Diario Complementi di Probabilit`a a.a. 2007/2008 Testi di

Diario Complementi di Probabilità
a.a. 2007/2008
Testi di riferimento:
Probability with martingales, D.Williams
Probability and measure, P.Billingsley
Esercizi con soluzione distribuiti a lezione
1. 23 ottobre, martedı̀
Spazi di probabilità: la terna, le regole di calcolo e le proprietà della probabilità, una
misura additiva che verifica l’assioma di continuità è σ-additiva (dimostrazione).
Esempi: la terna con un evento certo diverso da tutto Ω e la delta di Dirac in un singleton;
gli spazi discreti, cioé Ω discreto con la σ-algebra delle parti; gli intervalli [0, 1) e [0, 1] con
i boreliani e la misura di Lebesgue.
2. 24 ottobre, mercoledı̀
Misure di probabilità su R: ogni m.p. determina una f.d.(dimostrazione); ogni f.d. determina una m.p. (idea della dimostrazione). Definizione delle classi di Dynkin, un d-sistema
che è π-sistema è una σ-algebra (dimostrazione), il Lemma di Dynkin ovvero un d-sistema
che contiene un π-sistema contiene la σ-algebra generata (senza dimostrazione). Due probabilità che coincidono su un π-sistema coincidono sulla σ-algebra generata (dimostrazione).
Definizione di indipendenza per famiglie finite di σ-algebre. Condizione sufficiente con
l’uso di π-sistemi generatori (dimostrazione). Relazione con la nozione elementare di indipendenza di una famiglia di eventi (dimostrazione).
3. 26 ottobre, venerdı̀
Costruzione della probabilità dello spazio di Bernoulli finito usando l’indipendenza degli
eventi. Richiamo delle definizioni di limsup e liminf di eventi e della catena di disuguaglianze per le probabilita’ di limsup e liminf. Relazione con il limsup e liminf delle
indicatrici degli eventi. Lemma di Borel-Cantelli (enunciato).
Esercitazione in classe n.1. Consegna del foglio per casa n.1.
————————————————————————————————————4. 30 ottobre, martedı̀
Dimostrazione di Borel-Cantelli II enuciato. Introduzione dello spazio di Bernoulli infinito.
Esempio di applicazione: ogni sequenza finita di teste e croci si ripete infinite volte con
probabilità 1. Lemma dell’indipendenza ”a pacchetti”.
Definizione di variabile aleatoria reale come applicazione misurabile da Ω in R boreliana.
Le condizioni sufficienti affinché X sia una v.a. Le operazioni con le v.a.
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5. 31 ottobre, mercoledı̀
Ancora operazioni con v.a. e definizione di v.a. a valori nella retta estesa. Esempi:
l’indicatrice di un evento e come esempio la v.a. che legge 1 se esce testa all’-n-mo lancio,
la v.a. che conta le teste uscite nei primi n-lanci,le applicazioni a valori reali da uno spazio
discreto, le v.a. semplici
σ-algebra generata da una v.a. e da una famiglia di v.a. Esempi. Indipendenza di famiglie
di v.a. e quindi indipendenza degli eventi come indipendenza delle indicatrici. Indipendenza delle v.a. sullo spazio di Bernoulli infinito parametrizzate da i che valgono 1 se
all’i-mo lancio esce T . Definizione di σ-algebra coda. Legge 0-1 di Kolmogorov, prima
parte: enunciato.
2 novembre, venerdı̀ non facciamo lezione, ma è in rete l’Esercitazione in classe n.2.
6. 6 novembre, martedı̀
Legge 0-1 di Kolmogorov
Esempi di eventi e v.a. misurabili rispetto alla σ-algebra coda e in particolare il sottoinsieme dello spazio di Bernoulli infinito {”la frequenza relativa delle teste converge a p ”} è
un evento nella σ-algebra coda (di cui la LLN calcola la probabilità!).
7. 7 novembre, mercoledı̀
Consegna del foglio per casa n.2.
Legge di una v.a. Funzione di distribuzione o funzione di ripartizione. Esempio di due v.a.
sulla stessa terna con stessa legge ma diverse per ogni ω. Legge e funzione di distribuzione
di v.a. semplici, con densità. Un esempio di v.a. con funzione di distribuzione né discreta,
né continua.
Principali proprietà delle funzioni di distribuzione: salti al più numerabili della f.d. e
(senza dimostrazione) esistenza q.o. della derivata prima e sua integrabilità. Parte a salti,
parte continua, parte assol.continua, parte singolare di una d.f. Enunciato del teorema di
Lebesgue.
8. 9 novembre, venerdı̀
Esistenza di v.a., costruzione di Skorohod.
Esercitazione in classe n.3.
——————————————————————————————————————9. 13 novembre, martedı̀
Applicazione del teorema di Skorohod all’esistenza di una famiglia numerabile di v.a.
indipendenti
Definizione di media di una v.a.. Il comportamento asintotico delle medie di una sequenza
di v.a. convergente P-q.c. deducibile da Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue.
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10. 14 novembre, mercoledı̀
Consegna del foglio per casa n.3.
Calcolo della media in termini della legge della v.a. Esempi:indicatrice, v.a. semplice, v.a.
con densità. Rappresentazione della media di una v.a. nonnegativa come integrale della
funzione di sopravvivenza. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Jensen.
Momenti assoluti di ordine p. Spazi Lp e loro monotonia. Proprietà degli spazi Lp : ogni
X appartenente a Lp è q.c. finita, le v.a. q.c. limitate sono in Lp , qualsiasi sia p.
11. 16 novembre, venerdı̀
Lp è spazio vettoriale e la semi-norma kXkp : disuguaglianza di Schwartz e disuguaglianza
di Minkowski nel caso p=2, Hoelder e Minkowski nel caso generale (solo enunciato). Covarianza,varianza,varianza della somma. La media del prodotto nel caso v.a. indipendenti
e in L1 . V.a. indipendenti sono scorrelate.
Esercitazione in classe n.4.
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12. 20 novembre, martedı̀
Legge forte dei grandi numeri con il momento quarto. Legge forte con il momento quarto
e medie diverse.
Il polinomio di Bernstein e la disuguaglianza di Chebyshev. Una condizione equivalente
alla convergenza q.c. di una successione di v.a.
13. 21 novembre, mercoledı̀
unicità del limite q.c., la somma finita di successioni che convergono q.c. converge q.c.,
Legge forte di Rajchmann
Confronto tra la legge forte con il momento quarto e quella di Rajchmann. La legge
forte di Kolmogorov (senza dimostrazione). Convergenza in probabilità e relazioni con la
convergenza q.c. (con dimostrazione) La convergenza q.c. implica quella in Lp quando
c’è uniforme dominazione con una v.a. in Lp . Il quadro delle convergenze. Esempio di
convergenza in probabilità che non è q.c.
14. 23 novembre, venerdı̀
Consegnato foglio per casa n.4
Esercizi sulla convergenza q.c. (Esercitazione in classe n.6): trasformazioni continue di sequenze q.c. convergenti. In generale le medie di sequenze q.c. convergenti non convergono
alla media del limite: controesempio
Esercitazione in classe n.5
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15. 27 novembre, martedı̀
La convergenza in probabilità (e quindi quella q.c. e in Lp ) implica la convergenza delle
medie di funzionali continui e limitati. Convergenza in legge come la convergenza delle
medie di funzionali continui e limitati. Equivalenza con la convergenza delle funzioni di
distribuzione nei punti di continuità della distribuzione limite.
Se c’è convergenza in legge convergono anche le medie di funzionali continui a meno di un
insieme di misura limite nulla. Equivalenza della convergenza in legge con la convergenza
della misura di boreliani con frontiera di misura limite nulla. Unicità del limite in legge.
16. 28 novembre, mercoledı̀
Consegna del foglio per casa n.5.
Esempio nel caso di convergenza in legge della non convergenza delle d.f. nei punti di
discontinuità. Esempio di convergenza in legge di v.a discrete a v.a.continua. Convergenza
in legge ad una costante implica convergenza in probabilità.
Teorema di Helly-Bray.
30 novembre, venerdı̀ non si fa lezione a causa dello sciopero
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4 dicembre, martedı̀
Ogni misura di probabilità sulla retta è tight. Una sequenza di d.f. tight ammette una
sottosequenza debolmente convergente ad una d.f. . Data una sequenza tight se tutte le
sottosequenze debolmente convergenti convergono allo stesso limite allora quello è anche
limite debole della sequenza.
Richiamo definizione di funzione caratteristica di v.a. (reale). Richiamo proprietà; in
particolare (senza dimostrazione) dell’uniforme continuità. Primo enunciato del Teorema
di Lévy (senza dimostrazione). Teorema di convergenza di Lévy (con dimostrazione).
17. 5 dicembre, mercoledı̀ mattina
Funzione caratteristica della somma di v.a. indipendenti. Elenco delle principali c.f.
Derivabilità della funzione caratteristica. Espansione di Taylor al II ordine in θ = 0 della
funzione caratteristica di una v.a. con momento secondo. CLT di Lindeberg-Lévy.
18. 5 dicembre, mercoledı̀ pomeriggio
Discussione sulla condizione di Lindeberg per il CLT in assenza di di equidistribuzione
degli addendi.
Esercitazione in classe n.7
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19. 7 dicembre, venerdı̀
Consegna del foglio per casa n.6.
V.a. n-dimensionali: legge, d.f., esistenza. Applicazioni del teorema di Fubini nello studio
di n v.a.: condizioni equivalenti all’indipendenza di n v.a.; v.a. n-dimensionali con densità
e densità marginali; v.a. indipendenti con densità e equivalenza con la fattorizzazione della
densità congiunta. Cenni alla funzione caratteristica in più variabili e all’estensione delle
definizioni e dei teoremi di convergenza in più variabili.
Esercitazione in classe n.8
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20. 11 dicembre, martedı̀
Definizione di media condizionata e interpretazione. Esistenza (senza l’uso del Teorema di
Radon-Nycodim) come proiezione ortogonale per v.a. in L2 e poi per passaggio al limite.
Principali proprietà: unicità, monotonia, linearità, passaggi al limite, disuguaglianza di
Jensen.
21. 12 dicembre, mercoledı̀
Condizionamenti successivi. Probabilità condizionata. Problema della versione regolare.
Distribuzione condizionata e relazione con la media condizionata. caso condizionamento
a G = σ(Z), con Z v.a. e media condizionata come funzione di Z (dimostrazione con Z
semplice, richiamo al Teorema delle classi monotone)
22. 14 dicembre, venerdı̀
Media e probabilità condizionata. Densità condizionata elementare
Correzione Esercitazione in classe n.8
———————————————————————23. 18 dicembre, martedı̀
Definizioni, principali proprietà, esempi per le martingale, supermartingale, submartingale
a tempo discreto.Martingala trasformata mediante un processo prevedibile.
Tempi d’arresto.Martingala stoppata
24. 19 dicembre, mercoledı̀
Teorema di Doob per le supermartingale.
Teorema di convergenza per le supermartingale limitate in L1 .
25. 21 dicembre, venerdı̀
Dimostrazione del Lemma degli attraversamenti di Doob.
Martingale in L2 : cnes per la limitatezza in L2 e convergenza. Condizione sufficiente per
la convergenza q.c. della somma di v.a. indipendenti in L2 di media nulla.
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———————————————————————26. 8 gennaio, martedı̀
Decomposizione di Doob per processi adattati, processo crescente associato al quadrato di
una martingala in L2
Applicazione alla covergenza di somme infinite di v.a. indipendenti, in L2 , di media nulla:
se le v.a. sono equilimitate in n e ω e la somma converge allora la serie delle varianze è
finita.
27. 9 gennaio, mercoledı̀
Uniforme integrabilità per una famiglia di v.a. Uniforme integrabilità e limitatezza in L1 .
Convergenza q.c.. e in L1 per le martingale uniformemente integrabili. Due condizioni
sufficienti per l’uniforme integrabilità.
Una martingala è uniformemente integrabile se e solo se è regolare. Il limite di martingala
regolare come condizionamento all’”informazione completa”.
28. 11 gennaio, venerdı̀
Errata corrige sulla dimostrazione della convergenza di mg. uniformemente integrabili e
nuova condizione equivalente alla uniforme integrabilità. Disuguaglianza di Doob per le
submartingale. Lemma tecnico.
Convergenza in Lp per le martingale limitate in Lp e disuguaglianza di Doob.
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29. 15 gennaio, martedı̀
Una proprietà delle medie condizionate: ”ciÒ che è indipendente” si puÒ tralasciare nel
condizionare. La LLN forte di Kolmogorov dimostrata con le martingale.
30. 16 gennaio, mercoledı̀
Esercizi sulle martingale: supermartingale di media costante sono martingale, una condizione sufficiente con i t.d.a. affinché processi adattati in L1 siano martingale, le derivate
di Radon-Nikodym sono martingale, il prodotto di v.a. indipendenti di media 1 sono
martingale, la martingala esponenziale.
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