scheda poliedri

Laboratorio formazione primaria A.A. 2008 - 2009
1. OSSERVAZIONE DI POLIEDRI
Osservate le costruzioni presenti in sala, realizzate con tessere colorate. In generale le costruzioni
in cui le tessere si incastrano in ciascuno dei loro lati (cioè in cui l’oggetto arriva a “chiudersi”)
rappresentano dei POLIEDRI. realizzate alcune costruzioni a vostra libera scelta.
Sapreste dire che cosa sono vertice, spigolo e faccia di un poliedro? Indicatelo negli appositi spazi
della figura sottostante:
Torniamo ai poliedri che avete ricostruito e sceglietene due.
Quante facce ha il primo? .............. E il secondo? .................
Che tipo di poligoni sono le facce? .......................................................................
Per il primo: . ......................................................................................................
Per il secondo: ....................................................................................................
Sapendo quanti sono i vertici e quanti spigoli escono da ogni vertice, potete dire quanti sono in
totale gli spigoli senza fare la fatica di contarli (attenzione: ogni spigolo ha
DUE
vertici)?
…………………………………………………………..………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….………………………………
2. MOSCA CIECA
Dividetevi in due sottogruppi A e B; il sottogruppo A ha a disposizione l’immagine di un poliedro
da descrivere al sottogruppo B per farglielo ricostruire. Le regole sono poche:
-
A non può dire il nome del poliedro
-
A non deve mostrare l’immagine del poliedro a B.
GRUPPO A
Scrivete qui sotto le indicazioni più importanti da dare ai vostri compagni:
……………………………………………………………………………………….……………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………….……………………………………………………………………………………….………………………………………..
Confrontate poi il poliedro costruito dal gruppo B con quello della vostra immagine.
1
È lo stesso?
Se avete risposto “NO”, provate a capire, insieme ai vostri compagni del gruppo B, quale o quali
sono state le informazioni che hanno indotto i vostri compagni all’errore e a scriverle qui: ………..
…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….……………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(ORA A E B SI SCAMBIANO I RUOLI)
GRUPPO B
Scrivete qui sotto le indicazioni più importanti da dare ai vostri compagni:
……………………………………………………………………………………….……………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………….……………………………………………………………………………………….……………………………………..…
Confrontate poi il poliedro costruito dal gruppo A con quello della vostra immagine.
E’ lo stesso?
Se avete risposto “NO”, provate a capire, insieme ai vostri compagni del gruppo A quale o quali
sono state le informazioni che hanno indotto i vostri compagni all’errore e a scriverle qui: ………..
…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….……………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……
3. GRANDE E PICCOLO
Con il materiale che avete a disposizione costruite:
A. un prisma che ha come facce laterali tre quadrati e come base un triangolo equilatero
(scegliete il triangolo piccolo, fra le due tessere che avete a disposizione, in modo che si
incastri con il quadrato).
B. un prisma che ha come base lo stesso triangolo di prima, ma ha altezza doppia; fate prima
una previsione su numero di tessere che vi serviranno. …………..
C. un prisma che ha la stessa altezza del primo e ha come base un triangolo equilatero di lato
doppio; fate prima una previsione su numero di tessere che vi serviranno. …………
Proviamo a confrontare i volumi di questi tre prismi. Qual è il più piccolo? ……………………………….
Qual è il più grande? ……………. Di quanto è più grande quello più grande di tutti? ………………..
Cosa potete dire quindi del rapporto fra il volume del prisma C e il volume del prisma B? ………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2
4. CUBI
Costruite un cubo. Poi costruitene ora un altro, di spigolo DOPPIO di quello che avete costruito in
precedenza; PRIMA però dite quante tessere quadrate vi serviranno: ….......
Dopo averlo costruito, potete avere una conferma delle vostre previsioni. Avevate indicato il
numero corretto? … (Se avete sbagliato, qual è stato l’elemento che vi ha indotto in confusione?
….…………………………………..…………………………………..…………………………………..………………………………….)
Possiamo pensare di costruire un cubo di spigolo triplo; o anche quadruplo, quintuplo, lungo 10
volte tanto. Provate a immaginare quello che succede senza farlo effettivamente e riempite la
tabella:
per costruire un cubo di spigolo →
ci vogliono ↓
Doppio
triplo
quadruplo
Lungo
10 Lungo N volte
volte tanto
tanto
Tessere
Quanti cubetti contiene il cubo
grande?
Fissiamo come unità di misura per le lunghezze la lunghezza del lato di una tessera quadrata, e
fissiamo di conseguenza le unità di misura di area e volume, in modo che per il cubetto fatto con 6
tessere quadrate possiamo dire che ha volume V=1 e superficie totale (ovvero la somma delle
aree di tutte le facce) A=6.
Con le osservazioni precedenti possiamo determinare il volume e la superficie totale di un cubo di
lato 2, 3, ... . Provate a riempire quest’altra tabella:
In un cubo di spigolo →
2
↓
Il volume è
3
4
5
10
n
8
La superficie totale è
24
=
6×4
5. PUZZLE DI POLIEDRI
Con il materiale che avete a disposizione, e aiutandovi con gli schemi qui sotto che indicano per
ciascun solido uno sviluppo piano, costruite:
•
un tetraedro regolare, usando come facce i triangoli equilateri piccoli (chiamiamolo
tetraedro A);
•
quattro copie di un tetraedro formato da due triangoli equilateri piccoli e due triangoli
rettangoli isosceli (chiamiamoli tetraedri B);
•
un ottaedro regolare usando come facce i triangoli equilateri piccoli (chiamiamolo O);
3
•
una piramide che ha per base un rombo, ottenuto accostando due triangoli equilateri
piccoli, e per facce laterali due triangoli equilateri piccoli e due triangoli rettangoli isosceli
(chiamiamola P)
B
B
O
P
B
B
O
P
O
O
A
O
O
A
O
O
P
P
P
A
A
Provate ad immaginare un tetraedro regolare di spigolo doppio (che chiamiamo tetraedro A2);
secondo voi, quanti triangoli equilateri piccoli ci sono voluti per costruirlo? ..........
Provate a mettete in fila i 5 poliedri, dal più piccolo al più grande. Scrivete qui i loro nomi in ordine
rispetto al volume: ….……………..…………………………………..…………………………………..………………………………….
Facciamo ora un po’ di PUZZLE di poliedri. Provate a usare un tetraedro di tipo A e uno di tipo B
per ottenere il poliedro P. Che cosa possiamo ricavarne circa il volume?
Vol (P) = .......................................................................................
E com’è il volume del tetraedro A rispetto a quello del tetraedro B? (più grande, più piccolo, …) …..
Provate ora a usare
•
4 copie del tetraedro B per ottenere l’ottaedro O.
Come avete fatto? …………………………………..……………….……………….…………………………………..…………………….
…………………………………..……………….……..…………………………………..…………………………………………………………….
•
l’ottaedro regolare O e 4 copie del tetraedro A per ottenere il tetraedro A2.
Come avete fatto? …………………………………..……………….……………….…………………………………..…………………….
…………………………………..……………….……..…………………………………..…………………………………………………………….
•
4 copie del poliedro P per ottenere il tetraedro A2.
Come avete fatto? …………………………………..……………….……………….…………………………………..…………………….
…………………………………..……………….……..…………………………………..…………………………………………………………….
Ripensate quindi all’ordine in cui avevate disposto i poliedri dal più piccolo al più grande. Era
corretto? Se no, scrivete qui quello corretto: ……………………………….……………………………………………………
4
6. PITAGORA...
Ora ci occupiamo solo di area e non più di volume. Avete a disposizione due diversi tipi di tessere
a forma di triangolo equilatero, una più piccola e una più grande. Qual è il rapporto fra il lato del
triangolo grande e quello del triangolo piccolo? ………………………..…………………………………..…………………
Un suggerimento: se considerate il triangolo rettangolo isoscele che avete a disposizione, potete
osservare che il cateto è lungo quanto il lato del triangolo piccolo, mentre l’ipotenusa è lunga
quanto il lato del triangolo grande, come nella figura qui sotto. Questa osservazione vi può aiutare
a rispondere alla domanda precedente?
…………………………………..…………………………………..…………………………………..…………………………………………………
…………………………………..…………………………………..…………………………………..…………………………………………………
Qual è il rapporto fra le aree dei due triangoli? È chiaro che il triangolo di lato maggiore ha anche
area maggiore; ma vi stiamo chiedendo
DI QUANTO
è maggiore?
Che cosa deducete quindi sull’area dei due triangoli? La previsione che avevate fatto prima di fare
questo puzzle è stata confermata?
…………………………………..…………………………………..…………………………………..………………………………….
…………………………………..…………………………………..…………………………………..………………………………….
La base che avete utilizzato per fare questo puzzle (che vi riportiamo qui sotto a sinistra) ricorda
molto la figura del teorema di Pitagora (provate a confrontarla con la figura sulla destra), solo che
qui le figure coinvolte non sono più quadrati, ma triangoli equilateri.
Utilizzando il teorema di Pitagora sapete dire quanto vale l’area del quadrato grosso rispetto
all’area dei due quadrati piccoli? …………….…………………..…………………………………..………………………………….
Sapete decomporre il quadrato grosso in pezzettini (possibilmente abbastanza pochi!) in modo da
poterli poi utilizzare per ricomporre i due quadrati piccoli? Provate a fare il disegno.
5
Quindi verificando che il triangolo equilatero di lato √2 ha area doppia del triangolo equilatero di
lato 1 abbiamo verificato una specie di teorema di Pitagora fatto con i triangoli equilateri invece
che con i quadrati. Secondo voi andava bene anche se al posto dei triangoli equilateri mettevamo
dei triangoli qualsiasi? …………….…………………………………..…………………………………..………………………………….
…………………………………..…………………………………..……………………………………………...…..………………………………
7. TETRAEDRI
Il materiale che avete a disposizione comprende 4 diversi tipi di triangoli. I costruttori volevano
utilizzare per i lati due lunghezze diverse, in rapporto 1:√2, e questi sono tutti i possibili triangoli
che si possono costruire con i lati di queste due lunghezze.
Da quale osservazione potete ricavare che il rapporto fra i lati diversi è proprio √2? Come potete
giustificare che questi 4 triangoli sono proprio tutti i casi possibili (con i vincoli che abbiamo
detto?)
Fra questi 4 triangoli sono compresi due triangoli equilateri: qual è il rapporto fra le loro aree?
Passiamo adesso alla costruzione di tetraedri. Ci interessano dei tetraedri in cui ciascuna delle
facce sia una delle tessere che avete a disposizione e vi chiediamo di provare a costruirne tanti,
tutti diversi fra di loro. Quanti ne avete trovati? ............ Provate nello spazio bianco qui sotto a
tener traccia dei tentativi che avete fatto, in modo da poterli ricostruire se ci tornate sopra in un
momento successivo.
Li avrete trovati tutti? Vi diamo qualche suggerimento; nello spazio sottostante dite se avete
trovato quel particolare tetraedro e registrate come, in modo che un vostro collega che non l’abbia
trovato possa capire come costruirlo.
•
Ci sono due tetraedri regolari diversi
•
Oltre a questi due, ce n’è un altro (e solo uno!) che ha le facce tutte uguali fra loro (ma
non è regolare)
•
Ci sono due piramidi rette che hanno per base un triangolo equilatero
•
C’è un tetraedro che messo fra due specchi a 90° permetterebbe di vedere un ottaedro
regolare
•
C’è un tetraedro che messo fra tre specchi, a due a due ortogonali fra loro, permetterebbe
di vedere un ottaedro regolare
•
Ce ne sono vari altri molto più bislacchi...
6