1) A

1
MATRICI E SISTEMI
MATRICI E OPERAZIONI
Matrici, somma e prodotto (definizioni, esempi, non commutatività del prodotto, legge di annullamento
del prodotto).
Potenze e inverse di matrici quadrate (definizioni e proprietà). Determinanti.
Esercizio 1 Scrivere per esteso le seguenti matrici:
1) A = (aij ) con aij = 2i + 3j per i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4;
√
2) B = (bij ) con bij = sin iπ + cos jπ + ij 10 con i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4;
1
) con i, j = 1, 2, 3, 4.
3) H = ( i+j−1
La matrice H è detta matrice di Hilbert (qui scritta per l’ordine 4 ed estendibile per l’ordine n
qualsiasi) ed è utilizzata per testare vari algoritmi numerici.
Esercizio 2 Senza scrivere tutta la matrice, scrivere la diagonale principale di:
1) (4i − j 2 ) con i, j = 1, 2, 3;
iπ
)
cos(
)
con i, j = 1, 2, 3, 4.
2) sin( iπ
4
4
Esercizio 3 Siano date le matrici
11
2 1
0 2
A=
, B=
, C=
.
10
−1 1
−2 1
1) Calcolare:
i) 2A − B; ii) 3A + 2B − 4C; iii) − 2A + B + 2C − 2B;
iv) 3B + 2(2A − C) − (A + B + C); v) 2(A − B + C) − 3(−2B + 3C) + (4C − A + 3B).
2) Risolvere, se possibile, le equazioni matriciali:
i) 3X + 2(A − X) + B + 2(C + 2X) = 0; ii) 4A + 2(B + 2X) − 3(C + X + 2A) = 0;
iii) 4(A + B + X) + 4(−A − B + X) − 4(A − B + X) = 0.
Esercizio 4 Sia A una matrice 1 × 7 e B una matrice 7 × 1. Il prodotto AB è una matrice:
(i) 49 × 1 ,
(ii) 7 × 7 ,
(iii) 1 × 1 ,
(iv) 7 × 1 .
 
1
Esercizio 5 Sia A =  2  e sia B = 4 5 6 0 . Calcolare AB.
3
Esercizio 6 Sia A =
11
11
eB=
1 −1
. Calcolare AB − BA.
1 −1
2
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
Esercizio 7 Siano date le matrici:
A=
1 −1 0
−1 1 1




−2 1 −1
0 1
, B =  2 1 1 , C = 1 1 .
1 1 0
0 −1
Calcolare, quando possibile:
i) AC; ii) (BC)A; iii) B + CA; iv) BA; v) B(AT ); vi) 3AT + BC.
Esercizio 8 Siano date le matrici:
A=
1 1
−1 2
, B=
000
111


1 −1 1
, C =  −1 2 3  .
1 3 4
Calcolare:
i) AT , B T , C T ; ii) P = AB, Q = B T AT , P T ; iii) V = BC, W = C T B T , V T , W T .
Esercizio 9 Dire quali delle seguenti matrici sono simmetriche:




414
567
3 −2
L=
, M = 5 6 7, N = 1 4 1,
−2 5
414
567
R=
12
31
Esercizio 10 Date le matrici:

1
3
, S=
5
2
A=
62
26
3
7
2
−9
5
2
−9
6



7
567

−9 
, T = 6 5 6.
6 
765
16
, P =
1x
0 1
,
determinare x ∈ R tale che la matrice D = P T AP sia diagonale.
Esercizio 11 Mostrare che:
1) se Y è un vettore colonna con entrate reali, allora Y T Y = 0 se e solo se Y = 0;
2) dati una matrice quadrata reale A e un vettore colonna reale Z, allora AT AZ = 0 se e
solo se AZ = 0;
3) date una matrice quadrata reale A e una matrice reale X, allora AT AX = 0 se e solo se
AX = 0.
Esercizio 12 Date due matrici A e B che soddisfano le uguaglianze AB = 0 e BA = 0, dire,
giustificando la risposta, se sono vere le seguenti affermazioni:
(i) AB = BA;
(ii) A o B sono la matrice nulla.
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
3
Esercizio 13 Siano A e B due matrici quadrate che commutano (cioè tali che AB = BA).
Mostrare che:
1) AT e B T commutano;
2) Ap e B q commutano per ogni p, q ∈ N;
3) (AB)m = Am B m per ogni m ∈ N;
4) i polinomi 3A2 − 5A + 6I e 2B + 3I commutano;
5) ogni polinomio matriciale in A commuta con ogni polinomio matriciale in B.
Esercizio 14 Verificare che le seguenti coppie di matrici sono una l’inversa dell’altra:
13 5
2 −5
A1 =
, A2 =
;
5 2
−5 13




−1 2 −3
−5 4 −3
B1 =  2 1 0  , B2 =  10 −7 6  ;
4 −2 5
8 −6 5




3 −1 1
−1 −3 −2
C1 =  −2 1 1  , C2 =  −3 −7 −5  ;
1 −1 −2
1 2 1




50 0
1/5 0 0
D1 =  0 1 0  , D2 =  0 1 0  ;
0 0 −2
0 0 −1/2




1/3 −1/3 0
311
1 −1/2  .
T1 =  0 1 1  , T2 =  0
0
0
1/2
002
Calcolare anche l’inversa delle seguenti matrici: 5A1 , B1 C1 , 2C1 B2T .
Esercizio 15 Una matrice quadrata A si dice idempotente se A2 = A.
1) Stabilire se esistono valori del parametro reale k tali che la matrice


1k k
A = 1 0 0
k 0 0
sia idempotente.
2) Date due matrici quadrate A e B di ordine n, verificare che se AB = A e BA = B allora
A è idempotente.
Esercizio 16 Una matrice quadrata A è nilpotente se esiste p ∈ N tale che Ap = 0; il più
piccolo intero p per cui ciò avviene viene detto indice di nilpotenza. Stabilire se la matrice


1 1 3
A= 5 2 6 
−2 −1 −3
è nilpotente e, in caso positivo, calcolarne l’indice di nilpotenza.
4
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
Esercizio 17 Considerate le matrici:




010
110
A = 0 1 1, E = 0 0 1,
000
001
mostrare che:
1) E 3 = 0;
2) A = I + E e A−1 = I − E + E 2 .
Esercizio 18 Mostrare che l’inversa della matrice
cos θ sin θ
R=
− sin θ cos θ
è data da R−1 = RT .
Esercizio 19 Determinare una matrice X tale che
3X + (A + B)2 = 2AB ,
dove
A=
−1 2
3 1
eB=
1 2
3 −1
.
Esercizio 20 Dimostrare che, data una matrice quadrata A, si ha che:
A2 = I ⇔ (I + A)(I − A) = 0.
E’ vero che date due matrici quadrate A e B si ha che
A2 = B 2 ⇔ (A + B)(A − B) = 0 ?
Esercizio 21 Calcolare i determinanti delle seguenti matrici:
A=
12
11




1
1 1 0
2 −1 1
 2
, B =  1 −1 1  , C =  a 1 0  , D = 
 −1
2 1 2
1 0 2
2

dove a è un parametro reale.
Esercizio 22 Data la matrice
si ha che:

−1
 0
A=
 0
0
5
2
0
0
(i) det(A) = 0;
(ii) det(A) = 4;
(iii) det(A) = 1;
(iv) il determinante di A non si può calcolare.
6
−1
1
0

7
0 
,
4 
−2
−1
1
1
1
1
1
0
2

2
0 

−2 
0
5
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
SVOLGIMENTI
Svolgimento Esercizio 1 1) Si ha
e quindi
a11 = 2 · 1 + 3 · 1 = 5,
a21 = 2 · 2 + 3 · 1 = 7,
a31 = 2 · 3 + 3 · 1 = 9,
a12 = 2 · 1 + 3 · 2 = 8,
a22 = 2 · 2 + 3 · 2 = 10,
a32 = 2 · 3 + 3 · 2 = 12,
a13 = 2 · 1 + 3 · 3 = 11,
a23 = 2 · 2 + 3 · 3 = 13,
a33 = 2 · 3 + 3 · 3 = 15,
a14 = 2 · 1 + 3 · 4 = 14,
a24 = 2 · 2 + 3 · 4 = 16,
a34 = 2 · 3 + 3 · 4 = 18


5 8 11 14
A =  7 10 13 16  .
9 12 15 18
2) Si ha
√
√
√
√
b12 = sin π + cos 2π + 2 10√= 1 + 2 10,√
b11 = sin π + cos π + 10
√ = −1 + 10,
√
b21 = sin 2π + cos π + 2√10 = −1 + 2√10, b22 = sin 2π + cos 2π + 2 · 2√10 = 1 + 4√10,
b31 = sin 3π + cos π + 3 10 = −1 + 3 10, b32 = sin 3π + cos 2π + 3 · 2 10 = 1 + 6 10,
√
√
√
√
b13 = sin π + cos 3π + 3 10√= −1 + 3 10,√
b14 = sin π + cos 4π + 4 10√= 1 + 4 10,√
b23 = sin 2π + cos 3π + 2 · 3√10 = −1 + 6√10, b24 = sin 2π + cos 4π + 2 · 4√10 = 1 + 8 √10,
b33 = sin 3π + cos 3π + 3 · 3 10 = −1 + 9 10, b34 = sin 3π + cos 4π + 3 · 4 10 = 1 + 12 10,
e quindi
√
√
√ 
√
−1 + √10 1 + 2√10 −1 + 3√10 1 + 4√10
B =  −1 + 2√10 1 + 4√10 −1 + 6√10 1 + 8 √10  .
−1 + 3 10 1 + 6 10 −1 + 9 10 1 + 12 10

3) Risulta


H=

1
1+1−1
1
2+1−1
1
3+1−1
1
4+1−1
1
1+2−1
1
2+2−1
1
3+2−1
1
4+2−1
1
1+3−1
1
2+3−1
1
3+3−1
1
4+3−1
1
1+4−1
1
2+4−1
1
3+4−1
1
4+4−1


1
  1/2
=
  1/3
1/4
1/2
1/3
1/4
1/5
1/3
1/4
1/5
1/6

1/4
1/5 
.
1/6 
1/7
Svolgimento Esercizio 2 Gli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata
A = (aij ) sono gli elementi aii .
1) Se aij = 4i − j 2 con i, j = 1, 2, 3, allora allora aii = 4i − i2 e quindi
a11 = 4 − 1 = 3,
a22 = 4 · 2 − 22 = 4,
a33 = 4 · 3 − 32 = 3.
jπ
iπ
iπ
2) Se aij = sin iπ
4 cos 4 con i, j = 1, 2, 3, 4, allora aii = sin 4 cos 4 e quindi
π
π
1
cos = ,
4
4
2
3π
1
3π
cos
=− ,
= sin
4
4
2
π
π
cos = 0,
2
2
a11 = sin
a22 = sin
a33
a44 = sin π cos π = 0.
6
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
Svolgimento Esercizio 3 1) Utilizziamo l’algebra delle matrici per semplificare le espressioni,
quando possibile: risulta
0 1
2 1
22
2 1
11
,
=
−
=
−
i) 2A − B = 2
3 −1
−1 1
20
−1 1
10
33
4 2
0 8
7 −3
ii) 3A + 2B − 4C =
+
−
=
,
30
−2 2
−8 4
9 −2
−2 − 2 −2 − 1 + 4
−4 1
iii) −2A + B + 2C − 2B = −2A − B + 2C =
=
,
−2 + 1 − 4 −1 + 2
−5 1
iv) 3B + 2(2A − C) − (A + B + C) =
= 3B + 4A − 2C − A − B − C
= 2B + 3A − 3C
2 1
11
0 2
=2
+3
−3
−1 1
10
−2 1
7 −1
=
,
7 −1
v) 2(A − B + C) − 3(−2B + 3C) + (4C − A + 3B) =
= 2A − 2B + 2C + 6B − 9C + 4C − A + 3B
= A + 7B − 3C
2 1
11
0 2
=
+7
−3
−1 1
10
−2 1
9 2
=
.
12 −2
2) Utilizziamo l’algebra delle matrici per isolare l’incognita X, quando possibile:
i) si ha
3X + 2(A − X) + B + 2(C + 2X) = 0
3X + 2A − 2X + B + 2C + 4X = 0
5X = −2A − B − 2C
1
X = − (2A + B + 2C)
5
e quindi risulta
2
X=−
5
11
10
1
−
5
2 1
−1 1
2
−
5
0 2
−2 1
=
− 54 − 57
3
3
5 −5
.
7
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
ii) si ha
4A + 2(B + 2X) − 3(C + X + 2A) = 0
4A + 2B + 4X − 3C − 3X − 6A = 0
4X = 2A − 2B + 3C
e quindi risulta
1
X=
2
11
10
1
−
2
2 1
−1 1
3
+
4
0 2
−2 1
=
− 21
− 12
3
2
1
4
.
iii) si ha
4(A + B + X) + 4(−A − B + X) − 4(A − B + X) = 0
(A + B + X) + (−A − B + X) − (A − B + X) = 0
A+B+X −A−B+X −A+B−X = 0
B+X −A = 0
e quindi risulta
X=
11
10
−
2 1
−1 1
=
−1 0
2 −1
.
Svolgimento Esercizio 4 Le dimensioni della matrice prodotto, quando esiste, si ottengono
con la regola (m × n)(n × p) = m × p, quindi AB è di tipo 1 × 1.
Svolgimento Esercizio 5 Risulta

 
1·4
1
2 4 5 6 0 = 2·4
3
3·4
1·5
2·5
3·5
1·6
2·6
3·6
 

1·0
4 5 6 0
2 · 0  =  8 10 12 0  .
3·0
12 15 18 0
Svolgimento Esercizio 6 Si ha
11
1 −1
1 · 1 + 1 · 1 1 · (−1) + 1 · (−1)
2 −2
=
=
,
11
1 −1
1 · 1 + 1 · 1 1 · (−1) + 1 · (−1)
2 −2
1 −1
11
1 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + (−1) · 1
00
=
=
1 −1
11
1 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + (−1) · 1
00
e quindi
AB − BA = AB =
2 −2
2 −2
.
Svolgimento Esercizio 7 i) Risulta
AC =
1 −1 0
−1 1 1


0 1
 1 1  = −1 0 .
1 −1
0 −1
8
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
ii) Si ha


 

−2 1 −1
0 1
10
BC =  2 1 1   1 1  =  1 2 
1 1 0
0 −1
12
e quindi




1 −1 0
10 1 −1 0
(BC)A =  1 2 
=  −1 1 2  .
−1 1 1
12
−1 1 2
iii) Risulta

−2
B + CA =  2
1

−2

2
=
1

 
0 1
1 −1
1 −1 0
1 1 +1 1 
−1 1 1
0 −1
1 0

 
 
−3 2 0
−1 1 1
1 −1
1 1  +  0 0 1  =  2 1 2 .
2 0 −1
1 −1 −1
1 0
iv) Il prodotto BA non esiste, in quanto B è di tipo 3 × 3 ed A è di tipo 2 × 3.
v) Si ha


1 −1
AT =  −1 1 
0 1
e quindi

 


−2 1 −1
1 −1
−3 2
B AT =  2 1 1   −1 1  =  1 0  .
1 1 0
0 1
0 0
vi) Risulta

 

 

1 −1
−2 1 −1
0 1
4 −3
3AT + BC = 3  −1 1  +  2 1 1   1 1  =  −2 5  .
0 1
1 1 0
0 −1
1 5
Svolgimento Esercizio 8 i) Si ha
AT =
1 −1
1 2
,


01
BT =  0 1  ,
01
(com’era prevedibile, perché C è simmetrica).


1 −1 1
C T =  −1 2 3  = C
1 3 4
ii) Risulta
1 1
000
111
P = AB =
=
,
−1 2
111
222




01 12
1 −1
Q = B T AT =  0 1 
= 1 2,
1 2
01
12
9
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
e quindi P T = (AB)T = B T AT = Q.
iii) Risulta
e quindi V T


1 −1 1
000


V = BC =
−1 2 3 =
,
148
1 3 4



 
01
1 −1 1
01
W = C T B T = CB T =  −1 2 3   0 1  =  0 4  ,
08
1 3 4
01
T
= (BC)T = C T B T = W e W T = V T = V .
000
111
Svolgimento Esercizio 9 L, N e T sono simmetriche (aij = aji per ogni i, j), mentre non
sono simmetriche M (ad esempio a13 6= a31 ), R (a12 6= a21 ) ed S (a14 6= a41 ).
Svolgimento Esercizio 10 Calcoliamo D = P T AP . Si ha
1 0
62
1x
1 0
6 6x + 2
6
6x + 2
D=
=
=
.
x1
26
0 1
x1
2 2x + 6
6x + 2 6x2 + 4x + 6
Dunque D è diagonale (cioè aij = 0 se i 6= j) se e solo se 6x + 2 = 0, ossia x = −2/6.
Svolgimento Esercizio 11 1) Sia


y1
 
Y =  ...  .
yn
Allora


y1
 
Y T Y = y1 · · · yn  ...  = y12 + ... + yn2
yn
e quindi Y T Y = 0 se e solo se y12 + ... + yn2 = 0, il che, essendo gli yi reali, equivale a y1 = y2 =
... = yn = 0, cioè Y = 0.
2) Se Z = 0, non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo allora Z 6= 0. In questo caso, la relazione
AT AZ = 0 equivale a Z T AT AZ = 0 (ottenuta moltiplicando ambo i membri per Z T 6= 0), ossia
a (AZ)T AZ = 0. Ma AZ è un vettore colonna reale e quindi (AZ)T AZ = 0 significa AZ = 0,
per quanto provato al punto precedente.
3) Se A è di tipo m × m, perché il prodotto AT AX abbia senso, X deve essere di tipo m × n.
Indichiamo con X1 , ..., Xn le colonne di X (ciascuna di tipo m × 1), in modo che


x11 · · · x1n


X =  ... . . . ...  = X1 X2 · · · Xn .
xm1 · · · xmn
Osserviamo ora che, se

a11 · · · a1m


M =  ... . . . ... 
am1 · · · amm

10
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
è una qualsiasi matrice di tipo m × m, le colonne del prodotto



a11 · · · a1m
x11 · · · x1n



M X =  ... . . . ...   ... . . . ... 
sono
cioè
am1 · · · amm
xm1 · · · xmn

a11 x11 + ...a1m xm1 · · · a11 x1n + ...a1m xmn


..
..
..
=

.
.
.
am1 x11 + ...amm xm1 · · · a11 x11 + ...a1m xm1


 

a11 x11 + ...a1m xm1
x11
a11 · · · a1m

 


..
M X1 =  ... . . . ...   ...  = 

.
am1 x11 + ...amm xm1
xm1
am1 · · · amm
......


 

a11 · · · a1m
x1n
a11 x1n + ...a1m xmn


 

..
M Xn =  ... . . . ...   ...  = 
,
.

am1 · · · amm
xmn
a11 x11 + ...a1m xm1
M X = M X1 M X2 · · · M Xn .
Allora, prendendo M = AT A, risulta
AT AX = AT AX1 · · · AT AXn
e quindi AT AX = 0 se e solo se AT AX1 = ... = AT AXn = 0. Ma le Xj sono colonne reali
e quindi, per quanto dimostrato al punto precedente, AT AX1 = ... = AT AXn = 0 significa
AX1 = ... = AXn = 0. Ciò equivale ad AX = 0, in quanto (prendendo questa volta M = A) si
ha
AX = AX1 · · · AXn .
Svolgimento Esercizio 12 La (i) è vera solo se le matrici A e B sono quadrate e della stessa
taglia. Altrimenti, nelle uguaglianze AB = 0 e BA = 0, le matrici nulle hanno taglie diverse e
quindi sono diverse. La (ii) invece è falsa, perché prendendo ad esempio
10
00
A=
6= 0, B =
6= 0
00
01
si ottiene AB = BA = 0.
Svolgimento Esercizio 13 1) Se BA = AB, risulta
AT B T = (BA)T = (AB)T = B T AT .
2) Se p = 0 oppure q = 0, allora una tra Ap e B q è la matrice identica e quindi risulta
Ap B q = B q Ap banalmente. Se p, q ≥ 1, allora
Ap B q = Ap−1 ABB q−1 = Ap−1 BAB q−1 = Ap−2 ABAB q−1 = Ap−2 BAAB q−1
= Ap−2 BA2 B q−1 = ... = BAp B q−1
11
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
e procedendo nello stesso modo si può cambiare posto a tutti i fattori B ad uno ad uno, fino ad
ottenere Ap B q = B q Ap .
3) Se m = 1, allora risulta (AB)m = Am B m banalmente. Per m ≥ 2, potremmo ragionare in
modo simile al punto (2), esplicitando la potenza (AB)m , ma conviene procedere per induzione:
supponiamo (AB)m−1 = Am−1 B m−1 e deduciamo (AB)m = Am B m . Si ha
(AB)m = (AB)m−1 AB = Am−1 B m−1 AB = Am−1 AB m−1 B = Am B m
dove si è usata l’uguaglianza B m−1 A = AB m−1 dimostrata al punto (2).
4) Applicando ripetutamente la distributività della somma rispetto al prodotto, si ottiene
(3A2 − 5A + 6I)(2B + 3I) = (3A2 − 5A + 6I)2B + (3A2 − 5A + 6I)3I
= 6A2 B − 10AB + 12B + 9A2 − 15A + 18I
e
(2B + 3I)(3A2 − 5A + 6I) = 2B(3A2 − 5A + 6I) + 3I(3A2 − 5A + 6I)
= 6BA2 − 10BA + 12B + 9A2 − 15A + 18I.
Poiché A2 B = BA2 per quanto dimostrato al punto (2), i secondi membri risultano uguali e
quindi lo stesso vale per i primi.
5) Si ragiona come al punto (4): si ottiene

#
!
" n
! m
n
m X
m
n
X
X
X
X
X
j
i
j
i 
ai bj Ai B j
ai A bj B =
bj B
=
ai A
i=0
e
j=0
j=0
i=0
j=0 i=0





!
m
n
n
m
m
m X
X
X
X
X
X


bj B j 
ai Ai =
bj B j  ai Ai  =
bj ai B j Ai ,
j=0
i=0
i=0
j=0
j=0 j=0
dove ai bj = bj ai perché il prodotto di numeri reale è commutativo e Ai B j = B j Ai per quanto
dimostrato al punto (2).
Svolgimento Esercizio 14 Per verificare che due matrici sono l’una l’inversa dell’altra è
sufficiente controllare che il loro prodotto (in un ordine qualsiasi) dia la matrice identica1 ; ad
esempio
10
13 · 2 + 5 (−5) 13 (−5) + 5 · 13
2 −5
13 5
.
=
=
A1 A2 =
01
5 · 2 + 2 (−5) 5 (−5) + 2 · 13
−5 13
5 2
Lasciamo al lettore il calcolo degli altri prodotti.
L’inversa di 5A1 è 15 A1−1 = 51 A2 (in generale: (λA)−1 = λ−1 A−1 per ogni λ 6= 0 e A invertibile).
L’inversa di B1 C1 è (B1 C1 )−1 = B1−1 C1−1 (l’inversa del prodotto di matrici invertibili è il
prodotto delle inverse in ordine inverso) e quindi, poiché B1−1 = B2 e C1−1 = C2 , risulta
1
infatti, AB = I implica det A det B = 1 e quindi entrambe A e B risultano invertibili, per cui da AB = I
segue A = B −1 moltiplicando ambo i membri a destra per B −1
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
12
(B1 C1 )−1 = B2 C2 .
−1 −1
T
−1
−1
C1 = 12 B2−1 C1−1 (in generale: AT
=
= 21 B2T
L’inversa di 2C1 B2T è 2C1 B2T
−1
T
−1
−1
−1
T
=
A
per ogni A invertibile) e quindi, poiché B2 = B1 e C1 = C2 , risulta 2C1 B2
1 T
2 B1 C2 .
Svolgimento Esercizio 15 1) Si ha


 

1 kk
1kk
1 + k + k2 k k
A2 =  1 0 0   1 0 0  = 
1
k k ,
k 0 0
k 0 0
k
k2 k2
quindi A è idempotente se e solo se

 

1 + k + k2 k k
1kk

1
k k  = 1 0 0,
k
k2 k2
k 0 0
ossia

 1 + k + k2 = 1
k=0
,
 2
k =0
che è soddisfatto per k = 0.
2) Scrivendo l’uguaglianza AB = A come A = AB e moltiplicando a destra per A si ottiene
A2 = ABA. Sostituendo ora BA = B prima e AB = A poi, si conclude
A2 = ABA = AB = A.
Svolgimento Esercizio 16 Si ha


 

1 1 3
1 1 3
0 0 0
A2 =  5 2 6   5 2 6  =  3 3 9 
−2 −1 −3
−2 −1 −3
−1 −1 −3
e


 
0 0 0
1 1 3
000
A3 = A2 A =  3 3 9   5 2 6  =  0 0 0  .
000
−1 −1 −3
−2 −1 −3

Dunque A ha indice di nilpotenza p = 3.
Svolgimento Esercizio 17 1) Si ha

 


001
010
010
E2 =  0 0 1   0 0 1  =  0 0 0 
000
000
000
e quindi


 
000
001
010
E3 = E2E =  0 0 0   0 0 1  =  0 0 0  .
000
000
000

13
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
2) Si ha

 
 

100
010
110
I +E = 0 1 0+0 0 1 = 0 1 1 = A
001
000
001
e quindi
I − E + E 2 A = I − E + E 2 (I + E) = I − E + E 2 + I − E + E 2 E
= I − E + E2 + E − E2 + E3 = I + E3
= I.
Ciò prova che A−1 = I − E + E 2 , in quanto due matrici sono l’una l’inversa dell’altra se e
solo se il loro prodotto (in un ordine qualsiasi) è la matrice identica (v. nota allo svolgimento
dell’Esercizio 14).
Svolgimento Esercizio 18 Si ha
R =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
T
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
e quindi
T
R R=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
=
cos2 θ + sin2 θ
0
0
cos2 θ + sin2 θ
=
10
01
.
Ciò prova che R−1 = RT , in quanto due matrici sono l’una l’inversa dell’altra se e solo se il loro
prodotto (in un ordine qualsiasi) è la matrice identica (v. nota allo svolgimento dell’Esercizio
14).
Svolgimento Esercizio 19 L’equazione 3X + (A + B)2 = 2AB equivale a
3X = 2AB − (A + B)2
(attenzione a non svolgere il quadrato (A + B)2 con l’usuale formula valida nel campo dei numeri
reali: si ha (A + B)2 = A2 + BA + AB + B 2 , che è diverso da A2 + 2AB + B 2 a meno che A e
B commutino), ossia
2
1 2
−1 2
1 2
3X = 2
−
+
3 −1
3 1
3 −1
2
5 −4
04
5 −4
24 0
−14 −8
=2
−
=2
−
=
6 5
60
6 5
0 24
12 −14
−1 2
3 1
e pertanto
1
X=
3
−14 −8
12 −14
=
−14/3 −8/3
4
−14/3
.
Svolgimento Esercizio 20 Distribuendo il prodotto rispetto alla somma, si ha
(I + A) (I − A) = (I + A) I − (I + A) A = I + A − A − A2 = I − A2
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
14
e quindi (I + A) (I − A) = 0 equivale a I − A2 = 0, cioè I = A2 .
Procedendo come sopra, si ottiene
(A + B) (A − B) = (A + B) A − (A + B) B = A2 + BA − AB − B 2
e quindi risulta (A + B) (A − B) = 0 se e solo se
A2 + BA − AB = B 2 ,
che non equivale ad A2 = B 2 , a meno che A e B commutino. La risposta è dunque negativa.
Svolgimento Esercizio 21 Si ha
1 2
= a11 a22 − a12 a21 = 1 − 2 = −1.
det A = 1 1
Calcoliamo il determinante di B sviluppando rispetto alla prima riga (che contiene uno 0):
1 1 0
−1 1 1 1
−1 1 1+1
1+2
1+3
det B = 1 −1 1 = (−1)
a11 a12 a13 + (−1)
+ (−1)
1
2
2
2
1
2
2 1 2
−1 1 1 1 = (−2 − 1) − (2 − 2) = −3.
=
−
1 2 2 2
Calcoliamo il determinante di C sviluppando rispetto alla terza colonna (che contiene uno 0):
2 −1 1 a 1
2 −1 2 −1 1+3
2+3
3+3
det C = a 1 0 = (−1)
a13 + (−1)
a23 + (−1)
a23 1 0
1 0 a 1 1 0 2
a 1
2 −1 = −1 + 2 (2 + a) = 3 + 2a.
=
+ 2
1 0
a 1 Iniziamo il calcolo del determinante di D sviluppando rispetto alla quarta colonna (che contiene
due elementi nulli):
1 −1 1 2 2 1 1
1 −1 1 2 1 1 0 = (−1)1+4 a14 −1 1 0 + (−1)3+4 a34 2 1 1 det D = −1 1 0 −2 2 1 2
2 1 2
2 1 2 0 2 1 1
1 −1 1 = −2 −1 1 0 + 2 2 1 1 .
2 1 2
2 1 2
A questo punto potremmo procedere sviluppando direttamente i due determinanti 3×3 ottenuti.
D’altra parte, un determinante non cambia operando trasformazioni elementari del primo tipo
(cioè sommando ad una riga o colonna un multiplo non nullo di un’altra), quindi semplifichiamo
il loro calcolo facendo comparire un maggior numero di zeri: si ha
2 1 1
2 1 1
−1 1 0 R3 →R=3 −2R1 −1 1 0 = (−1)1+3 −1 1 = 1 + 2 = 3
−2 −1 −2 −1 0 2 1 2
15
MATRICI E SISTEMI - Matrici e operazioni
e
1 −1 1 −R
2 1 1 R2 →R
=2 1
2 1 2
1 −1 1 1 2 0 R3 →R=3 −2R1
2 1 2
Dunque det D = −2 (3) + 2 (3) = 0.
1 −1 1 1 2 0 = (−1)1+3 1 2 = 3.
0 3
0 3 0
Svolgimento Esercizio 22 Ovviamente l’affermazione (iv) è falsa, perché il determinante di
una matrice esiste se e solo se la matrice è quadrata. In questo caso, la matrice A è triangolare
superiore e perciò, siccome il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) è
il prodotto degli elementi della sua diagonale, risulta
det A = a11 a22 a33 a44 = (−1) (2) (1) (−2) = 4.