Matrici a coefficienti in R. Matrici quadrate. Somma e prodotto per

LEZIONE 1
1.1. Matrici a coefficienti in R.
Definizione 1.1.1. Siano m, n ∈ Z positivi. Una matrice m × n a coefficienti in
R è un insieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da
parentesi. Tali numeri sono dette entrate o componenti della matrice.
L’insieme di tutte le matrici m × n a coefficienti in R si indicherà con Rm,n . La
matrice 0m,n ∈ Rm,n avente tutte le entrate nulle viene detta matrice nulla.
Se m = n si parlerà di matrici quadrate, se m = 1 di matrici riga, se n = 1 di
matrici colonna.
La definizione data sopra ha senso anche quando m = n = 1. In tal caso però,
si preferisce identificare R1,1 con R.
Esempio 1.1.2. Diamo alcuni esempi di matrici.


1
√π
1
3,2
A =  −3/19
21  ∈ R ,
B=
π
0
0


1
D = ( 1 0 ) ∈ R1,2 ,
C =  2  ∈ R3,1 ,
−3
−3/19
0
√
21 0
E=
1
0
∈ R2,3 ,
0
1
∈ R2,2 .
C, D, E sono, rispettivamente, una matrice colonna, riga, quadrata. Invece A e
B non sono nè riga nè colonna nè quadrate. Invece la tabella


1 2
3 4
 2 −1
0 
17
non è una matrice.
Sia A ∈ Rm,n . Ad ogni sua entrata a rimangono associati due numeri interi
positivi, gli indici i e j della riga e della colonna al cui incrocio si trova a: i e
j vengono detti rispettivamente indice di riga e indice di colonna di a, a si dice
l’entrata in posizione (i, j): spesso, per indicarla nelle formule, si scriverà ai,j . In
particolare la matrice A si indica sovente con il simbolo
A = (ai,j ) 1≤i≤m .
1≤j≤n
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1
2
1.1. MATRICI A COEFFICIENTI IN R
Se A è quadrata con m = n si scrive anche
A = (ai,j )1≤i,j≤n .
Quando le dimensioni della matrice sono fissate spesso le entrate si indicano con
lettere distinte. Per esempio, una matrice 2 × 2 generica verrà indifferentemente
indicata nel seguito con uno dei seguenti simboli:
(ai,j ) 1≤i≤2 ,
(ai,j )1≤i,j≤2 ,
1≤j≤2
a1,1
a2,1
a1,2
a2,2
,
a
c
b
d
.
Esempio 1.1.3. Si considerino

1
A =  −3/19
0

π
√
21  ∈ R3,2 ,
0
B=
−3/19
0
√
21 0
1
π
∈ R2,3
Allora l’entrata (1, 2) di A è a1,2 = π. Le entrate (3, 1) e (3, 2) di A sono a3,1 =
a3,2 = 0. Invece le entrate (3, 3) e (2, 3) non esistono.
Similmente le entrate (3, 1), (3, 2), (3, 3) di B non esistono. Invece le entrate
(1, 2) e (2, 3) di B sono b1,2 = −3/19 e b2,3 = 0.
Definizione 1.1.4. Sia A ∈ Rm,n . L’opposto di A è la matrice di Rm,n , indicata
con −A, la cui entrata (i, j) coincide con l’opposto dell’entrata (i, j) della matrice
A per i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.
Se A = (ai,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n spesso si scriverà in simboli −A = (−ai,j ) 1≤i≤m ∈
1≤j≤n
Rm,n . Per esempio per le matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3, vale

−1

−A = 3/19
0

−π
√
− 21  ∈ R3,2 ,
0
−B =
−1
−π
3/19
√
− 21
0
0
1≤j≤n
∈ R2,3 .
Definizione 1.1.5. Due matrici
A0 = a0i,j
1≤i≤m0
1≤j≤n0
,
A00 = a00i,j
1≤i≤m00
1≤j≤n00
si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e colonne, cioè m0 = m00 = m,
n0 = n00 = n, e se le entrate aventi la stessa posizione nelle due matrici coincidono,
cioè a0i,j = a00i,j per ogni i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.
Le due matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3 sono perciò diverse. Ciononostante sono legate da un’ovvia relazione: l’entrata (i, j) di A coincide con l’entrata
(j, i) di B.
LEZIONE 1
3
Definizione 1.1.6. Sia A ∈ Rm,n . La trasposta di A è la matrice di Rn,m ,
indicata con t A, la cui entrata (j, i) coincide con l’entrata (i, j) della matrice A
per i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.
Se A = (ai,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n spesso si scriverà in simboli t A = (aj,i ) 1≤j≤n ∈
1≤j≤n
1≤i≤m
Rn,m . Per esempio per le matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3 vale B = t A e
A = t B.
Proposizione 1.1.7. Valgono le seguenti proprietà:
(T1) per ogni matrice A risulta A ∈ Rm,n se e solo se t A ∈ Rn,m ;
(T2) per ogni matrice A ∈ Rm,n risulta t (t A) = A;
(T3) per ogni matrice A ∈ Rm,n risulta t (−A) = −(t A). In qualche senso l’operazione di trasposizione ci permette di identificare, all’occorrenza, matrici m × n con matrici n × m: per esempio identificare matrici riga
con matrici colonna.
1.2. Matrici quadrate.
In questo paragrafo descriveremo alcune classi notevoli di matrici quadrate.
Innanzi tutto diamo una definizione.
Definizione 1.2.1. Sia A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n . La diagonale di A è l’insieme
ordinato delle entrate di posizione (i, i) di A.
Per esempio se

1
A = π
2
−17
0
−3/4

4
8 ,
−e
la diagonale di A è la successione ordinata (1, 0, −e) (e non (1, −e) o (−e, 1, 0) o
altro).
Esempio 1.2.2. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice diagonale
se tutte le entrate al di fuori della diagonale sono nulle, ovvero in simboli se ai,j = 0
quando i 6= j. Per esempio


1 0 0
A = 0 0 0 
0 0 −e
è diagonale. Una matrice diagonale può essere descritta indicando solo la sua
diagonale: per esempio la matrice A di cui sopra viene spesso indicata con il
simbolo A = diag(1, 0, −e).
Invece


0 −17 0
B = 0
0
0
0
0
0
4
1.2. MATRICI QUADRATE
non lo è.
Si noti che la matrice nulla 0n,n è diagonale.
Fra le matrici diagonali una è particolarmente importante e, perció, merita
un simbolo ed un nome particolari: si tratta della matrice identità di ordine n,
indicata con In . Si tratta della matrice diagonale avente tutte le entrate diagonali
uguali ad 1. Per esempio




1 0 0 0
1 0 0
1 0
0 1 0 0
I4 = 
I1 = (1),
I2 =
,
I3 =  0 1 0  ,
.
0 0 1 0
0 1
0 0 1
0 0 0 1
Esempio 1.2.3. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice triangolare superiore se le sue entrate al di sotto della diagonale si annullano, ovvero in
simboli se ai,j = 0 quando i > j. Per esempio


1 −17 4
A = 0
0
8 
0
0
−e
è triangolare superiore.
Similmente si può introdurre la nozione di matrice trangolare inferiore. A =
(ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice triangolare inferiore se le sue entrate al di sopra della
diagonale si annullano, ovvero se ai,j = 0 quando i < j. Per esempio


1
0
0
B = π
0
0 
2 −3/4 −e
è triangolare inferiore.
A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice strettamente triangolare superiore (inferiore)
se è triangolare superiore (inferiore) e le sue entrate sulla diagonale si annullano,
ovvero se ai,j = 0 quando i ≥ j (i ≤ j). Per definizione ogni matrice strettamente
triangolare superiore od inferiore è triangolare superiore od inferiore, ma non
vale il viceversa: infatti le matrici A e B sopra riportate sono, rispettivamente,
triangolare superiore ed inferiore ma non lo sono strettamente.
Si noti che la matrice nulla 0n,n è (strettamente) triangolare superiore ed inferiore.
Esempio 1.2.4. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta, ovvero in simboli se t A = A: ciò significa
ai,j = aj,i per ogni i, j = 1, . . . , n, quindi le entrate in posizione simmetrica al di
fuori della diagonale sono uguali. Per esempio


1
−17 4
A =  −17
0
8 
4
8
−e
LEZIONE 1
è simmetrica. Invece
5


1
−17 4
B= 4
0
8 
−17
8
−e
non è simmetrica perché b1,2 = −17 6= 4 = b2,1 .
Si noti che ogni matrice diagonale, in particolare la matrice nulla 0n,n , è simmetrica. Invece non possono essere simmetriche le matrici (strettamente) triangolari
superiori ed inferiori che non siano diagonali.
Esempio 1.2.5. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice antisimmetrica se coincide con l’opposto della sua trasposta, ovvero in simboli se t A =
−A: ciò significa ai,j = −aj,i per ogni i, j = 1, . . . , n, quindi le entrate diagonali
devono essere nulle, e quelle in posizione simmetrica al di fuori della diagonale
sono opposte. Per esempio


0 −17 4
A =  17
0
8
−4 −8 0
è antisimmetrica. Invece

1

B = 17
−4
−17
0
−8

4
8,
0

0

C = 17
4
−17
0
−8

4
8,
0
non sono antisimmetriche perché b1,1 = 1 6= 0 e c3,1 = 4 6= −c1,3 .
Si noti che l’unica matrice diagonale o (strettamente) triangolare superiore ed
inferiore o simmetrica che sia anche antisimmetrica è la matrice nulla 0n,n .
1.3. Somma e prodotto per scalari.
In questo paragrafo definiremo due importanti operazioni su matrici. Iniziamo
a definire la somma di matrici.
Definizione 1.3.1. Siano A = (ai,j ) 1≤i≤m , B = (bi,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n . Definiamo
1≤j≤n
1≤j≤n
somma di A e B la matrice di Rm,n , indicata con A + B, la cui entrata in posizione
(i, j) è ai,j + bi,j .
Si noti che la somma è stata definita solo per matrici aventi le stesse dimensioni.
Esempio 1.3.2. Si ha

 
1 −1
0
5 7  +  3
3 2
−1/2
 

1
1
0
−4  =  8
3.
0
5/2 2
6
1.3. SOMMA E PRODOTTO PER SCALARI
Proposizione 1.3.3. Valgono le seguenti proprietà:
(S1) per ogni A, B ∈ Rm,n si ha A + B = B + A (la somma è commutativa);
(S2) per ogni A, B, C ∈ Rm,n si ha A + (B + C) = (A + B) + C (la somma è
associativa);
(S3) la matrice nulla è l’unico elemento neutro per la somma, cioè è l’unica
matrice tale che 0m,n + A = A, per ogni A ∈ Rm,n ;
(S4) per ogni A ∈ Rm,n , −A è l’unico elemento opposto di A, cioè è l’unica
matrice tale che A + (−A) = 0m,n .
Inoltre:
(ST) per ogni A, B ∈ Rm,n si ha t (A + B) = t A + t B.
Se A, B ∈ Rm,n , spesso scriveremo A − B invece di A + (−B). Passiamo ora a
definire il prodotto di una matrice per un numero reale.
Definizione 1.3.4. Siano α ∈ R, A = (ai,j ) 1≤i≤m . Definiamo prodotto dello
1≤j≤n
scalare α per A la matrice di Rm,n , indicata con αA, la cui entrata in posizione
(i, j) è αai,j .
Esempio 1.3.5. Si ha
2
3
1
2
−7
5
0
=
6
2
4
−14
10
0
.
Proposizione 1.3.6. Valgono le seguenti proprietà:
(P1)
(P2)
(SP1)
(SP2)
per
per
per
per
ogni
ogni
ogni
ogni
A ∈ Rm,n si ha 1A = A;
α1 , α2 ∈ R e A ∈ Rm,n si ha α1 (α2 A) = (α1 α2 )A;
α1 , α2 ∈ R e A ∈ Rm,n si ha (α1 + α2 )A = α1 A + α2 A;
α ∈ R e A, B ∈ Rm,n si ha α(A + B) = αA + αB.
Inoltre:
(PT) per ogni α ∈ R, A ∈ Rm,n si ha t (αA) = α(t A);
(LP) per ogni α ∈ R, A ∈ Rm,n si ha αA = 0m,n se e solo se o α = 0 o A = 0m,n
(legge di annullamento del prodotto per scalari).