Zx = {kx : k ∈ Z \ {0}} ⊂ Q . f(x)

Geometria I - Scritto #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10)
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Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dare una dimostrazione esauriente di tue le risposte, su un foglio a parte (scrivere nome e matricola su tui i fogli consegnati).
Il peso relativo di ogni esercizio è indicato tra parentesi.
(1) (6u) Si consideri la topologia euclidea standard su Q. Per ogni x ∈ Q si indichi con Zx l’insieme definito da
Zx = {kx : k ∈ Z ∖ {0}} ⊂ Q .
(a) Determinare per quali x ∈ Q risulta che Zx è chiuso in Q.
(b) Per quali x ∈ Q risulta che Zx è compao? Per quali risulta connesso?
(c) Dimostrare che per ogni x ∈ Q l’insieme Zx ∩ N è chiuso in Q, e che il suo estremo inferiore è un elemento
di Zx . Chiamiamo tale estremo inferiore b( x ).
(d) Si consideri la funzione f : Q → Q definita da

1


 1 ,
f ( x ) = b( )

x

0,
se x ̸= 0;
se x = 0 .
Mostrare che la funzione f è ben definita.
(e) Mostrare che f è continua in 0.
() Esiste x0 ∈ Q, x0 ̸= 0, tale che la funzione f è continua in x0 ?
(2) (6u) Sia X = P2 (C) e si consideri la mappa
ρ : R × X → X,
ρ(t, [ x : y : u]) = [eit x : y : u].
(a) Dimostrare che ρ definisce un’azione di R su X.
(b) Deteminare lo stabilizzatore di ogni punto di X.
(c) Determinare se lo spazio quoziente X/R è compao e se è connesso.
(d) Determinare se lo spazio quoziente X/R è di Hausdorff.
(3) (6u) Sia γ ⊂ E2 una circonferenza nel piano euclideo E2 , con centro A e raggio r. Per ogni P ∈ E2 si definisca
la quantità
w( P; γ) = ∥ P − A∥2 − r2 .
(a) Mostrare che se P è un punto esterno alla circonferenza γ, allora w( P; γ) è il quadrato della distanza tra P ed
i due punti in cui le due tangenti a γ passanti per P toccano γ.
Geometria I - Scritto #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10)
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(b) Date due circonferenze distinte γ e Γ in E2 , dimostrare che il luogo dei punti
R(γ, Γ) = { P ∈ E2 : w( P; γ) = w( P; Γ)}
è una rea se γ e Γ hanno centri distinti, ed è vuoto se esse sono concentriche.
(c) Mostrare che se A e B sono i centri di γ e Γ, e se A ̸= B, allora R(γ, Γ) è ortogonale alla rea passante per
A e B.
(d) Mostrare che
γ ∩ Γ ⊂ R(γ, Γ).
(e) Mostrare che se A, B e C sono tre punti non allineati in E2 , e γ A , γB e γC tre circonferenze con centri
rispeivamente in A, B e C, allora esiste un unico punto Q ∈ E2 tale che
Q ∈ R(γ A , γB ) ∩ R(γB , γC ) ∩ R(γC , γ A ) .
() Dedurre dai punti precedenti che se tre circonferenze sono mutuamente tangenti e con centri non allineati,
allora le tre tangenti comuni si incontrano in un punto.