2000 MATEMATICA 76. A cosa è uguale: ab

RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D’AMMISSIONE 1999 - 2000
MATEMATICA
76. A cosa è uguale: a-b ?
A) a-b = (- b-a)
B) a-b = (- a-b)
C) a-b = (a/b)
D) a-b = -( b- a)
E) a-b = 1/(ab)
L’espressione a-b costituisce un polinomio, in cui il coefficiente del termine a vale +1, mentre
quello del termine b vale –1. Quando scriviamo lo stesso polinomio racchiudendolo fra parentesi,
eseguiamo un’operazione che è detta di raccoglimento a fattor comune. Nell’esercizio proposto,
l’unica espressione che correttamente descrive l’operazione di raccoglimento a fattor comune è la
D). Infatti essa esprime il raccoglimento a fattor comune del termine –1. Le soluzioni A) e B) sono
identiche, poiché l’ordine dei membri non modifica il polinomio, ed errate, poiché il termine a
comparirebbe con il proprio coefficiente pari a –1 e non più +1. Le risposte C) ed E) non hanno
senso, poiché non esiste nessuna relazione generale tra la somma di due termini ed il loro prodotto o
quoziente.
77. Il rapporto tra valore dell’area del cerchio e lunghezza della circonferenza è:
A) costante
B) uguale a π
C) direttamente proporzionale al raggio
D) inversamente proporzionale al raggio
E) uguale al quadrato del raggio
Per rispondere alla domanda in oggetto è sufficiente calcolare il rapporto richiesto. Siano:
A = area del cerchio = πR2
C = lunghezza della circonferenza = 2πR, con R = raggio della circonferenza.
Il rapporto tra il valore dell’area e la lunghezza della circonferenza vale:
A
πR2
R
 =  =  .
C
2πR
2
Pertanto il rapporto è direttamente proporzionale al raggio R e la risposta corretta risulta essere la
C). La risposta A) è sbagliata perché, se è vero che una volta fissato R esso è costante e dunque
risulta costante anche R/2, in essa non viene specificato che il rapporto è costante per quella
specifica circonferenza considerata. Le altre risposte sono evidentemente contraddette dalla verifica
diretta descritta innanzi.
78. In una progressione geometrica il primo elemento è 2 e il sesto è 0,0625. Il quinto valore
della progressione è:
A) 0,125
B) 0,0125
C) 0,5
D) 0,05
E) nessuno dei valori proposti nelle altre risposte è corretto
Ricordiamo che una progressione si dice geometrica quando è costante il RAPPORTO tra ciascun
termine (escluso il primo) ed il precedente:
an+1/an = q,
con q = ragione (costante) della progressione geometrica.
Ricordiamo anche che l’ennesimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del
primo termine a1 per la ragione q elevata al numero di termini che precedono an:
an = a1 ⋅qn-1.
(*)
Nell’esercizio proposto risulta è incognita la ragione che può essere però calcolata dalla (*):
q = (an/a1)1/(n-1) = (a6/a1)1/(6-1) = (0,0625/2)1/5 = 0,5.
Il quinto termine della progressione vale allora :
a5 = a1 ⋅qn-1= 2⋅0,55-1= 0,125.
La risposta esatta è pertanto la A). Le altre risposte sono evidentemente sbagliate, poiché non
soddisfano la definizione di progressione geometrica indicata nella domanda e descritta innanzi.
79. La potenza ((X2 ) 4 ) 5 è uguale a:
A) X10
B) X30
C) X6
D) X40
E) X11
Il problema propone un calcolo di potenza di potenza e per cui vale la regola:
(an)m = a n⋅m .
Applicando la regola al problema proposto, otteniamo:
((X2 ) 4 ) 5 = X2⋅4⋅5=X40.
La risposta corretta è pertanto la D). Le risposte A), B), C), sono assolutamente prive di
fondamento. La risposta E) potrebbe ingannare poiché l’esponente 11 è pari alla somma degli
esponenti 2+4+5. Ricordiamo che va eseguita la somma degli esponenti solo nel caso in cui
abbiamo un prodotto di potenze con la stessa base.
80. Un triangolo rettangolo ruotando attorno a un cateto genera una figura solida. Quale?
A) Un tronco di cono
B) Un cono
C) Un tronco di piramide
D) Un cilindro
E) Due coni uniti alla base
La risposta esatta è la B) poiché il cono è il solido di rotazione ottenuto dalla rotazione di un
triangolo rettangolo attorno ad un cateto. Il tronco di cono (risposta A) è ottenuto dalla rotazione di
un trapezio rettangolo rispetto all’altezza; il tronco di piramide (risposta C) non è un solido di
rotazione; il cilindro (risposta D) è ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei lati,
mentre la risposta E) è palesemente sbagliata.
81. Quale è il risultato corretto della seguente operazione aritmetica?
X = 23,45 * 0,0123
A) X = 0,288439
B) X = 0,288438
C) X = 0,288437
D) X = 0,288436
E) X = 0,288435
Oltre che dal calcolo diretto, la risposta corretta può essere ottenuta osservando che l’ultima cifra
decimale del risultato è ottenuta dal prodotto delle rispettive ultime cifre dei fattori. Nel caso
specifico, 5*3 = 15. Pertanto il risultato dell’intero prodotto deve avere il 5 come ultima cifra. La
risposta corretta è dunque la E).
82. In un triangolo gli angoli “alfa”, “beta” e “gamma” valgono:
alfa = X
beta = alfa + 30°
gamma = beta + 60°.
Quanto vale l’angolo “alfa” (cioè X)?
A) X = 20°
B) X = 45°
C) X = 60°
D) X = 80°
E) X = 90°
Per rispondere al quesito bisogna ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo
qualsiasi è pari ad un angolo piatto, ovvero 180°:
alfa + beta + gamma = 180°.
Da cui, sostituendo le relazioni in domanda:
X + (X +30) + (X + 30 + 60) = 180°.
Con semplici calcoli:
X = 60°/3= 20°, cioè alfa = 20°.
La risposta esatta è dunque la A). Alcune semplici considerazioni consentono comunque di
escludere a priori le restanti possibili risposte, poiché essendo beta e gamma pari ad alfa più 30° o
60°, tre volte alfa non può comunque essere maggiore di 90°, ovvero alfa non può essere maggiore
di 30°.
83. La rappresentazione grafica (Fig. R) della funzione:
Y = ( - 2X + 10 )2è:
A) è una parabola con la concavità rivolta verso il basso e che è tangente all’asse delle X
B) è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto e che è tangente all’asse delle X
C) è una parabola che non taglia nè è tangente l’asse delle X
D) è una circonferenza di centro: X = 5 ; Y = 0
E) è una retta con pendenza negativa
Per “interpretare” meglio di quale curva si tratta, conviene esprimerla in forma esplicita:
Y = (-2X +10)2 = 4X2 - 40X + 100.
E’ immediato riconoscere l’ equazione esplicita di una parabola y = ax2 +bx + c.
Le risposte D) ed E) sono pertanto sbagliate.
Ricordiamo che la concavità di una parabola è definita dal segno del coefficiente del termine x2. Nel
problema proposto a=4 >0. La concavità è rivolta verso l’alto. La risposta A) è dunque errata. Per
risolvere il dubbio tra la risposta B) e la C), osserviamo che perché la parabola sia tangente all’asse
x, il suo vertice V deve giacere sull’asse x ed avere dunque coordinate (xV, 0).
Le coordinate del vertice V di una parabola sono date da:
xV = -b/(2a )
yV = -(b2-4ac)/ (4a).
Perchè yV = -(b2-4ac)/ (4a) = 0, occorre che (b2-4ac)= 0.
Nel nostro problema:
(b2-4ac)= 402 - 4⋅4⋅100 = 0.
Effettivamente, la parabola è tangente all’asse x. La risposta esatta è dunque la B).
84. Se sul prezzo di un oggetto si pratica uno sconto del 30%, e quindi sul nuovo prezzo così
ottenuto si applica un nuovo sconto del 20%, quanto vale in % lo sconto (cioè la riduzione
percentuale) totale sul prezzo iniziale?
A) 36%
B) 44%
C) 50%
D) 66%
E) 72%
Sia P il prezzo dell’oggetto. Se ad esso si applica uno sconto S (percentuale) il nuovo prezzo sarà
P’ = P (1-S)
(*).
Se a P’ applichiamo un nuovo sconto S’, il nuovo prezzo P” sarà:
P” = P’ (1-S”)
P” = P(1-S)(1-S’).
e sostituendo la (*), si ottiene:
Lo sconto totale ST vale allora ST = 1- (1-S)(1-S’).
Nel problema proposto, lo sconto totale vale:
ST =1- (1-0,30)(1-0,20) = 0,70⋅ 0,80 =1 - 0,56 = 0,44 = 44%.
La risposta esatta è pertanto la B).
85. In un triangolo isoscele, che abbia due lati uguali a 2 cm e l'area uguale a 2 cm2 :
A) è iscritto in un cerchio di raggio uguale a 2
B) è anche equilatero
C) ha il terzo lato uguale ad un cm
D) non può esistere
E) è un rettangolo
Sia b =2 cm la misura di ciascuno dei due lati obliqui. Se il triangolo in questione fosse rettangolo,
potrebbe esserlo solo nel vertice. I due lati obliqui sarebbero allora i due cateti e l’area del triangolo
varrebbe:
A = ½ b2 = ½ 22= ½ 4 = 2 cm2.
Pertanto la risposta esatta è la E).
__
__
Il triangolo non può essere equilatero, poiché la sua area sarebbe pari a (√ 3 /4 )b2 = √ 3 ≠ 2,
diversamente dall’ipotesi. Allora la risposta C) è sbagliata e, conseguentemente, anche la risposta
A), poiché il triangolo isoscele non equilatero non è un poligono regolare, dunque non è iscrivibile
né circoscrivibile ad una circonferenza. La risposta D) è negata, come visto, dalla E).
86- Due variabili X e Y sono tra loro inversamente proporzionali se è costante:
A) la loro somma
B) la loro differenza
C) il loro quoziente
D) il loro prodotto
E) il logaritmo in base 10 della loro somma
Si dice che due variabili x e y sono direttamente proporzionali quando il loro
rapporto è costante (risposta C errata):
x
= cos t
y
Ciò significa che x e y sono legate da una relazione tale che, se la variabile x
raddoppia, anche la variabile y raddoppia, se la variabile x triplica, anche y
triplica e così via…
Si dice che due variabili x e y sono inversamente proporzionali quando il loro
prodotto è costante:
x * y = cos t
Ciò significa che x e y sono legate da una relazione tale che, se la variabile x
raddoppia, la variabile y dimezza, se la variabile x triplica, y risulta divisa per
tre e così via…(risposta D esatta).
87- Tra i primi 100 numeri naturali, sono contemporaneamente divisibili per: 2, 3,
4, 5:
A) 0 numeri
B) 1 numero
C) 2 numeri
D) non è possibile stabilirlo
E) 3 numeri
I numeri 2, 3 e 5 sono numeri primi, mentre 4 è pari a 22. Ciò significa che se un numero è divisibile
per 4, lo è anche per 2. Quindi per ottenere il più piccolo numero contemporaneamente divisibile
per 2, 3, 4 e 5 basterà fare il prodotto tra 3, 4 e 5 cioè
3*4*5 = 60. ( Risposte A e D errate)
Infatti dire che un numero naturale x risulta divisibile per un numero naturale y
significa dire che y fa parte della scomposizione del numero x.
Il successivo numero che verifica la condizione della domanda si ottiene aumentando la
potenza del fattore più piccolo che nel nostro caso è 3. Quindi sarà 32*4*5 = 60 *3
=180. Poichè 180 è maggiore di 100, avremo trovato il solo numero 60 che soddisfa le
condizioni della domanda (risposta B corretta).
88- Nel Sistema Internazionale delle Unità di Misura SI è permesso far uso di
multipli e sottomultipli delle unità di misura. Vengono elencati 5 gruppi di 6
multipli e sottomultipli (in base ai loro simboli ufficiali). Accanto a ciascun
simbolo è indicata la scrittura per esteso (o prefisso) che dovrebbe essere
assegnato al simbolo.
Tuttavia SOLO UNO dei gruppi seguenti fornisce tutti i prefissi scritti in modo
corretto. Quale?
A) p(pico);
B) p(pico);
C) p(pico);
D) p(pico);
E) p(pico);
n(nano);
n(nano);
n(Nano);
n(nano);
n(nano);
µ(micron); k(kilo); M(mega); G(Giga);
µ(micron); k(Kilo); M(mega); G(giga);
µ(micron); k(kilo); M(mega); G(giga);
µ(micron); k(kilo); M(Mega); G(giga);
µ(micro); k(kilo); M(mega); G(giga);
I prefissi per i multipli e sottomultipli più usati del SI sono:
p(pico) = 10-12;
n(nano) = 109;
µ(micro) = 10-6;
k(kilo) = 103;
M(mega) = 106;
G(Giga) = 109;
La risposta corretta è quindi la E.
Questi prefissi possono essere applicati ad ogni unità SI. Ad esempio 0.001 s è 1 ms
(millisecondo).
Le risposte A, B, e D contengono tutte lo stesso errore: micron non è il prefisso che in
dica 10-6, ma è il prefisso micro applicato all’unità metro: 1 micron = 10-6 metri
89- In base alla definizione generale di logaritmo di un numero in una certa base,
quanto vale il logaritmo del numero 0,0001 in base 100 (cento) ?
A) 0,01
B) + 2
C) - 2
D) + 4
E) - 4
Il numero 0,0001 può essere scritto nella forma 1 *10-4 o anche 100-2 . Cercare il logaritmo in base
100 del numero 0,0001 (log100 100-2) significa cercare l’esponente di quella potenza di 100 che vale
0,0001. E’ chiaro quindi che
log100 100-2 = -2 (risposta C corretta).
Il numero 0,01 è il log100 1000,01 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 1000,01 (risposta B
errata).
Il numero +2 è il log100 1002 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 10.000 (risposta B errata).
Il numero +4 è il log100 1004 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 100.000.000 (risposta D
errata).
Il numero -4 è il log100 100-4 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 0,000000001 (risposta E
errata).
90- Quale dei valori sotto riportati costituisce la migliore approssimazione della
radice quadrata di 814.420 ?
A) 90
B) 900
C) 9000
D) 81442
E) 407270
Il modo più semplice per rispondere alla domanda non è calcolare la radice
quadrata di 814.420, ma è ragionare per approssimazioni. In particolare
sceglieremo un numero prossimo a quello dato di cui facilmente possiamo
determinare la radice quadrata. Ad esempio il numero 810.000 è una buona
approssimazione di 814.420 e, se lo scriviamo come 81 * 104, facilmente
troveremo la risposta alla domanda:
81 * 10 4 = 9 * 10 2 = 900
La risposta esatta è quindi la B.