Esercizio 1) Una ragazza di massa m `e in piedi su una zattera di

Esercizio 1)
Una ragazza di massa m `e in piedi su una zattera di massa M e
lunghezza L posta in prossimit`a di una boa fissa. Inizialmente la
ragazza si trova all’estremita` della zattera piu` vicina alla boa, a
distanza d da essa. Successivamente la ragazza si sposta sull’altra
estremita’ della zattera. In che direzione si muove la zattera?
Trascurando l’attrito tra la zattera e l’acqua, si determini la nuova
distanza della zattera dalla boa.
Dati: M =100Kg, m=50Kg, L=3m, d=2m.
[Ris: d′=d−Lm/(m+M)=1m]
Esercizio 2)
Una bomba e’ costituita da un involucro di metallo di 10kg
contenente 1kg di TNT. Sapendo che l’energia liberate
dall’esplosione di TNT e’ 4200J/g, e che l’esplosione spezza
l’involucro in due parti, calcolare la velocita’ del frammento A
sapendo che
i)
ii)
iii)
I due frammenti dell’involucro hanno eguale massa
Il frammento A pesa 3 volte il frammento B
Cosa cambiava se invece di essere parte di una bomba, I
due frammenti fossero stati legati da una molla di costante
elastica K=80N/m e compressione DeltaX=10cm?
Analogia con la produzione di uno e+e- al collisore LEP al CERN
Esercizio 3) Un proiettile di massa M viene lanciato con la velocita’ di 200 m/s lungo una direzione che forma con un asse z orizzontale un angolo di 370. In volo il proiettile esplode in due pezzi, rispettivamente di massa M/4 e 3M/4 ed entrambi ricadono al suolo nello stesso istante. Sapendo che il frammento piu’ pesante ricade nel punto x2=3000m, determinare il punto dell’ asse x dove ricade l’ altro. Soluzione L’ unica forza esterna che agisce sul sistema prima e dopo l’ esplosione e’ la forza peso. Il moto del centro di massa (CM) dunque e’ parabolico di equazione oraria ⎧ xCM = voxt
⎪
⎨
1 2 z
=
v
t
−
gt
oz
⎪⎩ CM
2
Imponendo zCM = 0 otteniamo la gittata per il CM 2voxvoz v 2 sin 2ϑ
=
= 3910m g
g
Poiche’ i due frammenti atterrano allo stesso istante possiamo scrivere che x m +x m
xgCM = g1 1 g 2 2 che da’ m1 + m2
x (m + m2 ) − xg 2m2
xg1 = gCM 1
= 4 xgCM − 3xg 2 = 6680m m1
xgCM =
Esercizio 4) Trovare la posizione del centro di massa di una lamina omogenea piana a forma di semicerchio di raggio R. Soluzione Se prendiamo l’ origine degli assi nel centro del cerchio per simmetria deve essere xCM = 0 . Lungo y yCM =
∫ ydM l’ elementino di superficie puo’ essere preso come un M
rettangolo di base variabile x’ (funzione di y) e altezza dy dM = σdyx′ = σdy 2 R2 − y 2 . Quindi yCM =
∫ xdM
M
∫
=
R
0
yσdy 2 R 2 − y 2
π
=
4R
3π
R 2σ
2
Si poteva fare anche il calcolo esplicito dell’ integrale doppio in coordinate polari: dM = sigma dxdy = sigma rho drho dphi Esercizio 5) Una sfera omogenea di raggio R=20cm e centro in O, ha una cavita’ sferica di raggio r=5cm e centro O’. La distanza tra O e O’ e’ d=10cm. Determinare la posizione del centro di massa. Soluzione Una sfera di raggio R con una cavita’ puo’ essere considerata come la differenza di una sfera piena di raggio R e la sfera piu’ piccola corrispondente alla cavita’, o meglio come la somma tra la sfera di raggio R e la sfera di raggio r con massa negativa. Dunque x
m
+ xsferar msferar
xmsferar
quindi xsferacava = 0 = sferapiena sferapiena
=
msferapiena + msferar
msferacava + msferar
Le due masse valgono 4
msferar = − ρ π r 3
3
4 3
msferapiena = ρ π R
3
Dunque abbiamo 4
ρ πr 3
r3
3
xsferacava = −d
= −d 3 3 = −0,156cm 4
R −r
ρ π (R3 − r 3 )
3