
Tutti gli angoli retti sono uguali.
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III - 5
Assiomi della geometria euclidea
Proposizione:
Due rette intersecantesi formano quattro angoli.
Dimostrazione: Ciascuna retta è infatti composta da due semirette,
dunque quattro coppie che formano otto angoli; si considera per ogni
coppia l'angolo che non contiene le altre semirette, dunque quattro angoli.
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Punto: un termine indefinito.
Retta: un insieme di punti, caratterizzato dall'assioma 1).
Segmento: tutti i punti di una retta compresi fra due punti su di essa.
Semiretta: una delle due parti in cui una retta è divisa da un punto su di
essa.
Angolo: una delle due parti di piano comprese fra due semirette uscenti
dallo stesso punto (vertice).
Angolo piatto: l'angolo formato da due semirette appartenenti alla stessa
retta.
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Assiomi della geometria euclidea
Definizioni:
Retta perpendicolare ad una data: la retta che forma con essa quattro
angoli uguali (retti). --> Assioma 3).
Lunghezza d’un segmento: rapporto fra il segmento ed un segmento unità
prefissato.
Circonferenza: tutti i punti d’un piano che possono essere uniti ad un
punto prefissato (centro) mediante segmenti d’uguale lunghezza
(raggio).
--> Assioma 4).
Retta parallela ad una data: una retta complanare ad essa che non ha
con essa alcuna intersezione (alcun punto in comune). --> Esistono?
Quante?
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Assiomi della geometria euclidea
Ragionamento e matematica
Assiomi della geometria euclidea
L’assioma delle parallele secondo Euclide
5) Se due rette tagliate da una secante comune, formano con essa angoli
diversi, allora le due rette s’incontrano dal lato in cui la somma degli
angoli è minore d’un angolo piatto.
L’assioma delle parallele secondo Lobacevskij
Conseguenza:
Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela.
5) Per un punto esterno ad una retta passano almeno due rette che non
la incontrano.
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Assiomi della geometria euclidea
L’assioma delle parallele secondo Riemann
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Assiomi della geometria euclidea
Conseguenza:
Nella geometria classica, la somma degli angoli d’un triangolo è un angolo
piatto.
5) Due rette complanari s’intersecano sempre.
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Assiomi della geometria euclidea
Ragionamento e matematica
Assiomi di Peano
Assiomi di Peano
Nelle altre geometrie non è vero.
1)
2)
3)
4)
lo zero è un numero naturale;
il successore d’un numero naturale è un numero naturale;
il successore d’un numero naturale non è lo zero;
se i successori di due numeri naturali sono uguali, lo sono anche i due
numeri;
5) se un insieme contiene lo zero ed il successore d’ogni suo elemento,
allora contiene l'insieme dei numeri naturali (assioma d'induzione).
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Assiomi di Peano
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Assiomi di Peano
... ma gli assiomi di Peano non vanno bene per tutti i numeri:
Conseguenze:
Somma di due numeri naturali:
n+0=n
n + 1 = successore di n
n + m = (per induzione) successore di n + p, se m è successore di p.
proprietà associativa
esistenza d’un elemento neutro
proprietà commutativa
(n + m) + p = n + (m + p)
n+0=0+n=n
n+m=m+n
Problema dei cammelli.
Un beduino morendo lascia 17 cammelli ai suoi tre figli, assegnandone:
1/2 al primo
1/3 al secondo
1/9 al terzo.
Come fare?
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III - 16
Ragionamento e matematica
Assiomi di Peano
Ragionamento e matematica
Assiomi di Peano
... ma il terzo figlio si fa prestare un cammello dal vicino, ed allora può
assegnare
Risulterebbero:
8 + 1/2 cammelli al primo,
5 + 2/3 cammelli al secondo,
1 + 8/9 cammelli al terzo,
9 cammelli al primo
6 al secondo
2 a sé stesso ...
che imporrebbe di ammazzare tre cammelli, e resterebbero 17/18 di
cammello.
ed il 18esimo cammello lo restituisce al vicino.
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