Area dell`Ellisse con il calcolo integrale e risoluzione del

english
italian
Liceo Scientifico Statale
”Leonardo da Vinci”
Via Possidonea, 14 - 89100 Reggio Calabria - Tel: 0965-29911 / 312063
www.liceovinci.rc.it
Anno Scolastico 2007-2008
Area dell’Ellisse con il calcolo integrale
e risoluzione del fondamentale integrale irrazionale
R √
a2 − x2 dx
Prof. Francesco Zumbo
www.francescozumbo.it oppure http://zumbo.netsons.org
e-mail personale : [email protected]
Dedico questo lavoro Scientifico Didattico
a mia Madre Paola , che con infinito affetto é stata la mia guida
Francesco Zumbo
Reggio Calabria, 7 Settembre 2008
1
2
Questi appunti vogliono essere un ulteriore strumento didattico per gli studenti. Idea che mi é venuta dopo
essere stato a contatto con bambini e studenti affetti da Sclerosi Multipla, costretti a lunghe degenze presso il Reparto
di Neurologia dell’Ospedale di Fidenza (Parma), Divisione Diretta da una Eccezionale persona, il Prof. Enrico
Montanari a cui mia riconoscenza e stima andranno Sempre.
A coloro che vorranno dare un piccolo contributo all’Associazione Nazionale per la Lotta contro la Sclerosi Multipla
(sezione di Parma) un Grande Grazie!!!
Conto Corrente Postale : 13 50 34 38 - Intestato a: AISM di Parma (Associazione
Italiana Sclerosi Multipla) di Parma - Indirizzo: Piazzale S. Sepolcro, 3 - 43100 Parma
(PR) - Telefono : 0521-231251.
Con la seguente Causale: + Matematica ,- Sclerosi Multipla
3
1. G ENERALITÁ
Data l’ellisse γ di equazione
(1.1)
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
Figura 1. Grafico dell’ellisse
con a semiasse sull’asse delle ascisse x e b semiasse sull’asse delle ordinate y. Ci
proponiamo di calcolare l’area di tale ellisse con un metodo che ritengo semplice ,
rigoroso e accessibile.
Per prima cosa esprimiamo in forma parametrica l’equazione dell’ellisse.
Le sostituzioni delle variabili x e y per la forma parametrica sono:
(1.2)



 x = a · cos(t)


 y = b · sin(t)
con la variabile t ∈ [0; 2π].
Esplicitiamo la y dell’equazione (1.1)
y2
x2
=
1
−
b2
a2
4
y 2 = b2 (1 −
r
y=±
x2
b2 (1 − 2 ) = ±b
a
r
y = ±b
x2
)
a2
r
1−
x2
a2
b √ 2
a2 − x 2
=
±
· a − x2
a2
a
in definitiva
(1.3)
y=±
b √ 2
· a − x2
a
la (1.3) rappresenta l’equazione di tutta l’ellisse, ma al fine di ottenere la proprietá di funzionalitá, consideriamo soltanto la parte positiva o negativa dell’equazione.
Scegliamo per la circostanza la parte positiva
(1.4)
y=
b √ 2
· a − x2
a
Per calcolare l’area dell’ellisse possiamo calcolare l’area di
ste le condizioni di simmetria rispetto a ciascuno degli assi.
1
4
dell’area dell’ellisse, vi-
5
Figura 1. L’Area che calcoleremo
Quindi
Z a
Area dell0 ellisse
(
)=
y(x) dx =
4
0
Z
Z a √
b a√ 2
b
2
2
=
a − x dx =
a − x2 dx
a 0
0 a
(1.5)
Sintetizzando
Area dell0 ellisse
b
(
)=
4
a
(1.6)
Z
a
√
a2 − x2 dx
0
Il nostro problema, attualmente, si é trasferito nel calcolo dell’integrale irrazionale:
Z √
(1.7)
a2 − x2 dx
a tale scopo, inseriamo nella (1.7) la sostituzione parametrica
x = a · cos(t)
con 0 ≤ t ≤
π
2
differenziamo
(1.8)
dx = a · (cos(t))0 dt
dx = a (− sin(t)) dt
6
dx = −a · sin(t) · dt
(1.9)
Integriamo per sostituzione la (1.7)
Z √
(1.10)
x2
Z p
dx =
a2 − a2 · cos2 (t) · (− a sin(t)) dt =
a2
−
=
Z p
a2 · (1 − cos2 (t) · (− a · sin(t)) dt =
Z
= −a
a·
p
1 − cos2 (t) · sin(t) dt =
Z p
−a
1 − cos2 (t) sin(t) dt
2
Riassumiamo
(1.11)
Z p
Z √
2
2
2
a − x dx = − a
1 − cos2 (t) sin(t) dt
la quantitá
p
1 − cos2 (t)
dalla relazione fondamentale della goniometria
sin2 (t) + cos2 (t) = 1
é uguale a sin(t) cioé
p
1 − cos2 (t) = sin(t)
(1.12)
inseriamo la (1.12) nella (1.11)
(1.13)
Z √
a2
−
x2
2
dx = −a ·
Z
2
sin(t) · sin(t) dt = −a
Z
sin2 (t) dt
7
cosí facendo, abbiamo trovato l’intermedio risultato
Z √
(1.14)
a2
−
x2
dx = −a
2
Z
sin2 (t) dt
Calcoliamo adesso
Z
(1.15)
sin2 (t) dt
dalle formule di duplicazione sappiamo che
cos(2t) = 1 − 2 sin2 (t)
(1.16)
implica che
cos(2t) − 1 = −2 sin2 (t)
2 sin2 (t) = 1 − cos(2t)
sin2 (t) =
(1.17)
1 − cos(2t)
2
inseriamo la (1.17) nel calcolo dell’integrale (1.15)
Z
(1.18)
Z
2
sin (t) dt =
Z
=
1
dt −
2
Z
1 − cos(2t)
dt =
2
Z
1 cos(2t)
( −
) dt =
2
2
cos(2t)
1
1
dt = t −
2
2
2
Z
cos(2t) dt
da cui
Z
(1.19)
1
1
sin (t) dt = t −
2
2
2
Z
Risolviamo separatamente
Z
(1.20)
cos(2t) dt
cos(2t) dt
8
a tale scopo poniamo la sostituzione
u = 2t ⇒
du = 2 dt ⇒
dt =
(1.21)
1
du
2
da cui
Z
(1.22)
Z
cos 2t dt =
1
1
cos(u) · · du =
2
2
=
Z
cos(u) · du =
1
sin(u) =
2
1
sin(2t)
2
in definitiva si ha
Z
cos(2t) dt =
(1.23)
1
sin(2t)
2
In precedenza avevamo trovato che
Z
(1.24)
1
1
sin (t) dt = t −
2
2
2
Z
cos(2t) dt
da cui
Z
(1.25)
1
1 1
1
1
sin2 (t) dt = t − · · sin(2t) = t − · sin(2t)
2
2 2
2
4
Cioé
Z
(1.26)
sin2 (t) dt =
1
1
t − · sin(2t)
2
4
Dalla (1.14) sappiamo che
Z √
a2
−
x2
dx = −a
2
Z
sin2 (t) dt
9
pertanto
Z √
(1.27)
1
1
a2 − x2 dx = −a2 [ t − · sin(2t)]
2
4
Inoltre, sappiamo, che se la variabile x descrive un quarto dell’ellisse, significa che
appartiene all’intervallo x ∈ [0; a], mentre la variabile t per descrivere il medesimo
intervallo con le formule parametriche scelte, appartiene: t ∈ [0; π2 ]
b
Area
)= ·
(
4
a
(1.28)
a
Z
√
a2 − x2 dx =
0
1
1
b
π/2
· (−a2 ) · [ t − sin(2t)]0
a
2
4
in definitiva
(
(1.29)
infatti se t varia da 0 a
π
2
Area
1
1
π/2
) = −b · a [ t − sin(2t)]0
4
2
4
si descrive mediante le equazioni parametriche
1
4
dell’ellisse.
Sviluppiamo la differenza delle primitive
(1.30)
(
Area
1 π 1
π
1
1
) = −b · a { · − · sin(2 · ) − ( · 0 − · sin(0))} =
4
2 2 4
2
2
4
π 1
1
− · 0 − (0 − · 0)} =
4 4
4
π
π
= −a · b { − 0 − 0} = −ab ·
4
4
= −b · a{
visto che l’area é sempre una quantitá positiva scriviamo
(1.31)
Area
π
= ab ·
4
4
da cui
Area dell0 Ellisse = a · b · π
Risulta chiaro che l’area dell’ellisse é data dal prodotto dei due semiassi a e b per il
numero irrazionale π.