Funzione generatrice e polinomi incompleti di Fibonacci e Lucas

B OLLETTINO
U NIONE M ATEMATICA I TALIANA
Wenchang Chu, Valentina Vicenti
Funzione generatrice e polinomi incompleti di
Fibonacci e Lucas
Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Serie 8, Vol. 6-B (2003),
n.2, p. 289–308.
Unione Matematica Italiana
<http://www.bdim.eu/item?id=BUMI_2003_8_6B_2_289_0>
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Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Unione Matematica Italiana, 2003.
Bollettino U. M. I.
(8) 6-B (2003), 289-308
Funzione generatrice e polinomi
incompleti di Fibonacci e Lucas.
CHU WENCHANG - VALENTINA VICENTI
Sunto. – I numeri incompleti di Fibonacci e di Lucas, introdotti da Filipponi (1996),
sono entrambi generalizzati in forma di polinomi. Le loro funzioni generatrici ridondanti, naturali e condizionate sono stabilite attraverso serie formali di potenze.
Le funzioni generatrici relative alle sequenze di numeri dovute a Pinter e Srivastava (1999) sono contenute come casi particolari.
Summary. – The incomplete numbers of Fibonacci and Lucas, introduced by Filipponi
(1996) are generalized respectively to polynomials. Their redundant, natural and
conditional generating functions are established by means of formal power series
method. The generating functions for the corresponding number sequences due to
Pinter and Srivastava (1999) are contained as particular cases.
Questo articolo presenta i polinomi incompleti di Fibonacci e di Lucas che
sono generalizzazioni dei numeri classici corrispondenti dovuti a Filipponi
(1996). Confinando gli indici delle doppie somme, le loro funzioni generatrici
bivariate, denominate ridondanti, naturali e condizionate, sono stabilite attraverso serie formale di potenze. I teoremi principali ottenuti contengono le
funzioni generatrici di Pinter e Srivastava (1999) come casi molto particolari.
A. – Numeri e polinomi di Fibonacci e Lucas.
È noto che i numeri classici di Fibonacci sono definiti in maniera equivalente da una delle seguenti affermazioni:
l Relazione ricorrente:
(A1)
(A2)
(A3)
F n 1 1 4 Fn 1 Fn 2 1 ,
F0 4 F 1 4 1
l Funzione generatrice:
1
12y2y 2
e
nD0
F2 4 2
Q
4
!
n40
Fn y n
290
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
l Formula esplicita in somma binomiale:
(A4)
Fn 4
!g h
n2k
k
0 G k G n/2
.
I numeri di Lucas si esprimono tramite i numeri di Fibonacci come segue
(A5)
Ln 4 Fn 1 Fn 2 2 ,
n40, 1, 2, R
e possono essere definiti in modo simile a quanto fatto per i numeri di
Fibonacci.
l Relazioni ricorrente:
(A6)
Ln 1 1 4 Ln 1 L n 2 1 ,
(A7)
L0 4 L 1 4 1
e
nD0
L2 4 3
l Funzione generatrice:
(A8)
Q
11y 2
12y2y 2
4
!
n40
Ln y n
l Formula esplicita in somma binomiale:
Ln 4
!
0 G k G n/2
n
g h
n2k
n2k
.
k
Introducendo una variabile l, possiamo definire i polinomi di Fibonacci
]Fn (l)(, come una generalizzazione dei numeri di Fibonacci, tramite il
seguente
LEMMA A1 (Polinomi di Fibonacci). – Le affermazioni che seguono sono
equivalenti:
(a): Relazione ricorrente:
(A10)
Fn 1 1 (l) 4 Fn (l) 1 lFn 2 1 (l),
(A11)
F0 (l) 4 F1 (l) 4 1
e
nD0
F2 (l) 4 1 1 l
(b): Funzione generatrice:
(A12)
1
1 2 y 2 ly 2
Q
4
!
n40
Fn (l) y n
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
291
(c) Formula esplicita:
(A13)
Fn (l) 4
g h
n2k
!
0 G k G n/2
k
lk.
DIMOSTRAZIONE. – Dimostriamo le affermazioni (a ) K ( b ) K ( c ) K ( a ) in
modo ciclico.
( a ) K ( b ): Secondo la definizione, la funzione generatrice si può scrivere
come segue:
Q
f (y) »4
! F (l) y
n40
n
n
Q
411y1
!F
k41
1 1 k (l)
y k11 .
Ricordando la (A10), si ottiene:
Q
f(y) 4 1 1 y 1
! ]F (l) 1 lF
k
k41
k 2 1 (l)(
y k11
4 1 1 y 1 y] f(y) 2 1 ( 1 ly 2 f(y)
da cui si ricava subito la (A12).
( b ) K ( c ): Per una serie formale di potenze in y, indichiamo con [y n ] f(y) il
coefficiente del monomio y n nello sviluppo di f(y) in serie di Maclaurin. Notando la serie geometrica
1
1 2 y 2 ly
2
4
!g h
Q
i1k
i, k40
k
l k y i12k
si deduce la formula esplicita:
Fm (l) 4 [y m ] f (y) 4
! g h
m2k
k
0 G k G m/2
lk.
( c ) K ( a ): Segue immediatamente dalla relazione binomiale:
(A14)
g
11n2k
k
h g h g
4
n2k
(n 2 1 ) 2 (k 2 1 )
1
k
k21
h
.
Così la dimostrazione è completa.
TEOREMA A2. – Per i polinomi di Fibonacci, valgono le seguenti formule
chiuse:
(A15)
!
kFn
Fk (l) y k 4 y n
Q
(A16)
!F
k40
2 k (l)
y 2k 4
Fn (l) 1 lyFn 2 1 (l)
1 2 y 2 ly 2
1 2 ly 2
( 1 2 ly 2 )2 2 y 2
Q
(A17)
!
k40
F2 k 1 1 (l) y 2 k 1 1 4
y
( 1 2 ly 2 )2 2 y 2
.
292
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
DIMOSTRAZIONE. – Quando l 4 1, questo teorema fornisce le funzioni generatrici concernenti i numeri di Fibonacci classici.
La prima riguarda la coda della nostra serie. Per dimostrarla, basta moltiplicare la somma della sinistra per il denominatore della destra, manipolando:
] 1 2 y 2 ly 2 (
!
kFn
Fk (l) y k 4 y n Fn (l) 1 y 1 1 n Fn 1 1 (l) 2 y 1 1 n Fn (l)
1
! ]F
kFn
2 1 k (l) 2 F1 1 k (l) 2 lFk (l)( y
k12
che si riduce al numeratore della (A15) grazie alla relazione ricorrente
(A10).
La seconda e la terza formula chiusa riguardano, invece, le somme degli indici pari e dispari, rispettivamente. La loro dimostrazione segue immediatamente da una semplice osservazione:
Q
f (y) »4
! F (l) y
k40
k
k
4 f (2y) »4
Q
! F (l)(2y) .
k
k
k40
Allora si ha
f(y) 1 f(2y)
2
4
4
f (y) 2 f (2y)
2
4
4
1
2
m
1
1 2 y 2 ly
2
( 1 2 ly 2 )2 2 y 2
2
m
1
1 2 y 2 ly
1
1 1 y 2 ly 2
n
Q
1 1 ly 2
1
1
2
y
( 1 2 ly 2 )2 2 y 2
4
2
!
k40
F2 k (l) y 2 k
1
1 1 y 2 ly 2
n
Q
4
!
k40
F1 1 2 k (l) y 2 k 11
che corrispondono, rispettivamente, alle (A16) e (A17).
r
Ricordando la relazione fra i numeri di Fibonacci e Lucas, possiamo definire i polinomi di Lucas ]Ln (l)( tramite i polinomi di Fibonacci nel seguente
modo:
(A18)
Ln (l) 4 Fn (l) 1 lFn 2 2 (l).
A questo punto, è facile verificare che essi sono caratterizzati dal seguente:
LEMMA A3 (Polinomi di Lucas). – Le affermazioni che seguono sono
equivalenti:
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
293
(a): Relazione ricorrente:
(A19)
Ln 1 1 (l) 4 Ln (l) 1 lLn 2 1 (l),
(A20)
L0 (l) 4 L1 (l) 4 1
nD0
L2 (l) 4 1 1 2 l
e
(b): Funzione generatrice:
Q
1 1 ly 2
(A21)
4
1 2 y 2 ly 2
!
Ln (l) y n
n
g h
n40
(c): Formula esplicita:
(A22)
Ln (l) 4
!
n2k
n2k
0 G k G n/2
k
lk.
DIMOSTRAZIONE. – Verifichiamo che ciascuna affermazione del lemma è
equivalente alla relazione (A18).
(a): È evidente grazie alla relazione ricorrente (A10).
(b): In questo caso, ricordando la funzione generatrice (A12), si vede
che:
Q
g(y) »4
!
n40
Q
Ln (l) y n 4
!
Q
n40
4 f(y) 1 ly 2 f(y) 4
Fn (l) y n 1 l
1 1 ly 2
1 2 y 2 ly 2
!
n42
Fn 2 2 (l) y n
.
(c): Considerando la relazione binomiale
(A23)
g h g h g
n2k
n
n2k
k
n2k
4
k
1
n212k
k21
h
segue immediatamente la tesi.
TEOREMA A4. – Per i polinomi di Lucas, valgono le seguenti formule
chiuse:
(A24)
!
!
!
kFn
Lk (l) y k 4 y n
Q
(A25)
k40
L2 k (l) y 2 k 4
Ln (l) 1 lyLn 2 1 (l)
1 2 y 2 ly 2
12l2 y 4
( 1 2 ly 2 )2 2 y 2
Q
(A26)
k40
L2 k 1 1 (l) y 2 k 1 1 4
y( 1 1 ly 2 )
( 1 2 ly 2 )2 2 y 2
.
294
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
DIMOSTRAZIONE. – Le formule elencate nel teorema si riducono, per l 4 1,
alle funzioni generatrici riguardanti i numeri di Lucas classici.
Come abbiamo visto in precedenza, la prima riguarda la coda della serie.
Per dimostrarla, basta moltiplicare la somma per il denominatore a secondo
membro, ottenendo:
( 1 2 y 2 ly 2 )
!
kFn
Lk (l) y k 4 y n Ln (l) 1 y 1 1 n Ln 1 1 (l) 2 y 1 1 n Ln (l)
1
! ]L
kFn
2 1 k (l) 2 L1 1 k (l) 2 lLk (l)(
y k1 2 .
Quest’ultima, utilizzando la relazione ricorrente (A19), diventa proprio il numeratore della destra.
Ricordando che:
g(y) 4 ( 1 1 ly 2 ) f(y)
le formule (A25) e (A26) discendono rispettivamente dalle seguenti
g(y) 1 g(2y)
2
g(y) 2 g(2y)
2
Q
4
!
!
k40
L2 k (l) y 2 k 4 ( 1 1 ly 2 )
f (y) 1 f(2y)
2
Q
4
k40
L1 1 2 k (l) y 2 k 1 1 4 ( 1 1 ly 2 )
secondo la dimostrazione delle (A16) e (A17).
f (y) 2 f(2y)
2
r
Inoltre, ci sono due formule esplicite che generalizzano le formule classiche
riguardanti i numeri di Fibonacci e Lucas.
PROPOSIZIONE A5. – (Due formule esplicite).
l »4 g( 1 1 g)
( 1 1 g)n 1 1 2 (2g)1 1 n
(A27)
Fn (l) 4
(A28)
Ln (l) 4( 1 1 g)n 1 (2g)n ,
l »4 g( 1 1 g)
112g
nD0.
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
295
DIMOSTRAZIONE. – Scomponendo le funzioni generatrici in frazioni parziali
1
1 2 y 2 g( 1 1 g) y
2
4
4
1 1 g( 1 1 g) y 2
1 2 y 2 g( 1 1 g) y
2
1
( 1 1 gy)] 1 2 y( 1 1 g)(
g
11g
1
{
}
1 1 2 g 1 2 y( 1 1 g)
1 1 yg
1
4 21 1
4 21 1
22y
(1 1 gy)] 1 2 y( 1 1 g)(
1
1 2 y( 1 1 g)
1
1
1 1 yg
otteniamo immediatamente le formule esplicite secondo le espansioni delle serie geometriche. r
Quando l 4 1, è facile vedere che g »4 ( k5 2 1 ) /2, e quindi:
(A29)
1 1 k5
{
F 4
g
h
2
k5
(A30)
Ln 4
1
n11
2
n
g
1 2 k5
2
{g 1 12k5 h 1 g 1 22k5 h },
n
h }
n11
n
nD0
che sono proprio le note formule esplicite dei numeri classici di Fibonacci e
Lucas.
B. – Polinomi incompleti di Fibonacci.
Limitando superiormente le somme binomiali nelle definizioni dei numeri
di Fibonacci e Lucas, Filipponi [5] definisce le corrispondenti classi di numeri
incompleti. Introducendo un nuovo parametro l, possiamo generalizzare i numeri incompleti di Fibonacci definendo i polinomi incompleti di Fibonacci come segue:
(B1)
Fm , n (l) 4
!g h
m
n2k
k40
k
lk,
0 G m G n/2 .
Nel caso in cui l 4 1 si ottengono i numeri incompleti di Fibonacci; se si pone
successivamente m 4 [n/2 ], la parte intera della frazione n/2, si ritorna ai numeri di Fibonacci classici.
Per calcolare la funzione generatrice di Fm , n (l), richiamiamo il metodo della serie formale di potenze ridondanti introdotto in [1]. Supponiamo per il mo-
296
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
mento di eliminare la condizione 0 G m G n/2 su m. La funzione generatrice
Q
F(x , y) »4
!
m, n40
Fm , n (l) x m y n
che otterremo in questo caso conterrà, quindi, dei termini in più rispetto a
quella che otterremmo se non togliessimo la suddetta condizione su m. Per
questo motivo chiameremo ridondante questa funzione generatrice, per la
quale vale il seguente:
TEOREMA B1. – (Funzione generatrice ridondante).
F(x , y) 4
(B2)
1
( 1 2 x)( 1 2 y 2 lxy 2 )
.
DIMOSTRAZIONE. – Per mezzo della serie formale di potenze (vedi [3] e [9]),
possiamo procedere come segue:
! !g h
!
!g h
Q
F(x , y) 4
4
m
n2k
lk x m y n
k
m, n40 k40
Q
n2k
n40
k
lk x m
0 GkGmEQ
y n.
Operando la trasformazione n 4 2 k 1 i nella seconda sommatoria si ha:
!g h
Q
n2k
k
n40
!g h
Q
n
y 4y
2k
k1i
i40
k
y i4
y 2k
( 1 2 y)k 1 1
dove nell’ultimo passaggio si è sfruttato l’espansione binomiale. Continuando,
quindi, si ha che:
F(x , y) 4
4
4
!
l k x m y 2k
0 GkGmEQ
( 1 2 y)
1
( 1 2 x)( 1 2 y)
k11
!m
Q
4
!
k40
Q
lxy 2
k40
12y
n
l k y 2k
Q
!
( 1 2 y)k 1 1 m 4 k
xm
k
1
( 1 2 x)( 1 2 y)] 1 2 lxy 2 /( 1 2 y)(
cioè la funzione generatrice desiderata.
r
Sviluppando prima solo rispetto alla variabile x e poi solo rispetto alla y, otteniamo rispettivamente la funzione generatrice orizzontale e la funzione generatrice verticale. Per esse valgono le seguenti proposizioni:
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
297
PROPOSIZIONE B2. – (Funzione generatrice orizzontale).
Q
(B3)
!
n40
Fm , n (l) y n 4
1
1 2 y 2 ly 2
]ly 2 /( 1 2 y)(m 1 1
2
1 2 y 2 ly 2
.
DIMOSTRAZIONE. – Ricordando la dimostrazione del teorema precedente, si
può notare che:
[x m ] F(x , y) 4
4
12x
12
m
l k y 2k
k40
( 1 2 y)k 1 1
!
[x m ]
4
!
l k x k y 2k
( 1 2 y)k 1 1
kF0
m n
m11
ly 2
12y
1 2 y 2 ly 2
che non è altro che la tesi della proposizione.
r
Analogamente, considerando la variabile y, si ottiene la seguente:
PROPOSIZIONE B3. – (Funzione generatrice verticale).
Q
(B4)
!
m40
Fm , n (l) x m 4
!g h
n2k
1
12x
k
kF0
(lx)k .
DIMOSTRAZIONE. – Ricordando che
1
1 2 (y 1 lxy 2 )
4
!
kF0
4
(y 1 lxy 2 )k
!g h
Q
i1j
i, j40
i
y i (lxy 2 ) j
allora si ottiene:
[y n ] F(x , y) 4
4
[y n ]
12x
1
12x
!g h
!g h
Q
i1j
i, j40
i
n2i
iF0
i
l i x i y 2i1j
li x i
dove l’ultima formula si deduce facilmente anche dalla definizione dei polinomi
incompleti di Fibonacci. r
298
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
Da questa dimostrazione, possiamo manipolare la serie multipla come
segue:
1
F(x , y) 4
4
( 1 2 x)] 1 2 (y 1 lxy 2 )(
! !g h
i1j
xk
kF0
i
i, jF0
y i (lxy 2 ) j
arrivando alla seguente formula:
(B5)
F(x , y) 4
!g h
Q
i1j
i, j, k40
i
l i x i1k y 2i1j
che è la serie formale di potenze.
C. – Polinomi incompleti di Lucas.
In modo analogo a quanto fatto con i polinomi di Fibonacci, possiamo definire i polinomi incompleti di Lucas come segue:
m
(C1)
Lm , n (l) 4
!
k40
g h
n2k
n
n2k
k
lk,
0 G m G n/2 .
Nel caso in cui l 4 1 si ottengono i numeri incompleti di Lucas introdotti da Filipponi [5]; se si pone anche m 4 [n/2 ], si ritorna ai numeri di Lucas
classici.
Il primo passo è trovare una relazione che leghi Fm , n (l) e Lm , n (l). Osservando la (A23), si deduce immediatamente che:
!g h ! g
m
Lm , n (l) 4
k40
k
!g h
m
4
n2k
k40
n2k
k
lk1
m
n212k
k40
k21
!g
m21
lk1l
l40
h
h
lk
n222l
l
Quindi vale la relazione:
(C2)
Lm , n (l) 4 Fm , n (l) 1 l Fm21, n22 (l)
che conduce facilmente alla seguente equazione funzionale:
(C3)
C(x , y) 4 ( 1 1 lxy 2 ) F(x , y)
ll.
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
299
dove la funzione generatrice ridondante è definita da
Q
C(x , y) »4
!
m, n40
Lm , n (l) x m y n .
Combinando con la (B2), si ha il seguente risultato:
TEOREMA C1. – (Funzione generatrice ridondante).
C(x , y) 4
(C4)
1 1 lxy 2
.
( 1 2 x)( 1 2 y 2 lxy 2 )
Anche per i polinomi incompleti di Lucas è possibile studiare le funzioni generatrici orizzontale e verticale. Esse sono determinate dalle seguenti proposizioni:
PROPOSIZIONE C2. – (Funzione generatrice orizzontale).
Q
(C5)
!
n40
Lm , n (l) y n 4
1 1 lxy 2
2
1 2 y 2 ly 2
m n
ly 2
22y
1 2 y 2 ly 2
m11
12y
.
DIMOSTRAZIONE. – Ricordando la relazione (C3), si ricava subito il coefficiente come segue:
[x m ] C(x , y) 4 [x m ] F(x , y) 1 ly 2 [x m 2 1 ] F(x , y)
4
1 1 ly 2
1 2 y 2 ly 2
2
m n
ly 2
22y
1 2 y 2 ly 2
m11
12y
grazie all’equazione (B3).
PROPOSIZIONE C3. – (Funzione generatrice verticale).
Q
(C6)
!
m40
Lm , n (l) x m 4
1
12x
!
kF0
g h
n2k
n
n2k
k
(lx)k .
DIMOSTRAZIONE. – Come nella dimostrazione della proposizione precedente, si deduce che
[y n ] C(x , y) 4 [y n ] F(x , y) 1 lx[y n 2 2 ] F(x , y)
4
1
12x
!
kF0
n
n2k
viste la Proposizione B3 e la relazione (A23).
g h
n2k
k
r
(lx)k
300
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
Analogamente alla relazione (B5), si stabilisce la seguente serie formale di
potenze
Q
(C7)
C(x , y) 4
!
g h
2i1j i1j
i1j
i, j, k40
i
l i x i1k y 2i1j
grazie alla (C3).
D. – Funzioni generatrici naturali.
I polinomi incompleti di Fibonacci ]Fm , n (l)( definiti in (B1) hanno dei
coefficienti in numeri naturali. Però i coefficienti binomiali
g h
n2m
m
4 (21 )m
g
2m212n
m
h
,
mDn
sono alternati. Limitando gli indici m ed n (concernenti rispettivamente le potenze delle variabili x ed y) con la condizione 0 G m G n E Q, la corrispondente funzione generatrice bivariata viene chiamata naturale; essa è data da:
(D1a)
f(x , y) »4
(D1b)
!
!
0 GmGnEQ
4
Fm , n (l) x m y n
x m y n [x m y n ] F(x , y).
0 GmGnEQ
Secondo la (B5), si ha che:
F(x , y) 4
!g h
Q
i1j
i, j, k40
i
l i x i1k y 2i1j
Trasformando la condizione 0 G m G n E Q sugli indici della doppia somma in
i 1 k G 2 i 1 j, cioè k G i 1 j, si può scrivere che
!g h
!
Q
f(x , y) 4
4
4
i1j
i
i, j40
1
Q
12x
i, j40
1
12x
m
i1j
i
i
l x y
2i1j
!
xk
k40
] 1 2 x 11i1j (
1
1 2 y 2 lxy 2
2
g h
i1j
i
l i x i y 2i1j
x
1 2 xy 2 lx 2 y 2
n
.
Effettuando qualche semplificazione di routine, otteniamo il seguente
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
301
TEOREMA D1. – (Funzione generatrice naturale).
(D2)
1
f(x , y) 4
2
( 1 2 y 2 lxy )( 1 2 xy 2 lx 2 y 2 )
.
Analogamente si può definire la funzione generatrice naturale bivariata per i
polinomi incompleti di Lucas come segue:
(D3a)
c(x , y) 4
(D3b)
4
!
!
0 GmEnEQ
Lm , n (l) x m y n
x m y n [x m y n ] C(x , y).
0 GmEnEQ
Bisogna osservare che, in questo caso, la condizione che lega m ed n è una disuguaglianza stretta; questo perchè se fosse m 4 n, l’equazione (C1) perderebbe di significato salvo ulteriori precisazioni.
TEOREMA D2. – Funzione generatrice naturale.
(D4)
y( 1 1 2 lxy)
c(x , y) 4
( 1 2 y 2 lxy 2 )( 1 2 xy 2 lx 2 y 2 )
.
DIMOSTRAZIONE. – Secondo la (C7), si ha che:
Q
C(x , y) 4
!
g h
2i1j i1j
i, j, k40
i1j
l i x i1k y 2i1j .
i
Affinchè sia rispettata la condizione 0 G m E n E Q sugli indici, deve essere
i 1 k E 2 i 1 j, cioè k E i 1 j. Allora
c(x , y) 4
4
!
i1jD0
!
i, jF0
g h
g h
2i1j i1j
i1j
i
i1j21
l i x i y 2i1j
2 i 1 j i 1 j 1 2 x i1j
i1j
!
12x
i
l i x i y 2i1j .
Osserviamo che per due variabili U e V, si ha:
11U
12U2V
4 ( 1 1 U)
4
!
i, jF0
!g h
i1j
i, jF0
i
g h
2i1j i1j
i1j
xk
k40
i
UiVj
U i V j.
302
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
Quindi, si ottiene
c(x , y) 4
Semplificando,
ma. r
1 1 lxy
{
1 2 x 1 2 y 2 lxy
2
1
otteniamo
la
2
2
funzione
1 1 lx 2 y 2
1 2 xy 2 lx 2 y 2
generatrice
}.
naturale
del
teore-
Il teorema che segue esprime una formula chiusa per la funzione generatrice naturale relativa ai polinomi incompleti di Fibonacci.
PROPOSIZIONE D3. – (Funzione generatrice univariata).
!
(D5a)
nFm
ym
Fm , n (l) y n 4
(D5b)
]Fm (l) 1 lyFm 2 1 (l)(
1 2 y 2 ly 2
l m11 y 2m12
2
.
( 1 2 y 2 ly 2 )( 1 2 y)m 1 1
DIMOSTRAZIONE. – Riscrivendo f(x , y) in frazioni parziali e poi richiamando la funzione generatrice (A12), si risulta
[x m ] f(x , y) 4
[x m ]
12x
m
1
1 2 y 2 lxy
4
l x y
!
{
12x
( 1 2 y)
4
!
n
[x m ]
n
n40
2
l n y 2n
( 1 2 y)n 1 1
x
1 2 xy 2 lx 2 y 2
2n
n11
nF0
m
2
2x
!
nF0
n
}
Fn (l) x n y n
m21
2
!
n40
Fn (l) y n .
Esaminando a parte la prima somma si vede che:
m
!
n40
n
l y
2n
( 1 2 y)n 1 1
4
1
12y
!m
m
n40
ly
12y
Q
4
!
n40
2
Fn (l) y n 2
n
12
n
4
m n
ly 2
m11
12y
1 2 y 2 ly 2
l m11 y 2m12
( 1 2 y 2 ly 2 )( 1 2 y)m 1 1
.
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
303
Ricapitolando, quindi:
[x m ] f(x , y) 4
!
nFm
Fn (l) y n 2
Ricordando la (A15), si ha la tesi.
l m11 y 2m12
( 1 2 y)m 1 1 ( 1 2 y 2 ly 2 )
.
r
Notando che
c(x , y) 4 y( 1 1 2 lxy) f(x , y)
(D6)
si procede come segue
y m11
[x m ] c(x , y) 4
1
1 2 y 2 ly
2 ly m 1 1
1 2 y 2 ly
]Fm (l) 1 lyFm 2 1 (l)( 2
2
y]ly 2 /( 1 2 y)(m 1 1
]Fm 2 1 (l) 1 lyFm 2 2 (l)( 2
2
1 2 y 2 ly 2
2 ly 2 ]ly 2 /( 1 2 y)(m
1 2 y 2 ly 2
.
Secondo le relazioni ricorrenti (A10) e (A18), si deduce
L1 1 m (l) 4 F1 1 m (l) 1 lFm 2 1 (l)
4 Fm (l) 1 2 lFm 2 1 (l)
che ci porta alla seguente funzione generatrice:
PROPOSIZIONE D4. – (Funzione generatrice univariata).
(D7a)
!
nDm
Lm , n (l) y n 4
(D7b)
2
y 11m
1 2 y 2 ly 2
22y
1 2 y 2 ly 2
]Lm 1 1 (l) 1 lyLm (l)(
]ly 2 /( 1 2 y)(m 1 1 .
E. – Funzioni generatrici condizionate.
Per i polinomi incompleti di Fibonacci ]Fm, n (l)( definiti in (B1), si ha che
F[n/2 ], n (l) 4 F[ 1 1 n/2 ], n (l) 4 R 4 Fn , n (l)
perché
g h
n2m
m
f0,
[n/2 ] E m E n .
A questo punto, denominiamo condizionata la funzione generatrice corrispondente alla condizione 0 G m G n/2 E Q sugli indici m ed n. Allora essa è data
304
-
CHU WENCHANG
VALENTINA VICENTI
esplicitamente da:
!
!
f (x , y) »4
Fm , n (l) x m y n
*
0 G m G n/2 E Q
(E1a)
(E1b)
4
x m y n [x m y n ] F(x , y).
0 G m G n/2 E Q
TEOREMA E1. – (Funzione generatrice condizionata).
( 1 2 lxy 2 )2
.
f (x , y) 4
*
( 1 2 y 2 lxy 2 )]( 1 2 lxy 2 )2 2 xy 2 (
(E2)
DIMOSTRAZIONE. – Con la formula (B5) si era trovato che:
F(x , y) 4
!g h
Q
i1j
i, j, k40
i
l i x i1k y 2i1j .
Ricordando che deve valere la condizione 0 G m G n/2 E Q, in questo caso essa
diventa i 1 k G i 1 j/2, cioè k G j/2. Quindi si ha:
!g h
!
!
g h
Q
i1j
f (x , y) 4
*
i, j40
Q
4
12x
!
i
1 1 [ j/2 ]
l i x i y 2i1j
yj
( 1 2 lxy 2 ) j 1 1
12x
j40
1
4
2
12x
i, j40
xk
0 G k G j/2
1 2 x 1 1 [ j/2 ] i 1 j
Q
4
l i x i y 2i1j
i
( 1 2 x)( 1 2 y 2 lxy 2 )
x
12x
Q
x [ j/2 ] y j
j40
( 1 2 lxy 2 ) j 1 1
!
.
A questo punto bisogna separare l’ultima somma in due parti, a seconda che
l’indice j sia pari o dispari:
Q
!
j40
x [ j/2 ] y j
2
( 1 2 lxy )
!{
Q
4
j11
4
4
j40
x jy 2j
2 112j
( 1 2 lxy )
1 1 y 2 lxy 2
( 1 2 lxy 2 )2
1
x jy 2j11
( 1 2 lxy 2 )2 1 2 j
Q
x jy 2j
j40
( 1 2 lxy 2 )2 j
!
1 1 y 2 lxy 2
( 1 2 lxy 2 )2 2 xy 2
.
}
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
305
Quindi
1
f (x , y) 4
*
( 1 2 x)( 1 2 y 2 lxy 2 )
2
x( 1 1 y 2 lxy 2 )
( 1 2 x)]( 1 2 lxy 2 )2 2 xy 2 (
la cui fattorizzazione risulta dalla funzione generatrice del teorema.
r
Lo stesso discorso si può fare per la funzione generatrice condizionata relativa ai polinomi incompleti di Lucas. Denotiamo con
!
c (x , y) »4
Lm , n (l) x m y n
*
0 G m G n/2 E Q
(E3a)
(E3b)
4
!
x m y n [x m y n ] C(x , y).
0 G m G n/2 E Q
Notando la relazione (C3), si deduce che
c (x , y) 4 ( 1 1 lxy 2 ) f(x , y)
*
(E4)
perchè il fattore ( 1 1 lxy 2 ) non modifica la condizione sull’indice della somma.
Il risultato viene evidenziato dal seguente:
TEOREMA E2. – (Funzione generatrice condizionata).
!
c (x , y) 4
Lm , n (l) x m y n
*
0 G m G n/2 E Q
(E5a)
(E5b)
4
( 1 1 lxy 2 )( 1 2 lxy 2 )2
( 1 2 y 2 lxy 2 )]( 1 2 lxy 2 )2 2 xy 2 (
.
I prossimi ed ultimi due risultati riguardano le funzioni generatrici condizionate
univariate per i polinomi incompleti di Fibonacci e di Lucas, rispettivamente.
PROPOSIZIONE E3. – (Funzione generatrice univariata).
(E6a)
!
nF2m
(E6b)
Fm , n (l) y n 4
2
y 2m
1 2 y 2 ly 2
]F2 m (l) 1 lyF2 m 2 1 (l)(
l m11 y 2m12
( 1 2 y 2 ly 2 )( 1 2 y)m 1 1
.
306
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
DIMOSTRAZIONE. – Ricordando la (E2), non è difficile verificare che l’espressione della funzione generatrice si può scomporre in frazioni parziali anche come segue:
1
f (x , y) 4
*
1 2 y 2 ly 2
1 lxy
{ (1122lxy
lxy ) 2 xy
2
3
2 2
2
2
ly 2
1 2 y 2 lxy 2
}.
Sviluppiamo separatamente i due termini dentro la parentesi. Il primo
diventa:
( 1 2 lxy 2 ) 1 lxy 3
( 1 2 lxy 2 )2 2 xy 2
Q
4
!
F2 k (l) x k y 2 k
k40
Q
1l
!
k40
F2 k 1 1 (l) x k 1 1 y 2 k 1 3
tenendo conto delle (A16) e (A17).
Il secondo termine si esprime facilmente in serie geometrica
ly 2
4
1 2 y 2 lxy 2
Q
l k11 x k y 2k12
k40
( 1 2 y)k 1 1
!
.
Riassumendo le due espressioni sopra ottenute, si ricava
!
nF2m
4
4
Fm , n (l) y n 4 [x m ] f (x , y)
*
[x m ]
1 2 y 2 ly 2
y 2m
1 2 y 2 ly 2
ly
1 lxy
2
}
{ (1122lxy
lxy ) 2 xy
1 2 y 2 lxy
{F (l) 1 lyF (l) 2 ( 1l2 y)y }
2
2 2
3
2
2
2
m11
2m
2m21
cioè la formula della proposizione.
2
m11
r
Analogamente per i polinomi di Lucas vale la seguente:
PROPOSIZIONE E4. – (Funzione generatrice univariata).
(E7a)
!
nF2m
(E7b)
Lm , n (l) y n 4
2
y 2m
1 2 y 2 ly 2
22y
1 2 y 2 ly 2
]L2 m (l) 1 lyL2 m 2 1 (l)(
m n
ly 2
12y
m11
.
FUNZIONE GENERATRICE E POLINOMI INCOMPLETI ECC.
307
DIMOSTRAZIONE. – Sfruttando la dimostrazione precedente, si riformula la
funzione generatrice (E5b), secondo la (E4) come segue:
1 1 lxy 2
c (x , y) 4
*
1 2 y 2 ly 2
1 lxy
{ (1122lxy
lxy ) 2 xy
2
3
2 2
2
2
ly 2
1 2 y 2 lxy 2
}.
Trattiamo separatamente i due termini dentro la parentesi. Il primo diventa:
( 1 2 l 2 x 2 y 4 ) 1 lxy 3 ( 1 1 lxy 2 )
( 1 2 lxy 2 )2 2 xy 2
Q
4
!
!
L2 k (l) x k y 2 k
k40
Q
1l
k40
L2 k 1 1 (l) x k 1 1 y 2 k 1 3
grazie alle (A25) e (A26).
Il secondo termine si sviluppa facilmente in serie geometrica
ly 2 ( 1 1 lxy 2 )
1 2 y 2 lxy 2
2
4 ( 1 1 lxy )
4 ( 2 2 y)
Q
l k11 x k y 2k12
k40
( 1 2 y)k 1 1
!
Q
l k11 x k y 2k12
k40
( 1 2 y)k 1 1
!
.
Mettendo insieme le due espressioni, si ottiene
!
nF2m
4
4
Lm , n (l) y n 4 [x m ] c (x , y)
*
[x m ]( 1 1 lxy 2 )
1 2 y 2 ly 2
y 2m
1 2 y 2 ly 2
{L
1 lxy
{ (1122lxy
lxy ) 2 xy
2
2 2
3
2
2
2 m (l) 1 lyL2 m 2 1 (l) 2
la formula della proposizione.
ly 2
1 2 y 2 lxy 2
}
( 2 2 y) l m 1 1 y 2
( 1 2 y)m 1 1
}
r
Quando l 4 1, le ultime due funzioni generatrici (E6) e (E7) conducono alla
versione corretta del teorema sulle funzioni generatrici relative ai numeri incompleti di Fibonacci e Lucas, dovuto a un lavoro recente di Pinter e
Srivastava [8].
BIBLIOGRAFIA
[1] W. CHU, Solutions of certain recurrence relations, J. Dalian Inst. Tech. (Math. Issue),
25 (1986), 19-22; MR88i:05009 & Zbl.629:05005.
[2] W. CHU, Binomial convolutions and hypergeometric identities, Rend. Circolo Mat.
Palermo (serie II), 43 (1994), 333-360; MR96e:33010.
308
CHU WENCHANG
-
VALENTINA VICENTI
[3] W. CHU, Funzione generatrice e somma binomiale, «Ricerche di Matematica»
(Napoli), XLIX:2 (2000), 317-326.
[4] L. COMTET, Advanced Combinatorics, D. Reidel Publishing company, DordrechtHolland, 1974.
[5] P. FILIPPONI, Incomplete Fibonacci and Lucas numbers, Rend. Circolo Mat. Palermo (serie II), 45 (1996), 37-56.
[6] H. W. GOULD, Combinatorial Identities, Morgantown, 1972.
[7] R. L. GRAHAM - D. E. KNUTH - O. PATASHNIK, Concrete Mathematics, Addison-Wesley Publ. Company, Reading, Massachusetts, 1989.
[8] A. PINTER - H. M. SRIVASTAVA, Generating functions of the incomplete Fibonacci
and Lucas numbers, Rend. Circolo Mat. Palermo (serie II), 48 (1999), 591-596.
[9] H. S. WILF, Generating functionology (second edition), Academic Press Inc., London, 1994.
Chu Wenchang: Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Lecce
Prov.le Lecce-Arnesano P.O. Box 193, 73100 Lecce, Italia
E-mail: chu.wenchangHunile.it
Vicenti Valentina: Via Salina Grande 9, 74100 Taranto, Italia.
E-mail: valentina.vicentiHlibero.it
Pervenuta in Redazione
il 10 marzo 2001