Il sistema GPS - Laboratorio di Geomatica

Le combinazioni di osservazioni: il razionale
Eliminare termini incogniti o termini mal modellizzabili
che generano errori nella scrittura delle equazioni di
osservazione
Ciò viene ottenuto mediante:
combinazione di osservazioni dallo stesso ricevitore allo
stesso satellite, su 2 frequenze.
combinazioni di osservazioni sulla stessa frequenza,
da 2 ricevitori a 1 o 2 satelliti,
Le combinazioni su più osservazioni da singolo
ricevitore a singolo satellite, su più frequenze
Si ricordi che per una singola epoca, il ricevitore può
effettuare per ogni satellite in vista,
4 osservazioni contemporanee:
2 osservazioni di pseudorange
PRS (t ) sui codici C/A e P(Y),
2 osservazioni di fase LSR (t ) sulle
portanti L1 e L2.
Da queste si possono costruire opportune combinazioni
lineari che presentino vantaggi rispetto alle osservazioni
originarie.
Le combinazioni “classiche” sulle portanti
In generale si ottengono mediante la
Lα,β S (t ) = αL1SR (t ) + βL2 SR (t )
R
ove α e β sono opportuni coefficienti,
scelti in base allo scopo con cui si è costruita la
combinazione
Le combinazioni principali sono:
Wide Lane
Ionospheric free
La combinazione Wide Lane:
α=
f L1
f L1 − f L 2
;β= −
f L2
f L1 − f L 2
ha elevata lunghezza d’onda (≅86 cm),
quindi è facilmente stimabile la sua ambiguità.
ha rumore di osservazione superiore alle osservazioni
originarie su L1 e L2
La combinazione Ionospheric Free
La ionosfera è dispersiva quindi il disturbo ionosferico è
diverso su segnali di frequenza diversa: effettuando
osservazioni da un ricevitore a un satellite su entrambe le
portanti (L1 e L2) è possibile costruire una loro
combinazione (detta L3 o Ionosphere Free)
L3 SR (t ) = αL1SR (t ) + βL2 SR (t )
α=
f L21
f L21
−
f L22
; β =−
ove
f L22
f L21
−
f L22
(nota: α + β = 1)
tale osservazione è completamente priva di
disturbo ionosferico; si parte dalle
L1SR (t ) = ρ SR (t ) + c ( dt R (t ) − dt S (t )) − I1SR (t ) + TRS (t ) + λ1 N RS 1 (t )
L2 SR (t ) = ρ SR (t ) + c ( dt R (t ) − dt S (t )) − I 2 SR (t ) + TRS (t ) + λ 2 N RS 2 (t )
ove
TEC (t )
TEC (t )
S
I1SR (t ) = A
I
t
=
A
;
(
)
2R
f L21
f L22
Avremo quindi per L3
L3 SR (t ) = (α + β)(ρ SR (t ) + c ( dt R (t ) − dt S (t )) + TRS (t ))
+ αλ1 N RS 1 (t ) + βλ 2 N RS 2 (t ) − αI1SR (t ) − β I 2 SR (t )
αI1SR (t ) + β I 2 SR (t ) = αA
= A ⋅ TEC(t ) (
= A ⋅ TEC (t )(
ma
TEC (t )
f L21
+ βA
f L21
( f L21 − f L22 ) f L21
1
( f L21 − f L22 )
−
−
TEC (t )
f L22
f L22
( f L21 − f L22 ) f L22
1
( f L21 − f L22 )
)
)=0
Quindi
L3SR (t ) = ρ SR (t ) + c ( dt R (t ) − dt S (t )) + TRS (t )
+ αλ1N RS1 (t ) + βλ 2 N RS 2 (t )
Utilizzando la L3 come osservabile, al posto di L1 o L2,
non vi è più necessità di modellizzare il disturbo
ionosferico poiché questo non compare nell’equazione di
osservazione. Vi sono però anche svantaggi:
• I ricevitori a doppia frequenza sono molto più cari dei
ricevitori a singola frequenza;
• il noise di misura su L3 è maggiore di quello su L1 o L2.
• L’ambiguità iniziale della L3, essendo combinazione
non intera delle ambiguità iniziali originarie, non è
intera.
Nel seguito si analizzeranno le equazioni di osservazione
di fase indicando genericamente l’osservabile con il
simbolo L; resta inteso che quanto svilupperemo può
essere applicato indifferentemente a L1, L2 e, con qualche
complessità aggiuntiva (qui non analizzata) a L3.
Differenze singole (DS)
Consideriamo due ricevitori A e B che abbiano effettuato
osservazioni ad un satellite S alla medesima epoca t:
la differenza singola è la differenza delle osservazioni
effettuate da A e B.
Sui codici si ottiene
S
PAB
(t ) = PAS (t ) − PBS (t )
S
S
S
PAB
(t ) = ρ SAB (t ) + I AB
(t ) + TAB
(t ) + c(dt A (t ) − dt B (t ))
Sulle fasi
LSAB (t ) = LSA (t ) − LSB (t )
S
LSAB (t ) = ρ SAB (t ) + λN AB
(t ) +
S
S
− I AB
(t ) + TAB
(t ) + c( dt A (t ) − dt B (t ))
ove, per ogni quantità x, si è introdotta la notazione
S
x AB
= x AS − xBS
La differenza singola costituisce una nuova osservazione:
in essa non compaiono gli orologi dei satelliti.
Differenze doppie (DD)
Sono date dalla differenza su
due differenze singole contemporanee
riferite a due satelliti I e J diversi
Sui codici
IJ
I
J
PAB
(t ) = PAB
(t ) − PAB
(t )
IJ
IJ
IJ
PAB
(t ) = ρ IJ
AB (t ) + I AB (t ) + TAB (t )
Sulle fasi
I
J
LIJ
AB (t ) = L AB (t ) − L AB (t )
IJ
IJ
IJ
IJ
LIJ
AB (t ) = ρ AB (t ) + λN AB (t ) − I AB (t ) + TAB (t )
ove, per ogni quantità x, si è introdotta la notazione
IJ
I
J
x AB
= x AB
− x AB
= x AI − x AJ − xBI + xBJ
In questa nuova osservazione, ottenuta da quattro
osservazioni di fase, compaiono solo le incognite
geometriche (coordinate di A e B)
e, nel caso delle fasi, l’ambiguità di differenza doppia.
Si ricorda che se le differenze doppie sono costruite
dall’osservabile L3 in esse non compare il disturbo
ionosferico.
La linearizzazione
delle DS (e delle DD) rispetto alle
coordinate dei ricevitori
Si consideri il contenuto geometrico della generica
osservazione (di fase o codice) dal ricevitore R al
satellite S. Si ponga cioè
YRS = PRS − c(dt R − dt S ) − TRS − I RS = ρ SR
oppure
YRS = LSR − c(dt R − dt S ) − TRS + I RS − λN RS = ρ SR
per i codici e le fasi rispettivamente; si linearizzi YRS
rispetto alle coordinate approssimate del ricevitore R.
~ S + ~e S ⋅ δX
YRS = ρ
R
R
R
ove, con la consueta notazione:
~
ρ RS è la distanza approssimata fra satellite e ricevitore;
~e S è il versore (approssimato) della direzione della
R
congiungente il ricevitore R con il satellite S;
δX R è il vettore-correzione relativo alla
posizione approssimata del ricevitore.
Si considerino due equazioni in Y, relative al medesimo
satellite S ma a 2 ricevitori diversi (A e B):
~ S + ~e S ⋅ δX
YAS = ρ
A
A
A
~ S + ~e S ⋅ δX
YBS = ρ
B
B
B
e se ne faccia la differenza singola:
S
~ S + ~e S ⋅ δX − ~e S ⋅ δX
YAB
=ρ
AB
A
B
B
A
La precedente può essere scritta come
S
~ S + ~e S ⋅ δX − ~e S ⋅ δX + ~e S ⋅ δX − ~e S ⋅ δX
YAB
=ρ
AB
A
B
B
B
B
A
A
A
ovvero
S
~ S − ~e S ⋅ ( δX − δX ) + ( ~e S − ~e S ) ⋅ δX
YAB
=ρ
AB
B
A
B
B
A
A
Poiché le distanze da A e B al satellite sono molto
simili si può anche scrivere
~e S
A
− ~eBS
~
~
~
~
~
X S − X A X S − X B X B − X A ∆X AB
=
−
≅
=
S
S
S
~
~
ρA
ρB
ρ
ρS
1 ~S ~S
(ρ A + ρB ) ; ∆X AB = X B − X A è
2
la base fra i due ricevitori. L’EO di DS diviene dunque
ove si è posto ρ S =
1
~ S − ~e S ⋅ δ( X − X ) +
YAB
≅ρ
AB
B
B
A
~
∆X AB
ρ
S
⋅ δX A
Il termine che moltiplica δX A è decisamente più
piccolo degli altri poiché è dato dal rapporto fra
lunghezza della base e distanza del satellite: in
un’analisi quantitativa può dunque essere trascurato
ottenendo la
S
~ S − ~e S ⋅ δ( X − X )
YAB
≅ρ
B
B
AB
A
Per la DD ai satelliti I e J si ottiene
12
~ IJ + (~e J − ~e I ) ⋅ δ( X − X )
δYAB
≅ρ
B
B
B
AB
A
Pertanto le osservazioni di DS e DD dipendono
significativamente solo dal parametro
XB − XA = ∆X AB , ovvero dalla base fra i due
ricevitori; non dipendono invece dalle coordinate
assolute dei due ricevitori, rispetto alle quali
presentano deficienza di rango uguale a 3: il caso è
analogo a quello delle osservazioni di dislivello
rispetto alle quote.
Quindi
E’ impossibile utilizzare le DD per stimare
separatamente le coordinate di A e B. Per utilizzare le
DD si devono conoscere le coordinate di uno dei due
ricevitori (definito punto indietro): si ha quindi
δX A ≡ 0 per definizione. Le EO vengono linearizzate
rispetto alla base ∆X AB , il che porta alla stima delle
coordinate del secondo ricevitore (punto avanti).
In particolare si ha
Caso dei codici
IJ
IJ
~
~e JI (t ) ⋅ δ( X − X ) + T IJ (t ) + I IJ (t ) + ν IJ (t )
PAB
(
t
)
=
ρ
(
t
)
+
AB
B
B
A
AB
AB
AB
O
ovvero
IJ
IJ
IJ
~ JI
PAB
O = b AB (t ) + eB (t ) ⋅ δ∆X AB + ν AB (t )
ove
IJ
~ IJ (t ) + T IJ (t ) + I IJ (t )
bAB
(t ) = ρ
AB
AB
AB
~e JI (t ) = ~e J (t ) − ~e I (t )
B
B
B
rappresentano termini noti;
le componenti di δ∆XAB, ovvero
~
~
~
(∆X AB − ∆X AB ), (∆YAB − ∆YAB ), (∆Z AB − ∆Z AB ) ,
rappresentano le incognite.
Caso delle fasi: analogamente si ottiene
IJ
IJ
IJ
~ JI
LIJ
AB O (t ) = b AB (t ) + eB (t ) ⋅ δ∆X AB + λN AB (t ) + ν AB (t )
ove
IJ
~ IJ (t ) + T IJ (t ) − I IJ (t )
bAB
(t ) = ρ
AB
AB
AB
IJ
in questo caso le incognite sono la base e N AB
(t )
La stima mediante le differenze doppie:
soluzione in singola epoca
La configurazione 2 stazioni, 4 satelliti, 1 epoca permette
la costruzione di 3 differenze doppie indipendenti: ad
esempio
12 13
14
13
14
PAB
; PAB ; PAB
o L12
AB ; L AB ; L AB
In generale, nel caso dei codici, con m satelliti si può
costruire il sistema
PO (t ) = P (t ) + ν (t )
P (t ) = E B (t )δ∆X AB + b(t ) + ν (t )
ove
12
⎡e~B21 (t )
⎤
⎡ PAB
O (t )
⎢ 31X
⎥
⎢ 13
PAB O (t ) ⎥
⎢e~B X (t )
⎢
PO (t ) =
, E B (t ) = ⎢
⎥
⎢
...
...
( m −1)×1
⎥ ( m −1)×3 ⎢ m1
⎢ 1m
⎢⎣e~B X (t )
⎢⎣ PAB O (t )⎥⎦
e~B21Z (t )⎤
⎥
~ 31 (t )⎥
e
BY
BZ
,
...
... ⎥
⎥
m1
m1
~
~
eBY (t ) eBZ (t )⎥⎦
e~B21
(t )
Y
e~ 31 (t )
⎡ν12 (t )⎤
⎤
⎡b12
AB (t )
AB
⎥
⎢ 13
⎢ 13 ⎥
bAB (t )⎥
ν AB (t )⎥
⎢
⎢
b(t ) =
, ν (t ) =
⎥
⎢
...
( m −1)×1
( m −1)×1 ⎢ ... ⎥
⎢ 15 ⎥
⎢ 15 ⎥
⎢⎣ν AB (t )⎥⎦
⎢⎣bAB (t )⎥⎦
ovvero un sistema risolvibile rispetto alle componenti
della base mediante MQ, allorché m≥ 4.
Nel caso delle fasi un’epoca soltanto non basta, poiché
ogni satellite aggiuntivo introduce un’incognita di
ambiguità aggiuntiva.
Soluzione su più epoche
Sia stato fatto uno stazionamento statico su n epoche. Per
semplicità si ipotizza che gli m satelliti osservati siano
comuni a tutte le epoche. Siano PO(ti) e b(ti) il vettore
contenente le osservazioni di codice e il termine noto per
una singola epoca (dim[PO(ti)]= dim[b(ti)] = [ m × 1 ]); si
può scrivere il sistema risolvibile rispetto alle componenti
della base.
⎡ PO (t1 ) ⎤
⎢P (t ) ⎥
PO = ⎢ O 2 ⎥ = P + ν
⎢ ... ⎥
⎢
⎥
⎣PO (tn )⎦
⎡ E B (t1 ) ⎤
⎡ b(t1 ) ⎤
⎢E (t ) ⎥
⎢b(t ) ⎥
2
B
⎥δ∆X AB + ⎢ 2 ⎥
P=⎢
⎢ ... ⎥
⎢ ... ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣E B (tn )⎦
⎣b(tn )⎦
Nota: nel posizionamento statico non è necessario che
siano in vista almeno 4 satelliti per ogni epoca; è solo
necessario che il numero di osservazioni ([(m-1)×n])
superi il numero di incognite ([3]).
Nel caso delle fasi si ipotizzi che non vi siano stati CS,
kl
kl
ovvero che N AB
(ti ) = N AB
(t1 ) per ogni epoca i e ogni
coppia di satelliti k e l. In questo caso si ha
⎡ LO (t1 ) ⎤
⎢L (t ) ⎥
LO = ⎢ O 2 ⎥ = L + ν
⎢ ... ⎥
⎢
⎥
⎣LO (tn )⎦
⎡ E B (t1 ) λI ⎤
⎡ b(t1 ) ⎤
⎢E (t ) λI ⎥ ⎡δ∆X ⎤ ⎢b(t ) ⎥
AB
⎥⎢
+⎢ 2 ⎥
L=⎢ B 2
⎥
... ⎥ ⎣ N AB ⎦ ⎢ ... ⎥
⎢ ...
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣E B (tn ) λI ⎦
⎣b(tn )⎦
ove I è la matrice identità [(m-1)×(m-1)],
N AB
⎤
⎡ N 12
AB (t1 )
⎥
⎢ 13
N
t
(
)
= ⎢ AB 1 ⎥ .
⎢ ... ⎥
⎥
⎢ 1m
⎣⎢ N AB (t1 )⎥⎦
Il sistema è risolvibile quando [(m-1)×n] è maggiore di
[m-1+3]. Ad esempio con una configurazione 2 Ricevitori,
4 Satelliti, 2 Epoche (senza CS), è possibile costruire 3+3
DD; il problema prevede la stima delle 3 componenti della
base e delle 3 ambiguità di DD, ovvero è già risolvibile.
Con una configurazione 2 Ricevitori, 5 Satelliti, 240
Epoche (1 ora, 1obs/15 sec, senza CS) si hanno 960
osservazioni per stimare 7 incognite.
La propagazione del rumore di misura:
la matrice di covarianza delle
osservazioni di differenza doppia
Siano Y Ai , Y Bi , con 1 ≤ i < m le 2m osservazioni
contemporanee a m satelliti da 2 ricevitori A e B
(indifferentemente codici o fasi).
Si adotta in genere l’ipotesi di osservazioni scorrelate e di
uguale precisione, ovvero
CYY = σ 02 I
con σ 02 ≅ 1m 2 per le osservazioni di codice e
σ 02 ≅ 1mm 2 per le osservazioni di fase.
Si vuole calcolare la propagazione
della matrice di covarianza alle DD derivate dalle
osservazioni originali.
Consideriamo come esempio il caso di
2 ricevitori e 5 satelliti:
i
Y AB
= Y Ai − Y Bi
ovvero
1 ⎤
⎡Y AB
⎡1
⎢ 2 ⎥ ⎢
⎢Y AB ⎥ = ⎢ 0
⎢ ... ⎥ ⎢...
⎢ 5 ⎥ ⎢
⎢⎣Y AB ⎥⎦ ⎣ 0
0
1
...
0
⎡Y A1 ⎤
⎢ 2⎥
⎢Y A ⎥
... 0 − 1 0 ... 0 ⎤ ⎢ ... ⎥
⎢ 5⎥
⎥
... 0 0 − 1 ... 0 ⎢Y A ⎥
⎥ 1
... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢Y B ⎥
⎥⎢ 2 ⎥
... 1 0 0 ... − 1⎦ ⎢Y B ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣Y 5 ⎥⎦
B
i
YAB
= SY
Per la legge di propagazione della covarianza si ha
C
i Yi
Y AB
AB
= SCYY ST
ovvero
C
i Yi
Y AB
AB
⎡2
⎢
2 ⎢0
=σ0
⎢...
⎢
⎣0
0
2
...
0
...
...
...
...
0⎤
0⎥
⎥ = 2σ 02 I
...⎥
⎥
2⎦
Quindi le DS rimangono scorrelate e
sono caratterizzate da varianza doppia rispetto alle
osservazioni iniziali.
Costruiamo ora le DD
12 ⎤
⎡Y AB
⎢ 13 ⎥
⎢Y AB ⎥
⎢Y 14 ⎥
⎢ AB
15 ⎥
⎢⎣Y AB ⎥⎦
⎡1
⎢1
=⎢
⎢1
⎢
⎣1
1 ⎤
⎡Y AB
−1 0 0 0 ⎤⎢ 2 ⎥
Y ⎥
0 − 1 0 0 ⎥ ⎢ AB
⎥ ⎢Y 3 ⎥
0 0 − 1 0 ⎥ ⎢ AB
4 ⎥
⎥ Y ⎥
0 0 0 − 1⎦ ⎢ AB
⎢Y 5 ⎥
⎣ AB ⎦
i
Y1AB
= DY
Si ha
C
1i Y 1i
Y AB
AB
= DC
DT
i
i
Y ABY AB
ovvero
C
1i Y 1i
Y AB
AB
⎡4
⎢
2 ⎢2
= σ0
⎢2
⎢
⎣2
2
4
2
2
2
2
4
2
2⎤
⎡ 1 0.5 0.5 0.5⎤
⎢0.5 1 0.5 0.5⎥
2⎥
2
⎥
⎥ = 4σ 0 ⎢
2⎥
⎢0.5 0.5 1 0.5⎥
⎢
⎥
⎥
4⎦
0
.
5
0
.
5
0
.
5
1
⎦
⎣
Quindi le DD sono correlate epoca per epoca e sono
caratterizzate da varianza quadrupla rispetto alle
osservazioni iniziali: gli ordini di grandezza dei σ sono
quindi del metro per le DD di codice e di 2-3 mm per le
DD di fase.
La riduzione degli effetti degli errori di modello:
efemeridi, ionosfera e troposfera
Gli errori di modello (errori nelle efemeridi, errori nella
modellizzazione dell’atmosfera) cui sono soggette le
singole osservazioni che concorrono a ciascuna DD sono
quelli già visti; però la costruzione e l’utilizzo di DD per il
posizionamento relativo comporta una riduzione degli
effetti di tali errori sulla stima delle incognite.
Infatti si consideri il generico errore di modello
nell’equazione di osservazione da un ricevitore a un
satellite, già visto nel caso del posizionamento assoluto
δbRS (t ) = δTRS (t ) + δI RS (t ) − ~eRS (t ) ⋅ δX S (t ) − cδt S (t )
Nel costruire la DD ai satelliti I e J si ha il corrispondente
errore di modello
IJ
IJ
− (e IA − ~eBI ) ⋅ δX I − (e JA − ~eBJ ) ⋅ δX J + δTAB
+ δI AB
si noti che non compare più il termine dovuto all’offset
d’orologio dei satelliti; al termine precedente si deve però
aggiungere l’effetto di un ipotetico errore nelle coordinate
imposte al punto indietro che, per quanto visto sopra, è
dato dalla
(
~
∆X AB
ρ
I
−
~
∆X AB
ρ
J
) ⋅ δX A
ottenendo quindi
IJ
δbAB
≅(
~
∆X AB
ρ
I
−
~
∆X AB
ρ
J
) ⋅ δX A
− (e IA − ~eBI ) ⋅ δX I − (e JA − ~eBJ ) ⋅ δX J
IJ
IJ
+ δTAB
+ δI AB
tale errore (detto errore residuo di modello) è dato da
differenza di quantità incognite ma molto simili fra loro.
Gli errori residui di modello introducono effetti di scala e
distorsione sulla stima della base fra i 2 ricevitori
coinvolti: si esprime l’errore in termini di parte per
milione (ppm) della lunghezza della base fra punto
indietro e punto avanti.
Definizioni di effetto di scala e deformazione della base
Effetto di scala: una contrazione o allungamento
della stima della lunghezza della base.
Deformazione della base:
una distorsione della stima della base,
simile a una rotazione.
Errore residuo dovuto agli errori nelle coordinate del
punto indietro e nelle efemeridi dei satelliti
Per ogni satellite coinvolto nella DD il termine di errore di
modello dovuto all’errore nelle coordinate imposte al
punto indietro è dato dalla
δb ≅
~
∆X AB
ρ
S
⋅ δX A ≅
∆X AB
ρ
S
δX A
ove
∆XAB: lunghezza base
ρ S : distanza media del satellite (≅ 20000 Km)
Analogo contributo hanno gli errori nelle efemeridi.
Infatti, per ciascuno dei 2 satelliti di una DD si può
scrivere
δX S ⋅ (e SA − ~eBS ) = δX S ⋅ (
≅
δX S
ρ
S
X A − X SE
ρ SAE
−
~
X B − X SE
~ SE
ρ
B
)
⋅ (X A − X B )
ovvero:
δb ≅ ∆X
δX S
ρS
L’errore residuo causa sia un effetto di scala sia una
deformazione nella stima, con i seguenti ordini di
grandezza:
δX A , δX S
(m)
0.1-0.2
0.1-0.2
0.1-0.2
1.0-2.0
1.0-2.0
1.0-2.0
10.0-20.0
10.0-20.0
10.0-20.0
Lunghezza base
(Km)
Errore di modello
(cm)
10
100
1000
10
100
1000
10
100
1000
0.005 - 0.010
0.050 - 0.100
0.500 - 1.000
0.050 - 0.100
0.500 - 1.000
5.000 - 10.000
0.500 - 1.000
5.000 - 10.000
50.000 - 100.000
Nota per le coordinate del punto indietro: il secondo blocco
corrisponde tipicamente agli errori finali di un posizionamento
assoluto mediante stazionamento statico abbastanza lungo; il
terzo blocco corrisponde agli errori di un posizionamento
assoluto su un’epoca.
Nota per i satelliti: il primo blocco di tre righe corrisponde agli
errori nelle efemeridi precise; il secondo blocco agli errori
presenti nelle efemeridi trasmesse.
Quindi, per una stima corretta di una base è sempre
opportuno utilizzare come punto indietro un caposaldo la
cui posizione sia già nota almeno con accuratezza
decimetrica. In genere non è sufficiente la media delle
stime di PR effettuate durante la sessione; il caposaldo di
riferimento deve essere un punto già monografato, ovvero
appartenente a una rete di riferimento (IGS, IGM95, …)
oppure già stimato rispetto a una rete di riferimento.
Nel caso di elaborazione di misure di fase, per basi
lunghe, o in rilievi per i quali si desidera elevata
accuratezza, l’utilizzo di efemeridi trasmesse può causare
errori significativi: è necessario utilizzare le efemeridi
precise. Nel caso di elaborazioni sui codici, o per basi
corte ove non sia richiesta la massima accuratezza, si
possono utilizzare le efemeridi trasmesse.
Disturbo ionosferico
Non ha alcun effetto nell’elaborazione dell’osservabile L3
poiché non compare nell’equazione di osservazione.
Nel caso di L1 o L2 si è verificato empiricamente che
l’errore residuo comporta tipicamente un effetto di scala
sulla stima della base; questo può variare da 0.5 ppm a 1.5
ppm (0.5-1.5 mm/Km) in funzione delle condizioni della
ionosfera.
Lunghezza base ∆X
(Km)
1
10
100
1000
ErrMedio
(cm)
0.05
0.50
5.00
50.00
ErrMax
(cm)
0.15
1.50
15.00
150.00
DD di codice e/o basi inferiori a 10 Km:
l’effetto residuo comporta in generale errori trascurabili
nella stima della base.
DD di fase su basi più lunghe o
elaborazioni con requisiti di alta precisione:
l’effetto residuo può influire significativamente
sull’accuratezza della stima delle basi;
è necessario ricorrere all’osservabile L3.
Disturbo troposferico
Gli errori residui possono causare effetti di scala e
distorsioni nella stima della componente altimetrica della
base; tali errori di stima sono tipicamente dell’ordine di
0.5 ppm e riguardano principalmente la componente
altimetrica, quando il modello adottato descrive male la
situazione atmosferica per un sito rispetto all’altro
(errore relativo).
Per la rimozione totale degli effetti residui sarebbero
necessari onerosi sondaggi meteorologici. In alternativa si
possono introdurre nelle equazioni di osservazione
ulteriori parametri incogniti (oltre alle ambiguità e alle
componenti della base) relativi al disturbo troposferico. Il
metodo, proposto di recente e qui non trattato, ha fornito
ottimi risultati (significativo miglioramento di ripetibilità
dei risultati) nella stima di basi lunghe.
Cycle slip sulle osservazioni di fase
Ogni perdita di contatto fra ricevitore e satellite (CS)
causa, in linea di principio, l’introduzione di una nuova
ambiguità iniziale.
L’identificazione di un CS in una serie temporale di
osservazioni di fase è essenziale. Infatti un CS introduce
una nuova ambiguità iniziale, della quale si deve tenere
conto quando si scrive il modello funzionale fra
osservazioni e incognite; trascurare tale termine implica
errori di modello pari all’entità del CS stesso, che può
arrivare anche a migliaia di cicli (da moltiplicarsi per λ).
Un gran numero di CS nei dati non comporta di per sé un
errore, purché se ne tenga conto nella scrittura del modello
funzionale fra osservazioni e incognite; implica però un
significativo aumento del numero di incognite da stimare,
ovvero una diminuzione della ridondanza. Tenendo conto
che i CS sono incogniti ma sempre multipli interi di λ, si
possono costruire algoritmi per la loro stima e quindi la
loro rimozione dai dati.
Un semplice algoritmo per
l’identificazione e la stima dei Cycle Slip
Si consideri una serie di DD riferite alla stessa coppia di
satelliti I e J e già linearizzate
IJ
IJ
~ JI
LIJ
AB (t1 ) = b AB (t1 ) + eB (t1 ) ⋅ δ∆X AB + λN AB (t1 )
IJ
IJ
~ JI
LIJ
AB (t 2 ) = b AB (t 2 ) + eB (t 2 ) ⋅ δ∆X AB + λN AB (t 2 )
…
LIJ
AB (t n )
IJ
= bAB
(t n )
+
~e JI (t ) ⋅ δ∆X
B n
AB
IJ
+ λN AB
(t n )
Per ogni epoca, si costruiscono le cosiddette DD residue
IJ
IJ
IJ
~ JI
δLIJ
AB (ti ) = L AB (ti ) − b AB (ti ) = eB (ti ) ⋅ δ∆X AB + λN AB (ti )
Si calcoli ora la differenza fra DD residue relative a
epoche consecutive. Si avrà
IJ
IJ
∆δLIJ
AB (ti ) = δL AB (ti ) − δL AB (ti −1 )
= (~e JI (t ) − ~e JI (t )) ⋅ δ∆X
B
i
B
i −1
AB
IJ
IJ
+ λ ( N AB
(ti ) − N AB
(ti −1 ))
Supponendo che le componenti approssimate della base
siano sufficientemente accurate (meglio di 1 metro) il
primo termine a destra dell’uguaglianza è pressoché nullo;
si ha quindi
IJ
IJ
∆δLIJ
AB O (ti ) ≅ λ ( N AB (ti ) − N AB (ti −1 ))
IJ
IJ
In assenza di CS N AB
(ti ) = N AB
(ti −1 ) e quindi
∆δLIJ
AB O (ti ) ≅ 0
In presenza di CS
∆δLIJ
AB O (ti ) ≠ 0
e in particolare
IJ
N AB
(ti )
−
IJ
N AB
(ti −1 )
≅
∆δLIJ
AB O (ti )
λ
Da un punto di vista numerico l’algoritmo viene
implementato nel seguente modo.
Ciascuna serie di DD viene analizzata separatamente,
iniziando con le DD relative ai satelliti 1 e 2.
Si parte dalla coppia temporale costituita dalla 1a e dalla 2a
epoca;
1. si calcola ∆δL12
AB O (t2 ) ;
2. se ∆δL12
AB O (t2 ) ≤ ε si accetta l’ipotesi di assenza di CS;
3. altrimenti si ipotizza la presenza di un CS e si calcola
∆N 12
AB O (t2 )
∆δL12
AB O (t2 )
=
λ
12
4. sia n12
AB (t1, t2 ) l’intero più vicino a ∆N AB O (t2 ) ; se
12
n12
AB O (t1, t2 ) − ∆N AB O (t2 ) ≤ ε
si ritiene di avere stimato il CS intero ( n12
AB (t1, t2 ) ) e
quindi lo si sottrae alle osservazioni seguenti;
5. in caso contrario si è identificato il CS ma
non si è in grado di fornirne una stima;
si deve quindi introdurre una nuova ambiguità
iniziale incognita per le epoche seguenti a t2.
6. Il processo riprende dalla coppia
costituita dalla 2a e dalla 3a epoca e
prosegue sequenzialmente sino all’ultima epoca.
Nota: ε rappresenta un opportuno parametro di tolleranza:
ad esempio si può porre ε = 5 cm
L’analisi riprende nel medesimo modo con la serie
successiva di DD (satelliti 1 e 3) e così per le altre coppie
presenti.
Esempi di serie temporali di DD residue;
sopra: senza CS; sotto: con CS
1
DD residue (m)
0.5
0
1
11
21
31
41
51
61
-0.5
-1
-1.5
Epoca
71
81
91
101
111
1
DD residue (m)
0.5
0
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101
111
-0.5
-1
-1.5
Epoca
Effetto del Multipath sulle DD
L’effetto di multipath è legato al sito di misura; quindi non
si riduce (anzi, ci si deve attendere che si amplifichi)
differenziando osservazioni da due ricevitori collocati in
siti differenti.
E’ sempre opportuno che i caposaldi siano collocati in
punti di buona visibilità e lontano da superfici riflettenti.
Non è quantificabile a priori l’eventuale effetto di
condizioni ambientali sfavorevoli alla misura.
L’elaborazione di una base GPS
(caso statico, 2 ricevitori)
Sia da determinare la base fra due caposaldi A e B,
sui quali siano state effettuate misure GPS
contemporaneamente, per un numero n di epoche;
indichiamo nel seguito con m(ti) il numero di satelliti
osservati nella generica epoca di osservazione ti.
Nel processamento si considerano noti:
la posizione del punto indietro (da una stima precedente),
le posizioni dei satelliti (dalle efemeridi),
i disturbi atmosferici (da modelli),
la posizione approssimata del punto avanti.
Preprocessing (1/3)
Primo passo: prestima delle coordinate di B
Tutte le osservazioni di codice effettuate dal ricevitore
avanti vengono linearizzate rispetto alle sue coordinate.
Il sistema viene risolto mediante MQ per la stima della
posizione del ricevitore (unica per tutte le epoche)
e degli offset d’orologio del ricevitore (uno per epoca).
n
Osservazioni: ∑ m(ti ) osservazioni di codice
1
Incognite: 3 coordinate di B + n offset d’orologio di B
Per effettuare la stima si risolve mediante MQ il sistema di
posizionamento assoluto su più epoche, visto nel Cap.
precedente.
Da tale stima ci si attende un’accuratezza dell’ordine del
metro, variabile in funzione della durata della sessione.
La stima fornisce le coordinate approssimate di B per le
elaborazioni successive.
Secondo passo: elaborazione delle DD di codice
Metodo:
vengono costruite le DD di codice dal ricevitore di
riferimento al ricevitore avanti per la prima stima della
base.
n
Osservazioni: ∑ (m(ti ) − 1) osservazioni di DD di codice
1
Incognite: 3 coordinate di B
Si risolve il sistema delle DD di codice su più epoche visto
nei paragrafi precedenti.
La stima della base tipicamente è caratterizzata da
accuratezza migliore del metro; per osservazioni di buona
qualità si arriva al decimetro.
Oltre a migliorare la stima delle componenti approssimate
della base tale passo serve per una prima analisi sulla
qualità dei dati raccolti.
Preprocessing (2/2):
identificazione dei Cycle Slips e la loro rimozione
Si analizzano le serie temporali di DD di fase per:
1. identificare eventuali CS in ogni serie;
2. stimare e, ove possibile, riparare eventuali CS.
Esistono diversi approcci possibili, fra i quali si ricorda
quello presentato sopra.
Come già detto l’identificazione di eventuali CS è sempre
necessaria per costruire un corretto modello funzionale fra
osservazioni di DD di fase e parametri incogniti.
La rimozione di un CS è comunque utile perché permette
di ridurre il numero di incognite del problema.
Processamento (1/3)
Compensazione delle DD di fase per la stima di
incognite geometriche e ambiguità iniziali.
n
Osservazioni: ∑ (m(ti ) − 1) osservazioni di DD di fase
1
Incognite: le 3 coordinate di B; tutte le ambiguità
iniziali, il cui numero dipende dai cambi di
configurazione e dal numero di eventuali CS non risolti
Si risolve il sistema di DD di fase su più epoche;
Si ottiene la cosiddetta stima float per:
1. componenti della base, ∆X AB ;
2. relativa matrice di covarianza C ∆X∆X ;
3. vettore delle ambiguità iniziali N̂ ;
4. relativa matrice di covarianza C NN .
Note
La stima float della base è caratterizzata da accuratezza
dipendente da diversi fattori (durata della misura, numero
di satelliti, lunghezza della base, qualità dei dati): qualche
indicazione è data nella tabella alla fine del Capitolo.
Il fissaggio delle ambiguità (2/3)
Il vettore stimato delle ambiguità iniziali contiene dei
valori reali, tipicamente diversi dai valori teorici, interi:
ciò è dovuto alla presenza degli errori di stima.
E’ possibile, a partire dalla stima reale ottenuta al passo
precedente, utilizzare l’informazione a priori sulla natura
intera delle ambiguità per vincolarle a opportuni numeri
interi, in modo da eliminarle dall’insieme dei parametri
incogniti?
In altri termini: è ciascuna stima di ambiguità abbastanza
vicina ad un intero, in modo da poter ragionevolmente
affermare che quell’intero è la vera ambiguità iniziale?
Evidentemente si possono costruire molti criteri di analisi
del problema, a seconda della formalizzazione che si
adotta per i generici concetti di “abbastanza” e
“ragionevolmente”. Si presenta nel seguito un approccio
semplificato.
Si considerano separatamente le singole ambiguità.
i
i
La stima reale Nˆ 1AB
per la generica ambiguità N 1AB
è caratterizzata da un SQM: si dispone dunque dei valori
i
Nˆ 1AB
, σˆ
i
N 1AB
.
Stima e relativo SQM definiscono un intervallo di
confidenza per il valore “vero” dell’ambiguità.
In particolare si adotta l’ipotesi di distribuzione normale:
i
i
si costruisce quindi l’intervallo [ Nˆ 1AB
− 3σ, Nˆ 1AB
− 3σ], con
i
i
i
P( Nˆ 1AB
− 3σˆ 1i ≤ N 1AB
≤ Nˆ 1AB
+ 3σˆ 1i ) = 0.997
N AB
N AB
Satellite
Secondo Ambiguità SQM di
Riferimento Satellite stimata
stima
17
3
-6.1939 +0.13231
17
6
+5.1323 +0.06463
17
15
+0.9554 +0.02799
17
22
-2.1249 +0.07979
17
23
+8.2702 +0.08804
17
23
-41.7869 +0.08121
17
25
+5.8709 +0.09397
Esempio di stima float del vettore delle ambiguità di DD per una
sessione di misure (programma GEMINI); nota: al satellite 23
corrispondono 2 ambiguità poiché è coinvolto da un CS non
risolto.
Se nell’intervallo di confidenza ricade uno e un solo valore
i
(caso a nel disegno) si può ragionevolmente
intero N 1AB
(ovvero con probabilità 0.997) ipotizzare che quell’intero
i
:
sia il vero valore di N 1AB
i
l’ambiguità viene considerata nota e vincolata a N 1AB
.
Se nell’intervallo di confidenza non ricade alcun intero
(caso b) oppure se nell’intervallo di confidenza ricadono
più valori interi (c) non è possibile vincolare l’ambiguità
ad alcun intero; tale situazione può occorrere per scarsa
accuratezza nelle osservazioni o per la presenza di
grossolani errori residui di modello nelle EO. In tal caso si
dice che l’ambiguità rimane float.
Il processo viene ripetuto per tutte le ambiguità nel vettore
N̂
Satellite
Secondo Ambiguità SQM di
Ambiguità
Riferimento Satellite stimata
stima
fissata
17
3
-6.1939 +0.13231
-6.0000
17
6
+5.1323 +0.06463
+5.0000
17
15
+0.9554 +0.02799
+1.0000
17
22
-2.1249 +0.07979
-2.0000
17
23
+8.2702 +0.08804
---------17
23
-41.7869 +0.08121
-42.0000
17
25
+5.8709 +0.09397
+6.0000
Stime finali del medesimo vettore delle ambiguità (programma
GEMINI): tutte le ambiguità sono state fissate con successo,
17, 23
eccettuata N AB
che rimane float.
Processamento finale (3/3)
Si supponga sia stato possibile vincolare tutte o anche solo
alcune ambiguità, in base al metodo sopra esposto.
Concettualmente ciò equivale ad aver ridotto il numero di
parametri incogniti senza aver modificato il numero di
osservazioni: è quindi opportuno effettuare nuovamente la
stima della base (e delle ambiguità rimaste float)
vincolando le ambiguità fissate.
n
Osservazioni: ∑ (m(ti ) − 1) osservazioni di DD di fase
1
Incognite: le 3 coordinate di B e le ambiguità rimaste
float
Si risolve un problema misto, ovvero un problema in cui le
equazioni di osservazione sono:
per le DD di fase corrispondenti ad ambiguità fissate
i
1i
1i
~ i1
,
L1AB
O (t ) = b AB (t ) + eB (t ) ⋅ δX B + ν AB (t )
~1i (t ) + T 1i (t ) − I 1i (t ) + λN 1i
b1i (t ) = ρ
AB
AB
AB
AB
AB
per le DD di fase corrispondenti ad ambiguità non fissate:
i
1i
1i
1i
~ i1
,
L1AB
O (t ) = b AB (t ) + eB (t ) ⋅ δX B + λN AB + ν AB (t )
~1i (t ) + T 1i (t ) − I 1i (t )
b1i (t ) = ρ
AB
AB
AB
AB
Si ottiene la cosiddetta stima fixed delle
coordinate del ricevitore incognito.
Risultati finali
Che si siano o meno fissate tutte o alcune ambiguità
iniziali al termine del processamento dei dati si ottengono
le stime di:
la base fra i due punti, ovvero le coordinate del
punto avanti;
relativa matrice di covarianza;
stime finali delle eventuali ambiguità non fissate;
relativa matrice di covarianza;
stima degli scarti di osservazione;
indici di qualità sui risultati ottenuti.
Risultati di esempio relativi alla base precedente
(calcolati con il programma GEMINI)
PUNTO INDIETRO:
PUNTO AVANTI:
00161701.02O
00191701.02O
PUNTO INDIETRO: coordinate imposte
Coordinata_X [m]: 4427816.96740
Coordinata_Y [m]:
686053.00966
Coordinata_Z [m]: 4524212.81339
PUNTO AVANTI: RISULTATI
------------------Single point
Coordinata_X [m]: 4428036.94020
Coordinata_Y [m]:
684560.52421
Coordinata_Z [m]: 4524246.24863
Matrice di covarianza (m2)
0.0635850335 0.0073873432 0.0500995551
0.0186630968 0.0085450836
0.1159982958
-------------------
Doppie Differenze CODICE
Coordinata_X [m]: 4428030.21724
Coordinata_Y [m]:
684561.66840
Coordinata_Z [m]: 4524238.13808
Matrice di covarianza (m2)
0.0484155440 0.0055256528 0.0379834700
0.0141694779 0.0062129265
0.0881671875
------------------Analisi Cycle slips
Coppia Num CS Num
17-3
2
17-6
4
17-5
0
17-22
2
17-23
8
17-25
3
CS riparati
2
4
0
2
7
3
------------------Doppie Differenze FLOAT
Coordinata_X [m]: 4428029.16717
Coordinata_Y [m]:
684561.63818
Coordinata_Z [m]: 4524236.59900
Matrice di covarianza
0.0001162856 -0.0000959102
0.0000097581
0.0004274307
0.0000378783
0.0000344446
------------------Fissaggio ambiguità
flag amb_FL[c]
satt
666
-6.1939
17-3
666
+5.1323
17-6
7
+0.9554
17-5
7
-2.1249
17-22
1
+8.2702
17-23
666 -41.7869
17-23
7
+5.8709
17-25
sigma[c]
+0.13231
+0.06463
+0.02799
+0.07979
+0.08804
+0.08121
+0.09397
------------------Doppie Differenze FIX
Coordinata_X [m]: 4428029.19089
Coordinata_Y [m]:
684561.60140
amb_FIX[c]
-6.0000
+5.0000
+1.0000
-2.0000
+8.2702
-42.0000
+6.0000
Coordinata_Z [m]: 4524236.61148
Matrice di covarianza (m2)
0.0000012854 0.0000001561 0.0000007034
0.0000002685 -0.0000000005
0.0000014229
------------------RIEPILOGO STIMA DELLA
dX
DD CODE
213.2498
DD FLOAT
212.1998
DD FIX
212.2235
BASE
dY
-1491.3413
-1491.3715
-1491.4083
-----------------------------Test chi quadro (stima FIX)
Valore empirico...: +10.176
Chi2_95%..........: +15.507
Chi2_99%..........: +20.090
-----------------------------Durata elaborazioni [secondi]:
Single Point 1: 0.731
Base:
4.422
------------------------------
dZ
25.3247
23.7856
23.7981
Esempi di scarti di osservazione
Scarti (m)
Scarti DD 17-3
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
101 111
71
81
91
101 111
71
81
91
101 111
Epoca
Scarti (m)
Scarti DD 17-22
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
1
11
21
31
41
51
61
Epoca
Scarti (m)
Scarti DD 17-25
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
1
11
21
31
41
51
61
Epoca
Sistema di Riferimento in cui vengono forniti i risultati
Rigorosamente, il modello funzionale delle DD è corretto
quando le coordinate imposte al punto indietro e ai satelliti
sono nel medesimo SR: infatti le differenze fra SR, da un
punto di vista del modello funzionale, possono essere viste
come incongruenze, ovvero errori di modello. Come già
visto in generale tali errori causano distorsioni nella stima
della base, la cui entità dipende sia dagli errori di partenza
sia dalla lunghezza della base. Fra i SR globali, quello
definito più accuratamente è l’ITRF corrente; inoltre le
efemeridi precise dei satelliti sono tipicamente fornite in
questo SR. Quindi, per applicazioni di alta precisione (ad
esempio controllo di deformazioni) è opportuno utilizzare
le coordinate ITRF (si veda oltre come ottenerle) per il
punto indietro e le coordinate ITRF (dalle efemeridi
precise) per i satelliti. Ne risulta una stima della base, e
delle coordinate del punto avanti, nell’ITRF.
Peraltro l’errore residuo nella stima della base è molto
piccolo per piccole incongruenze (ordine di grandezza del
decimetro) fra coordinate imposte per il punto indietro e
per i satelliti; ciò vale in particolare per basi corte
(lunghezza inferiore a 10 km). Si ricordi inoltre che le
differenze fra i sistemi di riferimento globali ITRF, ETRF
e WGS84 sono appunto nell’ambito di alcuni decimetri.
Dunque, con approssimazione non significativa per la
maggior parte delle applicazioni, la stima della base è
invariante rispetto al SR globale in cui si forniscono le
coordinate del punto indietro e le efemeridi dei satelliti:
quindi, con la medesima approssimazione, la stima delle
coordinate del punto avanti è nel medesimo SR globale
utilizzato per le coordinate del punto indietro,
indipendentemente dal SR (WGS84 o ITRF) delle
efemeridi dei satelliti.
Se viceversa si commette l’errore di utilizzare per il punto
indietro le sue coordinate Roma40, si introduce nel
modello funzionale un’incongruenza geometrica
dell’ordine di 100 metri fra SR del punto indietro e SR
delle efemeridi. La stima della base ne viene
significativamente distorta: lo stesso vale per la stima delle
coordinate del punto avanti, che risultano affette da errori
significativi rispetto a qualsiasi SR.
Combinazioni fra SR utilizzati per la stima di una base e
SR risultante per la stima del punto avanti
Punto
Punto
Efemeridi
Base
indietro
avanti
Rigoroso
Approssimazione
tipicamente
accettabile
Errore non
accettabile
ITRF
corrente
ITRF,
ETRF89,
WGS84
Roma40
ITRF
corrente
⇒
ITRF
corrente
ITRF,
WGS84
⇒
Pressoché
invariante
ITRF,
WGS84
⇒
Distorta
ITRF
corrente
Come
punto
indietro
Non
definito
Tabella riassuntiva sull’accuratezza
fornita dal GPS relativo statico
Dipende dalla lunghezza della base: al crescere di questa
aumentano gli errori residui di modello.
Dipende dalla durata del rilievo:
alcuni errori residui di modello e il multipath
tendono a mediarsi nel tempo.
Dipende dalla qualità generale dei dati:
numero totale di CS e numero di CS fissati;
numero di ambiguità fissate;
Ad esempio si possono indicare le seguenti precisioni
Rilievi brevi (statico rapidi) con
ricevitori economici in singola frequenza: ad esempio
5-10 min con almeno 5 satelliti e ricevitori a 1-5 Km,
30-60 min con almeno 5 satelliti e ricevitori a più di 15 Km:
≅ 10-30 mm + 2-4 ppm (2-4 mm/Km)
Rilievi statico rapidi con
ricevitori geodetici (doppia frequenza): ad esempio
5-10 min con almeno 5 satelliti e ricevitori a 1-5 Km,
30-60 min con almeno 5 satelliti e ricevitori a più di 15 Km:
≅ 10 mm + 2 ppm (2 mm/Km)
Rilievi di precisione con ricevitori geodetici: ad esempio
1-2 h con più di 4 satelliti e ricevitori a 15-30 Km,
4-5 h con più di 4 satelliti e ricevitori a più di 50 Km
≅ 2 mm + 1-2 ppm (1-2 mm/Km)
Rilievi di alta precisione con ricevitori geodetici:
più giorni di rilievo: ≅ 0.5-1 ppm (0.5-1 mm/Km)
Quesiti di autovalutazione su
equazioni di osservazione e stima di una base
L’osservabile L3: ricava l’equazione di osservazione.
Le singole e le doppie differenze di codice e fase:
equazioni di osservazione e linearizzazione
rispetto alle coordinate del punto avanti.
Discuti l’impossibilità di effettuare posizionamento
assoluto dalle singole e doppie differenze.
I passi del processo di elaborazione di una base:
per ciascuno di essi elenca le osservazioni e le incognite.
Discuti il metodo semplificato per l’identificazione e la
rimozione dei CS.
Discuti il metodo Sigma per il fissaggio delle ambiguità.
Gli effetti residui degli errori nelle efemeridi o nelle
coordinate imposte al punto indietro sulla
stima di una base.
Gli effetti residui degli errori ionosferico e troposferico
sulla stima di una base.
Discuti la precisione finale ottenibile nella
stima di una base in funzione dei metodi e tempi di rilievo
e il sistema di riferimento dei risultati.