Esercizi – 14

Meccanica – A.A. 2010/11
Esercizi – 14
14-1) Calcolare il peso di una massa m su un pianeta che ha massa doppia e
raggio meta’ di quelli della Terra
p = mg
gT = G
MT
rT2
gP = G
MP
rP2
→ gP = G
→ gP = G
2M T
 rT 2
 
 2 
8M T
= 8 gT
rT2
→ pP = 8 pT
14-2) Un satellite sta in un’orbita circolare geostazionaria.
Calcolare il raggio dell’orbita del satellite
Fc = mω 2 r
mM T
r2
M
→ ω 2 r = G 2T
r
GM
→ r3 = 2 T
ω
2π
ω = 2πν =
, T durata giorno sidereo
T
13
 GM T T 2 


→ r =
 4π 2 
FG = G
13
 6.6710−11610248.462108 

→ r = 

4π 2

→ r ≈ 4.17107 m = 41.7104 km
14-3) In una sfera pesante di raggio R e’ scavata una cavita’ sferica di raggio
R/2 tangente alla superficie della sfera, come in figura; la massa della sfera prima
dello svuotamento della cavita’ era M
.
Trovare la forza gravitazionale esercitata dalla sfera con cavita’ su un punto
materiale di massa m posto a distanza d dal centro della sfera, lungo la retta che
contiene i centri di sfera e cavita’.
Forza esercitata da sfera piena:
mM
F =G 2
lungo la congiungente centro-punto
d
F = Fsf .cava + Ftappo
Ftappo = G
mM tappo
2


d − R 


2
3
M
4  R
M tappo = ρ π   , ρ =

4 3
3 2
πR
3
3
M 4  R 
M
→ M tappo =
π   =

4 3 3 2
8
πR
3
mM
→ Ftappo = G
2

R
8d − 

2
mM
mM
mM
mM
−G
= G 2 −G 2
2
2
d
d
d

R
8d − 

2





mM 
1

= G 2 1−
2
d 

 
R

 8 1− 2d  


→ Fsf .cava = G
→ Fsf .cava
fattore di forma
1
2

R
8 1− 
 2d 
14-4) La cometa di Halley percorre un’orbita ellittica, il cui perielio si osserva a
distanza rperielio = 0.587 UA dal Sole; il periodo dell’orbita e’ di circa 76 anni.
Calcolare la distanza dell’afelio e l’eccentricita’ dell’orbita
rperielio = (1− ε) a
rafelio = (1 + ε) a
4π 2 3
a
GM
13
13
 GMT 2 
 6.6710−11210305.511018 
13


 ≈
 ≈ (18.41036 )
→ a 
2 

 4π 

40
T2 → a 2.641012 m
rperielio = 0.587UA 87.8109 m
→ 1− ε =
rperielio
a
87.8109
≈ 1− 33.310−3 ≈ 0.967
12
a
2.6410
→ rafelio = (1 + ε) a ≈ 1.967 ⋅ 2.641012 m ≈ 5.191012 m
→ ε = 1−
rperielio
≈ 1−
Quindi l’orbita e’ quasi una parabola..
14-5) Dai seguenti dati orbitali sui principali satelliti di Giove (i “Pianeti Medicei”
scoperti da Galilei), trovare la massa di Giove, assumendo per semplicita’ orbite
circolari
Nome
R(km)
Io
Europa
Ganymede
Callisto
T(giorni)
421800
671100
1070400
1882700
1.77
3.55
7.16
16.69
4π 2 3
a
GM
4π 2 a 3
→M =
G T2
4π 2
40
≈
≈ 61011 Nm2 kg −2
G
6.6710−11
T2 Ci si attende lo stesso valore per tutti e quattro i satelliti:
( Io)
MG
(
4π 2  a 3 
=
 
G  T 2 
→ M G( ) ≈
Io
( Europa)
MG
3
Io)
≈ 610
Europa )
2
(1.77 ⋅ 8.46104 )
MG
11
≈ 610
≈ 21027 kg
(
4π 2  a 3 
=
 
G  T 2 
etc
Callisto)
(Callisto)
MG
etc
75.21024
224108
3
Europa )
Ganimede)
(Ganimede)
kg ≈ 61011
4511035
kg ≈ 21027 kg
8
22410
(
4π 2  a 3 
=
 
G  T 2 
→ M G(
(4.22108 )
11
(
4π 2  a 3 
=
 
G  T 2 
(6.71108 )
30210 24
≈ 610
902108
11
2
(3.55 ⋅ 8.46104 )
14-6) La galassia NGC 4258 contiene un disco di materia, simile ad una versione
ingigantita degli anelli di Saturno. Il raggio interno del disco, dove la materia
ruota con periodo di 800 anni, e’ di 0.14 parsec, il raggio esterno, per il quale il
periodo di rotazione e’ 2200 anni, e’ 0.28 parsec.
Dedurre la presenza di un oggetto centrale molto massivo, e la sua massa
1 parsec = 3.1 1016 m
→ rint ≈ 0.14 ⋅ 3.1 1016 m = 4.34 1015 m
→ res t ≈ 0.28 ⋅ 3.1 1016 m = 8.68 1015 m
→ v (rint ) =
2πrint
6.28 ⋅ 4.34 1015
27.3 1015
=
≈
≈ 11 105 ms−1
4
10
Tint
800 ⋅ 365 ⋅ 8.46 10
2.47 10
→ v (rest ) =
2πres t
6.28 ⋅ 8.68 1015
54.6 1015
=
≈
≈ 8 105 ms−1
4
10
Tes t
2200 ⋅ 365 ⋅ 8.46 10
6.79 10
v2
mM
=G 2
r
r
GM
→v=
r
Che cosa e' M ??
m
→ La massa totale che contribuisce al campo gravitazionale al raggio r
→ M = M (r ) , quella contenuta entro un volume di raggio r
Modello 1:
M (r ) = massa del disco
→ Per un disco uniforme:
M (r ) = σπr 2 , σ densita' superficiale di massa
→v=
GM (r )
r
=
G
σπr 2 = k r
r
Modello 2:
M (r ) = massa puntiforme al centro
M (r ) = M C
→v=
GM (r )
G
k'
=
MC =
r
r
r
v (rest ) 8
r
1
≈ ≈ 0.73 ∼ int → v (r ) ∝
v (rint ) 11
rest
r
→ Compatibile con modello 2, incompatibile con modello 1
v (r ) r = k ' → k ' = 11 105 4.34 1015 ≈ 11 105 6.6 107 ≈ 72.6 1012
k '2 = GM C → M C ∼
→
k '2 5.27 103 1024
≈
≈ 0.79 1038 kg
G
6.67 10−11
MC
0.79 1038
≈
∼ 4 107 !!!
30
M sole
2 10