Sul modello di Lotka Volterra

Sul modello di Lotka Volterra
Tiziano Penati
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Le prede
Iniziamo dalle prede. In assenza di predatori è naturale assumere una crescita logistica oppure la sua semplificazione malthusiana (in caso di risorse
abbondanti)
ẋ = Ax .
La presenza dei predatori porta ad una diminuzione per unità di tempo delle
prede
ẋ = Ax − f (x, y) ,
dove f è una funzione positiva e soddisfa f (x, 0) = 0. Per ogni unità di
tempo, ciascuna preda ha una certa probabilità di incontrare un predatore e,
avvenuto l’incontro, una cert’altra probabilità di essere mangiato da tale predatore. Tale probabilità è naturale pensare che sia proporzionale al numero
dei predatori y(t), quindi avremo
f (x, y) = α(x, y)xy ,
in accordo con la richiesta f (x, 0) = 0. Come prendere la funzione α(x, y), che
rappresenta la probabilità (congiunta) della singola preda d’aver incontrato
e venir mangiato dal singolo predatore? Nel classico modello LK la scelta è
α(x, y) = α0 ,
ovvero tale probabilità è INDIPENDENTE dalla taglia della popolazione.
Questa assunzione non è ragionevole quando la taglia x + y diventa molto
grande. Infatti la probabilità di incontrare un predatore DIPENDE dalla
densità dei predatori all’interno della popolazione. D’altronde, se α0 (x, y)x
prede incontrano un predatore, non potranno essere mangiate tutte nello
stesso breve intervallo di tempo. Quindi mi pare più ragionevole ipotizzare
α(x, y) =
α0
;
1+x+y
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questo implica che la probabilità che una singola preda venga rimossa nell’unità di tempo è proporzionale alla densità dei predatori all’intero di tutta la
popolazione x + y,
α0 y
.
1+x+y
Questo mi sembra in accordo con quello che potremmo dedurre adottando il
punto di vista del singolo predatore. Ogni predatore, infatti, può mangiare
un numero massimo di prede per ogni unità di tempo, quindi le prede effettivamente rimosse dal singolo predatore per unità di tempo devono essere
asintoticamente limitate.
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I predatori
Stiamo trattando il caso di predatori specializzati in questo tipo di prede,
quindi in assenza di questo specifico tipo di prede avremo l’estinzione dei
predatori
ẏ = −By .
L’incontro “favorevole” con una preda (ovvero quello che si conclude con la
traduzione della preda in cibo) si traduce in un effetto positivo sul tasso di
natalità
ẏ = (−B + g(x, y))y ,
dove g è una funzione positiva che soddisfa g(0) = 0. Come prendere g(x, y)?
L’incontro “favorevole” genera un contributo positivo al tasso di cescita in
quando la disponibilità di risorse è certamente necessaria alla procreazione,
quindi alla natalià. Ma non è elementare stabilire la modalità precisa con cui
si traduce questo contributo. La scelta del modello LK è
g(x, y) = β0 x ,
ovvero indipendentemente dalla taglia della popolazione, il contributo è proporzionale al numero di prede stesse. Questo sembra irragionevole per almeno
due ragioni (di fatto legate). La prima è analoga al caso precedente, ovvero
che per ogni unità di tempo esiste comunque un numero massimo di prede
che possono essere tradotte in cibo dal singolo predatore. La seconda, che
non ha senso un tasso di natalità che tende all’infinito in caso di risorse sovrabbondanti. In questo caso, la descrizione adeguata è quella malthusiana,
quindi nel limite di x → ∞ dovremo avere g(x, y) → β0 , ovvero una (non
unica) scelta più ragionevole pare essere
g(x, y) =
β0 x
.
1+x+y
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Questa scelta è adatta per almeno due buone ragioni. La prima, perchè come nel caso delle prede la probabilità che un predatore incontri una preda è
data dalla densità delle prede all’interno della popolazione totale. La seconda, perchè in questo modo l’interazione è simmetrica rispetto allo scambio
(x, y) 7→ (y, x). La probabilità che avvenga un incontro tra una preda ed un
predatore è uguale alla probabilità che avvenga un incontro tra un predatore
ed una preda.
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Correzione al modello LK e suo studio
In conclusione, una possibile correzione al modello potrebbe essere

ẋ = x A − α0 y
1+x+y .
ẏ = −y B − β0 x
1+x+y
3
(1)