Complementi al capitolo di variabili angolo-azione (Fasano

Complementi al capitolo di variabili angolo-azione
(Fasano-Marmi capitolo 11)
Complementi al problema di Keplero
1
Osservazioni generali e calcolo di Jr
Dal punto di vista pratico osserviamo che
(i) le variabili di azione J vanno calcolate prima della funzione generatrice W (J, q),
(ii) quando l’hamiltoniana e’ tale che l’equazione di Hamilton-Jacobi e’ a variabili separabili, siamo nella
situazione in cui
W (f, q) = Σi Wi (qi , f1 , ..., fi )
e per ottenere W (J, q) si possono calcolare le Wi direttamente dall’equazione di Hamilton-Jacobi e
sfruttare poi la corrispondenza biunivoca tra f e J.
Il calcolo delle variabili di azione Jφ , Jθ , Jr per il problema di Keplero e’ svolto alle pagine 468, 469.
Quello di Jr e’ pero’ solo riassunto. Eseguiamo integralmente il calcolo della [8.7]:
1
Jr =
2
2π
Z
rM
rm
dove rm = a(1 − e), rM = a(1 + e) e
Quindi
1
(Jθ + Jφ )2 1
k 1
2m|E|[−1 −
+
] 2 dr,
2m|E| r2
|E| r
p
(1.1)
k
(Jθ + Jφ )2
= 2a,
= a2 (1 − e2 ).
|E|
2m|E|
1p
Jr =
2m|E|
π
Z
a(1+e)
a(1−e)
1 2 2
[a e − (a − r)2 ]1/2 dr.
r
Poniamo y = 1 − r/a, ottenendo
Jr =
a
p
2m|E|
π
Z
e
−e
1 p 2
e − y 2 dy
1−y
(1.2)
p
e+y
z2 − 1
Usiamo la trasformazione e2 − y 2 = (e − y)z, ossia
= z 2 , e quindi y = e 2
, dy =
e−y
z +1
p
z
2ez
4e 2
dz, e2 − y 2 = 2
per giungere a
2
(z + 1)
z +1
p
Z
a 2m|E| 2 ∞
z2
Jr =
8e
dz
(1.3)
2
2
π
(z + 1) (1 + e + (1 − e)z 2 )
0
Ricerchiamo la scomposizione della funzione integranda in
B
C
A
+
+
z 2 + 1 (z 2 + 1)2
1 + e + (1 − e)z 2
1
imponendo A(z 2 + 1)(1 + e + (1 − e)z 2 ) + B(1 + e + (1 − e)z 2 ) + C(z 4 + 2z 2 + 1) = z 2 , ossia
A(1 − e) + C = 0, 2A + B(1 − e) + 2C = 1, A(1 + e) + B(1 + e) + C = 0,
da cui
A=
Poiche’
1+e
1
1 − e2
,
B
=
−
,
C
=
−
.
4e2
2e
4e2
Z
dz
1
z
= [arctan z + 2
],
(z 2 + 1)2
2
z +1
r
Z
Z
dz
1
dz
1
1−e
arctan(
z)
=
=√
2
1−e 2
(1 + e) + (1 − e)z 2
1+e
1+e
1−e
1+
z
1+e
si ottiene infine
p
√
p
p
a 2m|E|
1
1 − e2
2 π 1+e
Jr =
· 8e · ( 2 −
−
2m|E|(1
−
1 − e2 )
(1.4)
)
=
a
π
2 4e
4e
4e2
r
p
p
p
√
m
Adesso osserviamo che a 2m|E| = k
e a 2m|E| 1 − e2 = b 2m|E| = |L| = Jφ + Jθ , da cui
2|E|
deduciamo l’espressione finale
r
m
Jr = k
− (Jθ + Jφ ).
(1.5)
2|E|
2
La funzione generatrice W (J, q)
Sfruttando la separabilità scriviamo (v. Esempio 2.1)
W (J, q) = Wφ (Jφ , φ) + Wθ (Jφ , Jθ , θ) + Wr (Jφ , Jθ , Jr , r),
(2.1)
Wφ (Jφ , φ) = Jφ φ,
(2.2)
dove
Z θ
Wθ (Jφ , Jθ , θ) = π
pθ (|L|, Jφ , θ0 )dθ0 =
−i
2
1
Z θ
Jφ2
π
π
2
2 dθ0 , θ ∈ ( − i, + i)
{(J
+
J
)
−
}
θ
φ
π
2 θ0
sin
2
2
−i
2
Z
r
{−
Wr (Jφ , Jθ , Jr , r) =
r−
1
m2 k 2
2mk (Jθ + Jφ )2
2 dr0 , r ∈ (r− , r+ )
+
−
}
(Jr + Jθ + Jφ )2
r0
r0 2
(2.3)
(2.4)
Ricordiamo che Jθ + Jφ = |L| e che i parametri geometrici dell’orbita ellittica sono esprimibili come
|L|
2|L|2 |E| 1/2
k
, b= p
, e = (1 −
) .
a=
2|E|
k2 m
2|E|m
Jφ
= cos i.
Inoltre osserviamo che
Jθ + Jφ
2
3
Calcolo di χr (anomalia media)
∂Wr
m2 k 2
χr =
=
∂Jr
(Jr + Jθ + Jφ )3
1
2mk (Jθ + Jφ )2 −
m2 k 2
{−
+ 0 −
} 2 dr0
(Jr + Jθ + Jφ )2
r
r0 2
r−
Z
r
(3.1)
Confrontando con la [4.2], Cap. 5, p. 201 ed eseguendo la trasformazione r = a(1−e cosξ), ξ anomalia
eccentrica,
χr = ξ − e sinξ
cioe’ χr = l, anomalia media.
4
Calcolo di χθ e di χφ
Abbiamo le formule
∂Wθ
∂Wr
+
,
∂Jθ
∂Jθ
∂Wφ
∂Wθ
∂Wr
+
+
.
χφ =
∂Jφ
∂Jφ
∂Jφ
χθ =
(4.1)
(4.2)
Calcoliamo
Z θ
Jφ2 −1/2 0
∂Wθ
= (Jθ + Jφ ) π
}
dθ
{(Jθ + Jφ )2 −
∂Jθ
sin2 θ0
−i
2
Z θ
cos2 i −1/2 0
= π
{1 −
}
dθ .
sin2 θ0
−i
2
Ovviamente
Inoltre
(4.3)
∂Wφ
= φ.
∂Jφ
Z θ
Jφ2 −1/2 0
∂Wθ
Jφ
2
[(Jθ + Jφ ) −
]{(J
+
J
)
−
}
dθ
= π
θ
φ
∂Jφ
sin2 θ0
sin2 θ0
−i
2
Z θ
∂Wθ
cos2 i −1/2 0
1
=
− cos i π
{1
−
}
dθ .
2
∂Jθ
sin2 θ0
− i sin θ0
2
(4.4)
Infine
∂Wr
∂Wr
=
− (Jθ + Jφ )
∂Jθ
∂Jr
Z
r
r−
1
m2 k 2
2mk (Jθ + Jφ )2 −1/2 0
+
−
}
dr ,
0 2 {−
r
(Jr + Jθ + Jφ )2
r0
r0 2
∂Wr
∂Wr
=
.
∂Jφ
∂Jθ
(4.5)
(4.6)
Osserviamo allora che
Z
r
χr − χθ = (Jθ + Jφ )
r−
m2 k 2
2mk (Jθ + Jφ )2 −1/2 0
1
+
−
}
dr
0 2 {−
r
(Jr + Jθ + Jφ )2
r0
r0 2
Z θ
cos2 i −1/2 0
{1 −
− π
}
dθ ,
sin2 θ0
−i
2
Z θ
χφ − χθ = φ − cos i π
2
1
cos2 i −1/2 0
{1
−
}
dθ .
2
sin2 θ0
− i sin θ0
3
(4.7)
(4.8)
In virtu’ della completa risonanza le differenze χr −χθ e χφ −χθ sono costanti e quindi le due precedenti
equazioni sono interpretabili come le equazioni dell’orbita nelle variabili (r, θ, φ).
Indichiamo brevemente come calcolare gli integrali che abbiamo incontrato.
Z θ
Rθ
cos2 i −1/2 0
sin θ0 dθ0
r
a) I1 = π
{1 −
}
dθ
=
.
π
2 0
−i
sin θ
sin θ0 2
−
i
2
cos i (
) −1
2
cos i
cos θ
Poniamo
= z. L’integrale si trasforma in
cos i
Z tgi
d(z cotg i)
I1 = cos θ p
= arc sin(z cotg i)|tgi
=
cos θ
1 − (z cotg i)2
cos i
cos i
cos θ
cos θ
π
− arc sin(
) = arc cos(
)
2
sin i
sin i
Rθ
1
cos2 i −1/2 0
b) I2 = cos i π
}
dθ
2 0 {1 −
− i sin θ
sin2 θ0
2
cos i
Poniamo
= z. L’integrale diventa
sin θ
Z 1
dz
cos i
I2 = cos i √
= arc sin 1 − arc sin
=
2
sin θ
1−z
sin θ
π
cos i
cos i
− arc sin
= arc cos(
)
2
sin θ
sin θ
c)
Z
(4.9)
(4.10)
r
1
m2 k 2
2mk (Jθ + Jφ )2 −1/2 0
{−
+ 0 −
}
dr =
02
2
(Jr + Jθ + Jφ )
r
r02
r− r
Z
Jθ + Jφ r 1
k 0 (Jθ + Jφ )2 −1/2 0
02
√
{−r
+
r −
}
dr =
|E|
2m|E|
2mE r− r0
Z r
1 2 2
b
{a e − (a − r0 )2 }−1/2 dr0
0
r
r−
I3 = (Jθ + Jφ )
Posto a − r0 = ae cos ξ, troviamo
b
I3 =
a
Z
arccos(
a−r
)
ae
0
dξ
1 − e cos ξ
2
Con cos ξ =
Z
2
·
1 + t2
−4tdt
2
1−t
→ − sin ξdξ =
→ dξ =
dt, l’integrale diventa
2
2
2
1+t
(1 + t )
1 + t2
1
dt = 2
1 − t2
1−e
1 + t2
√
Poiche’ a 1 −
Z
dt
2
=
2
(1 + e)t + 1 − e
1−e
Z
r
2
1+e
dt
=√
arctg(
t).
2
1+e 2
1−e
1−e
t +1
1−e
r
e2
= b, l’integrale di partenza si riduce a I3 = 2arctg(
a−r
1 + e cos ξ= ae
t)|
con t2 =
1 − e cos ξ=1
a−r
ae − (a − r) 1/2
1 − cos ξ
. Per cos ξ = 1 e’ t = 0 e per cos ξ =
e’ t = [
] .
1 + cos ξ
ae
ae + a − r
4
Scriveremo infine il risultato dell’integrazione:
1 + e ae − (a − r) 1/2
} .
(4.11)
1 − e ae + z − r
Si noti che a − r varia tra ae per r = r− e −ae per r = r+ , per cui I3 cresce da zero a π.
α
1 − A2
Considerando che se α = 2arctgA e’ tg = A e quindi cos α =
, la (4.11) puo’ essere riscritta
2
1 + A2
2
1−A
come α = arc cos(
), ossia, a conti fatti
1 + A2
a(1 − c2 ) − r
I3 = arc cos
.
(4.12)
er
Dunque, introducendo
I3 = 2arctg{
h = χφ − χθ , longitudine del nodo ascendente,
(4.13)
g = χθ − χr , argomento del perielio
le (4.7) e (4.8) assumono la forma
h = φ − arc cos(
(4.14)
cos i
)
sin θ
(4.15)
(ricordando la (4.10)) e
g = arc cos(
e quindi
cos θ
a(1 − e2 ) − r
) − arc cos
sin i
er
(4.16)
cos i
,
cos(φ − h)
p
e2 a2 − (a − r)2 p
a(1 − e2 ) − r
cos g −
1 − e2 sin g}.
cos θ = sin i{
er
er
sin θ =
5
(4.17)
(4.18)
Elementi di Delaunay
La trasformazione H = Jφ , G = Jθ + Jφ , L = Jr + Jθ + Jφ si scrive

 
 
H
1 0 0
Jφ
 G = 1 1 0  Jθ 
L
1 
1 1
J
r

1 0 0
1
Posto A = 1 1 0 , si trova A−1 = −1
1 1 1
0
La trasformazione canonica si completa con


0 0
1
1 0 , (A−1 )T = 0
−1 1
0
−1
1
0

0
−1  .
1
 
 
χφ
h
 g = (A−1 )T  χθ  .
χr
l
Poiché det A = 1 le nuove variabili sono ancora di angolo-azione. Risulta h = χφ − χθ , g = χθ −
χr , l = χr .
l = χr è l’anomalia media; convenzionalmente si identifica h con la longitudine del nodo ascendente
e g con l’argomento del perielio.
Inoltre L, G, H hanno semplici relazioni con gli elementi orbitali:
√
L = mka
p
G = |L| = L 1 − e2
H = |L| cos i
5
6
Variabili di Poincaré
Λ = L, Z1 = L − G, Z2 = G − H
λ = h + g + l, ζ1 = −g − h, ζ2 = −h
Scrivendo


 

Z1
H
0
 Z2 = B  G  con B = −1
Λ
L
0

−1 1
1 0,
0 1
è det B = −1. Quindi le variabili Λ, Z1 Z2 sono d’azione e le variabili


 
ζ1
h
 ζ2 = (B −1 )T  g 
l
Λ
sono d’angolo.
λ è detta longitudine media (λ = χφ ) ed è l’unica che varia nel tempo, perché Λ è la sola variabile
che compare nell’hamiltoniana; −ζ1 = χφ − χr , −ζ2 = h = χφ − χθ , e inoltre Z1 = Jφ , Z2 = Jθ , Λ =
Jr + Jθ + Jφ
√
√ La trasformazione che modifica le coppie (Z1 , ζ1 ), (Z2 , ζ2 ) portandole in ξi = 2Zi cos ζi , ηi =
2Zi sin ζi i = 1, 2 e’ canonica. Lo si verifichi per esercizio.
Variabili angolo-azione per il potenziale V =
L’hamiltoniana e’
H=
1
mw2 r2
2
p2φ
p2r
1
+
+ mw2 r2
2
2m 2mr
2
(6.1)
La varieta’ definita da
H(pr , pφ , r) = E
(6.2)
pφ = Lz , φ ∈ (0, 2π)
(6.3)
verifica le ipotesi dei teoremi di Liouville e di Arnol’d.
Le variabili sono separabili e possiamo individuare i cicli corrispondenti a (6.3) e a
1
p2φ
1
2 2 2
− mw r ] ,
pr = ± 2m[E −
2mr2
2
√
E > ω|pφ |.
Dall’Es. 1.1, Cap. 5, p. 190, ricordiamo le formule per il raggio e l’energia dell’orbita circolare
r
pφ
, Ec = ωpφ (pφ > 0)
rc =
mω
e quelle per i valori estremi di r:
rm
E
−
= rc [
Ec
r
(
6
E 2
) − 1]1/2 ,
Ec
(6.4)
rM
E
= rc [
+
Ec
(in corrispondenza degli zeri di pr )
Riscriviamo la (6.4):
pr = ±mωrc [2
r
(
E 2
) − 1]1/2
Ec
E
rc
r
− ( )2 − ( )2 ]1/2 .
Ec
r
rc
(6.5)
L’area del ciclo nel piano (pφ , φ) e’
Aφ = 2πpφ
(6.6)
Jφ = pφ .
(6.7)
e quindi
L’area del ciclo nel piano (pr , r) e’
1
Ar = mωrc
2
Z
rM
[2
rm
E
rc
r
− ( )2 − ( )2 ]1/2 dr,
Ec
r
rc
(6.8)
che e’ una funzione di E e pφ .
Svolgiamo il calcolo.
Z rM
1
1
E
Ar = 2mωrc2 rmrc [2
− 2 − ρ2 ]1/2 dρ,
2
Ec
ρ
rc
Nell’integrale
Z
I=
poniamo β =
√
1
(2α − 2 − ρ2 )1/2 dρ =
ρ
Z
(6.9)
1 2
[α − 1 − (α − ρ2 )2 ]1/2 dρ
ρ
α2 − 1, α − ρ2 = η, ottenendo
Z
1
dη
I=−
(β 2 − η 2 )1/2 .
2
α−η
p
β−η
1 − ξ2
−4βξdξ
= ξ 2 , ossia η = β
, dη =
e β 2 − η 2 = ξ(β + η) =
2
2
2
β+η
1+ξ
(1 + ξ )
2βξ
α − β + (α + β)ξ 2
, α−η =
, si trova
1 − ξ2
1 + ξ2
Z
4β 2
ξ 2 dξ
α+β
rM 2
I=
, γ=
=(
) .
α−β
(1 + ξ 2 )2 (1 + γξ 2 )
α−β
rm
Con la trasformazione
Poiche’
ξ2
(1 +
ξ 2 )2 (1
+ γξ 2 )
=
1
1
1
1
{
+ (γ − 1)
−γ
},
(γ − 1)2 (1 + ξ 2
(1 + ξ 2 )2
1 + γξ 2
si ottiene
I=
e infine [ρ →
1
1
ξ
4β 2
√
√
{arctan ξ + (γ − 1)( arctan ξ +
) − γ arctan( γξ)}
α − β (γ − 1)2
2
2(1 + ξ 2 )
rM
rm
⇒ η → β ⇒ ξ → 0, ρ →
⇒ η → −β ⇒ ξ → +∞]
rc
rc
1
4β 2
1
γ−1 √
2
Ar = 2mωrc2 I|∞
{1 +
− γ}
0 = πωrc m
2
α − β (γ − 1)2
2
√
β 2 ( γ − 1)2
β2
1
= 2πmωrc2
= 2πmωrc2
.
√
2
α − β (γ − 1)
α − β ( γ + 1)2
7
Basta ora osservare che
mωrc2 = pφ = Jφ , α − β = (
γ=(
2
rM 2
1
rm
) , √
=
=
rm
( γ + 1)2
(rM + rm )2
per cui
Ar = 2πJφ (
e
rm 2
E
) , β 2 = ( )2 − 1,
rc
Ec
2
rm
/rc2
E
2(
+ 1)
Ec
E
− 1)
Ec
(6.10)
E
− Jφ
ω
Giungiamo quindi all’espressione della nuova hamiltoniana
Jr =
(6.11)
K(J) = (Jr + Jφ )ω.
(6.12)
µ ¶
ω
.
Il sistema e’ completamente risonante con il vettore delle frequenze dato da ω =
ω
Per completare la trasformazione dobbiamo calcolare le variabili di angolo χr , χφ . La funzione
generatrice W (r, φ, Jr , Jφ ) si scrive facilmente sfruttando la separabilita’ delle variabili nell’equazione
di Hamilton-Jacobi e facendo comparire Jr , Jφ invece di pφ , E, sfruttando le (7) e (12):
W = Jφ φ +
√
Z
r
2m
[ω(Jr + Jφ ) −
rm
Jφ2
1
− mω 2 r02 ]1/2 dr0 .
02
2mr
2
(6.13)
Notiamo subito che
Jφ
χφ = φ + χr − √
2m
Z
r
rm
Jφ2
1
1
[ω(J
+
J
)
−
− mω 2 r02 ]−1/2 dr0 .
r
φ
r02
2mr02
2
(6.14)
Uno sguardo alla [1.20], Cap. 5, ci dice che
χφ − χr = costante,
(6.15)
come deve essere in virtu’ della completa risonanza.
Calcoliamo allora
r
Z r
Jφ2
1
m
ω
[ω(Jr + Jφ ) −
− mω 2 r02 ]−1/2 dr0 ,
χr =
02
2
2mr
2
rm
che si semplifica in
Posto α =
Z r
1
E
χr = rrmc [2
− 2 − ρ2 ]−1/2 dρ.
Ec
ρ
rc
E
si nota che
Ec
Z
ρ[2αρ2 − 1 − ρ4 ]−1/2 dρ =
(6.16)
(6.17)
Ψ
2
grazie alla trasformazione
α − ρ2 =
p
α2 − 1 cos Ψ. (r = rm ⇔ Ψ = 0, r = rM ⇔ Ψ = π)
Giungiamo cosi’ a scrivere
ρ2 = α −
p
α2 − 1 cos 2χr
8
(6.18)
p
rM
, ρ2 = ρ2M − 2 α2 − 1 cos2 χr .
rc
Calcolando l’eccentricita’ mediante la formula
o anche, posto ρM =
√
2
2
2 α2 − 1
rM
− rm
e =
=
,
2
rM
ρ2M
2
si vede che la formula precedente e’ equivalente a
ρ2 = ρ2M (1 − e2 cos2 χr ).
(6.19)
r
Per far comparire esplicitamente le variabili r, Jr , Jφ ricordiamo che rc =
ad esempio la (6.18) si scrive
mωr2 = Jr + Jφ −
Jφ
Jr + Jφ
,α =
, cosi’
mω
Jφ
q
Jr2 + 2Jφ cos 2χr .
(6.20)
Possiamo trovare una interpretazione significativa di χr confrontando la (6.19) cone le equazioni
parametriche
p
X = ρM cos ξ, Y = ρM 1 − e2 sin ξ,
π
osservando che ρ2 = X 2 + Y 2 = ρ2M (1 − e2 sin2 ξ). Quindi cos2 χr = sin2 ξ, ossia χr = ±ξ ± . Secondo
2
la (6.16) χr cresce con r, mentre per ξ e’ vero il contrario (nel primo quadrante). Quindi si puo’ prendere
π
ad esempio χr = − ξ. Cio’ non deve sorprendere, perche’ nel moto che stiamo considerando X e Y
2
compiono oscillazioni armoniche con la stessa frequenza.
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