Contratti indicizzati a tassi di interesse

MEBS
Lecture 1
Contratti indicizzati a tassi di
interesse
MEBS, lezioni
Roberto Renò
Università di Siena
1.1
Introduzione
Ambiente di lavoro: i contratti su tassi di interesse (bond market).
Contratti standard: zero coupon bond (BOT, corporate bond), contratti
a cedola fissa (BPT).
Questi contratti vengono valutati in assenza di arbitraggio con metodi
standard. Gli importi sono deterministici su di uno scadenzario prefissato,
non c’e’ aleatorietà dei pagamenti.
Nota bene. In realtà c’è nascosta una fonte di aleatorietà: la possibilità
di insolvenza (default).
Contratti indicizzati
I contratti indicizzati si distinguono dalle tipologie precedenti per il
fatto che, mentre lo scadenzario resta prefissato, gli importi sono aleatori.
L’aleatorietà degli importi viene parametrizzata ad un tasso di interesse
contrattato sul mercato (meccanismo di indicizzazione).
Esempi di questo tipo dei contratti, sui quali torneremo in seguito, sono
i CCT, i mutui a tasso variabile e gli interest rate swap.
1
1.2
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Definiamo con v(t, s) il prezzo di un TCN unitario emesso in t e pagato
in s.
1.3
TCNi
Il TCN è l’oggetto fondamentale per la struttura a termine dei tassi di
interesse. Ogni tipologia di contratto può essere espressa come combinazione lineare di TCN.
Introduciamo un concetto analogo per i contratti indicizzati: il TCNi
(Titolo a Cedola Nulla indicizzato).
Consideriamo tre istanti di tempo, t < T < s. Il TCNi unitario emesso
in t prevede il pagamento in s dell’importo monetario:
XT,s =
1
v(T, s)
Nota: il valore del contratto è aleatorio perché sarà noto solo in T .
1.4
TCNi
Il TCNi corrisponde in s il capitale unitario rivalutato secondo gli interessi fra T e s; in pratica ci si impegna a pagare antecedentemente un
tasso di interesse incognito. Il periodo T, s prende il nome di periodo di
indicizzazione.
Nota bene: in sede contrattuale, occorre specificare con attenzione
come si intende misurare v(T, s) (BOT, Libor, ecc.).
Nota: stiamo trattando il caso di indicizzazione puntuale (l’istante di
inizio del periodo di indicizzazione coincide con la lettura del tasso di interesse) e sincrona (il pagamento dell’importo avviene alla fine del periodo
di indicizzazione).
1.5
TCNi: un esempio
Sia t = 0, T = 1, s = 2 anni. Si stabilisce contrattualmente che j(T, s) =
1
− 1 è il rendimento del BOT a tre mesi emesso in T ed espresso su
v(T,s)
base annua.
Pertanto, se j(1, 2) = 4% il TCNi corrisponderà in s 1.04, se j(1, 2) =
5% il TCNi corrisponderà in s 1.05.
Come si valuta questo contratto in t? L’importo in s è aleatorio, pertanto non si possono usare risultati standard.
c
Roberto Renò, 2003
2
1.6
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Valutazione dei TCNi
Il problema della valutazione del TCNi è risolto dal seguente: Teorema: (di valutazione del TCNi unitario)Sotto l’ipotesi di assenza di arbitraggio, il TCNi contrattato in t, con periodo di indicizzazione T, s ha lo
stesso valore del TCN di pari capitale nominale emesso in t e con scadenza
in T . In formule, per il TCNi unitario:
V (t, XT,s ) = v(t, T )
mentre per un capitale nominale qualsiasi si ha:
V (t,CXT,s ) = Cv(t, T )
che estende la proprietà di indipendenza dall’importo. Analogamente si
estende la proprietà di linearità del prezzo.
1.7
Valutazione del TCNi
Il TCNi è a tutti gli effetti un contratto derivato in cui il sottostante è il
tasso di interesse.
L’acquisto di un TCNi unitario è equivalente all’acquisto di un TCN
che scade in T , più un progetto di reinvestimento futuro dell’intero capitale. Per questo motivo il TCNi si chiama anche titolo di reinvestimento.
Nota infine che la proprietà di assenza di arbitraggio rende inutili ipotesi
sulla distribuzione di v(T, s).
1.8
Soluzione dell’esempio
Riprendiamo l’esempio precedente. Sia t = 0, T = 1, s = 2 anni. Si
1
stabilisce contrattualmente che j(T, s) = v(T,s)
− 1 è il rendimento del BOT
a tre mesi emesso in T ed espresso su base annua.
Pertanto, se j(1, 2) = 4% il TCNi corrisponderà in s 1.04, se j(1, 2) =
5% il TCNi corrisponderà in s 1.05. Se si osserva in t un BOT a un anno
con j(0, 1) = 5%, allora il valore del TCN è
V (t, XT,s ) =
1
= 0.95238095,
1.05
indipendentemente dal rendimento del BOT che si osserverà in T .
c
Roberto Renò, 2003
1.9
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MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Cedola indicizzata
Si chiama cedola indicizzata unitaria l’importo:
cT,s = XT,s − 1
La cedola indicizzata è sicuramente positiva, perché pur se aleatorio
siamo sicuri che j(T, s) > 0, da cui XT,s > 1.
La cedola indicizzata rappresenta la quota interesse (aleatoria) prodotta
dal contratto indicizzato.
La valutazione della cedola indicizzata è semplice:
V (t, cT,s ) = v(t, T ) − v(t, s)
Il fatto che la cedola indicizzata è positiva esprime quindi in maniera diversa la proprietà di decrescenza rispetto alla scadenza.
1.10
Spread
In sede contrattuale, può avvenire che alla cedola indicizzata venga
aggiunto un importo σ (percentuale) noto in t, detto spread.
Lo spread può essere legato al premio per il rischio di fallimento dell’emettitore:
ad esempio, rispetto allo stato italiano, un azienda che emette corporate
bond aggiunge uno spread per premiare il rischio del contraente.
La valutazione della cedola indicizzata con spread è:
V (t, cT,s + σ ) = v(t, T ) − v(t, s) + σ v(t, s) =
= v(t, T ) − (1 − σ )v(t, s)
1.11
Esempio
Riprendiamo l’esempio precedente. Sia t = 0, T = 1, s = 2 anni.
Se si osserva in t un BOT a un anno con j(0, 1) = 5%, allora il valore
del TCN è
1
V (t, XT,s ) =
= 0.95238095,
1.05
indipendentemente dal rendimento del BOT che si osserverà in T .
c
Roberto Renò, 2003
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1.12
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Esempio
Se, in t si osserva un BOT a due anni con j(0, 2) = 9%, allora il valore
della cedola indicizzata è:
1
1
−
= 0.03494976
1.05 1.09
Se si aggiunge uno spread del 2%, allora il valore della cedola indicizzata con spread è:
V (t, cT,s ) =
V (t, cT,s + σ ) = 0.03494976 + 0.02
1
= 0.053298384
1.09
1.13
Titolo a Tasso Variabile
Un titolo a tasso variabile (TTV) è il corrispettivo di un titolo a cedola
fissa, nel quale le cedole siano indicizzate.
Si parla di un titolo perfettamente indicizzato quando lo spread è nullo
e tutte le cedole sono indicizzate in maniera puntuale e sincrona.
Considero lo scadenzario {t0 , . . . ,tm } e sia C il capitale di riferimento.
Il TTV è emesso in t0 e scade in tm . Ad ogni scadenza viene corrisposta
una cedola Ik pari a:
Ik = C · j(tk−1 ,tk )
Alla data di scadenza viene rimborsato C + Im .
1.14
Valutazione del TTV
Per valutare il TTV si segue la stessa strategia che porta alla valutazione
dei titoli con cedola: esprimere il TTV come combinazione dei TCNi.
Sia t < t0 la data nella quale vogliamo valutare il TTV. Dalla proprietà
di linearità del prezzo si ha:
m
VT TV (t) =
∑ V (t, Ik ) +Cv(t,tm)
k=1
1.15
Valutazione del TTV
Utilizzando le formule di valutazione viste in precedenza abbiamo:
m
VT TV (t) =
∑ V (t,Cct
k−1 ,tk
) +Cv(t,tm ) =
k=1
c
Roberto Renò, 2003
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MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
m
= C ∑ [v(t,tk−1 ) − v(t,tk )] +Cv(t,tm )
k=1
1.16
Valutazione del TTV
Ora è facile rendersi conto che nella sommatoria i termini v(t,tk ) compaiono con segni opposti e pertanto si elidono. Rimangono solo il primo e
l’ultimo, pertanto:
VT TV (t) = C [v(t,t0 ) − v(t,tm )] +Cv(t,tm ) = Cv(t,t0 )
Pertanto il TTV perfettamente indicizzato, valutato prima dell’emissione,
è equivalente ad un TCN con lo stesso capitale nominale con scadenza pari
alla data di emissione del TTV.
In particolare vale il seguente importante risultato: Il TTV perfettamente indicizzato quota alla pari all’emissione.
1.17
Valutazione del TTV
Il ragionamento nel caso che t > t0 è analogo. Sia ad esempio t0 < t <
t1 . Si ha allora:
m
VT TV (t) = I1 v(t,t1 ) + ∑ V (t,Cctk−1 ,tk ) +Cv(t,tm ),
k=2
in quanto la prima cedola è già nota mentre le altre sono aleatorie.
Il risultato finale è:
VT TV (t) = (C + I1 )v(t,t1 )
Nel caso generale, basta rendersi conto che il TTV quota alla pari ad ogni
data di stacco delle cedole. Basterà ripetere il ragionamento identificando
con t1 la data di pagamento della prossima cedola e t0 quella della cedola
precedente.
Esempio
Consideriamo un TTV su di uno scadenziario semestrale, con C = 100,
e indicizzazione regolata al tasso BOT a sei mesi.
Il valore del TTV all’emissione è 100.
c
Roberto Renò, 2003
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1.18
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Il valore del TTV un anno prima dell’emissione, dipende dal valore
del BOT a un anno rilevato all’istante della valutazione. Se ad esempio
j(t,t0 ) = 3%, allora:
VT TV (t) =
100
= 97.087379
1.03
1.19
Esempio
Tre mesi dopo l’emissione, se I1 = 1.5, rilevando dal BOT a tre mesi
j(0.25, 0.5) = 3.5% si ha
VT TV (t) =
101.5
= 98.067633
1.035
Analogamente si procede in istanti diversi.
1.20
TTV con spread
Nel caso di TTV con spread ad ogni cedola, il ragionamento è analogo
anche se più complesso. Ogni cedola indicizzata diviene:
Ik = C(ctk−1 ,tk + σk )
La valutazione si ottiene decomponendo il TTV nella sua parte aleatoria
con quella deterministica dovuto allo spread. Varrà quindi, per t ≤ t0 e nel
caso di spread costante ad ogni cedola e pari a σ :
m
VT TV (t, σ ) = Cv(t,t0 ) +Cσ
∑ v(t,tk )
k=1
1.21
TTV con spread
Per istanti intermedi varrà:
m
VT TV (t, σ ) = (C + In )v(t,tn ) +Cσ
∑
v(t,tk )
k=n+1
dove tn è l’istante precedente, nello scadenzario, al distacco della prossima
cedola, con l’accortezza di sosituire C a C +In subito dopo lo stacco dell’ultima
cedola.
c
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1.22
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
CCT e mutui a tasso variabile
Un esempio importante di contratto indicizzato sono i Certificati di
Credito del Tesoro (CCT). Nella loro più recente versione, essi sono TTV
con spread, solitamente con vita a scadenza di sette anni. In genere vengono indicizzati ai rendimenti dei BOT con vita a scadenza pari all’intervallo
fra cedole, rilevati alle aste.
Un altro esempio rilevante è il Mutuo a Tasso Variabile (MTV), nel
quale le quote interesse di ogni rata sono cedole indicizzate riferite ad un
nominale pari al debito residuo dopo il pagamento della rata precedente.
Il flusso di pagamenti è dato quindi da una parte nota (la quota capitale)
e una aleatoria (la quota interesse).
1.23
Mutui a tasso variabile
Sia S il debito iniziale. Ad ogni istante sia Ck la quota capitale, prefissata, e Ik la quota interesse, aleatoria. La rata è Rk = Ck + Ik . Nella pratica
bancaria, il piano di ammortamento viene compilato definendo esogenamente le quote capitale, la cui somma coincide con S. In questo modo
rimangono fissati i debiti residui, che sono i nominali di riferimento per
l’indicizzazione.
Esempio: Consideriamo un mutuo a cedola annuale e durata 10 anni,
con S = 120. Supponiamo che per i primi 4 anni si abbia C = 15 e poi
C = 10. Il nominale all’emissione è 100; dopo 4 anni è 60, al nono anno è
10.
1.24
Valutazione di mutui a tasso variabile
Per la valutazione si segue la stessa linea di ragionamento percorsa per
il TTV. Se t < t0
m
VMTV (t) =
m
∑ V (t, Rk ) = ∑ V (t,Ck + Mk−1ct
k=1
k−1 ,tk
)=
k=1
m
=
∑ {Ck v(t,tk ) + Mk−1 [v(t,tk−1) − v(t,tk )]}
k=1
Raccogliendo si ottiene:
VMTV (t) = Sv(t,t0 )
1.25
c
Roberto Renò, 2003
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MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Valutazione di mutui a tasso variabile
Se invece t0 < t < t1 , ragionando come prima si ha:
VMTV (t) = (S + I1 )v(t,t1 )
Quindi alla data di emissione il valore del flusso rateale di un MTV
perfettamente indicizato è uguale al debito contratto.
In un istante intermedio, tk ≤ t < tk+1 , si ha invece:
VMTV (t) = (Mk + Ik+1 )v(t,tk+1 )
1.26
Duration di contratti indicizzati
Nel caso di contratti indicizzati la definizione di duration classica (di
Macaulay) non può essere applicata tout court per via dell’aleatorietà del
contratto.
Tuttavia, la duration può essere definita con coerenza utilizzando i teoremi di valutazione che forniscono delle relazioni fra contratti indicizzati
e contratti con pagamenti prefissati.
Definiamo quindi la duration di un contratto indicizzato pari alla duration del contratto non indicizzato che ha lo stesso valore.
1.27
Duration di un TCNi
Un TCNi, emesso in t e con periodo di indicizzazione T, s, è equivalente ad un TCN che scade in T ; pertanto definiamo la sua duration pari a
T.
Nel caso di un TTV perfettamente indicizzato, la duration è data dal
tempo che intercorre fra l’istante di valutazione e lo stacco della cedola
più vicina. Questo risultato non dipende dalla durata effettiva del titolo:
allo stacco della cedola il TTV quota alla pari e quindi il rischio è limitato
al periodo precedente.
Allo stacco, la duration di un contratto perfettamente indicizzato è
nulla: è quindi nullo il rischio per uno shift additivo della curva dei tassi,
che è esattamente la proprietà richiesta ad un contratto perfettamente indicizzato.
Duration in presenza di spread
c
Roberto Renò, 2003
9
1.28
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
In presenza di spread, la duration si può definire dalla decomposizione
in un contratto indicizzato e in uno a pagamenti noti.
In generale, se t0 ≤ t < t1 si ha:
m
(t1 − t)(C + I1 )v(t,t1 ) +Cσ
D(t) =
∑ (tk − t)v(t,tk )
k=2
V (t)
La duration di un contratto con spread è più elevata di quella di un analogo
contratto senza spread, come l’intuizione suggerisce.
Analoghi ragionamenti possono essere ripetuti per i momenti di ordine
superiore.
1.29
Gli interest rate swap
Gli interest rate swap costituiscono una particolare tipologia di contratti
indicizzati.
Tratteremo solo il caso più semplice, denominato plain vanilla.
Il contratto prevede lo scambio, da parte di due controparti, di cedole
fisse e di cedole indicizzate rispetto allo stesso capitale nominale.
Tipicamente questo contratto è periodico e a periodicità annuale.
1.30
Tassi swap
Il tasso delle cedole fisse prende il nome di tasso swap, il suo corrispettivo flusso di pagamenti si chiama fixed leg.
Il tasso delle cedole indicizzate viene rilevato secondo un meccanismo
stabilito contrattualmente, come per i contratti indicizzati. Il suo flusso di
pagamenti si chiama variable leg.
Il mercato dei tassi swap è il mercato più liquido su tassi di interesse
per maturità superiori ad un anno.
Il contratto di swap
L’attivazione di un contratto swap non richiede costi iniziali per le controparti. Chi decide di corrispondere il tasso fisso crede in una salita dei
tassi e viceversa.
c
Roberto Renò, 2003
10
1.31
MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
L’equità del contratto viene garantita calibrando il tasso swap. In tale
calibrazione, si tiene in genere anche conto della qualità creditizia della
controparte.
La calibrazione del tasso swap avviene imponendo l’uguaglianza in
valore della gamba fissa e della gamba variabile.
1.32
Valutazione di uno swap
È utile notare come un contratto swap sia equivalente allo scambio di
un TTV con un TCF di pari capitale nominale C.
Il valore in t0 del TTV è C, mentre quello del TCF è:
m
VTCF (t0 ) = iC ∑ v(t0 ,t0 + k) +Cv(t0 ,t0 + m)
k=1
1.33
Valutazione di uno swap
Imponendo l’uguaglianza si ottiene:
i=
1 − v(t0 ,t0 + m)
m
∑ v(t0,t0 + k)
i=1
che esprime il tasso swap di parità in funzione della struttura per scadenza
osservata. Esso non dipende né dal nominale, né dalla periodicità di
pagamento delle cedole. Indicheremo perciò il tasso swap con isw (t0 ; m).
1.34
Struttura per scadenza
Nel mercato, è più comune rilevare la struttura per scadenza dai tassi
swap che, per esempio, dai tassi zero coupon, per i motivi di liquidità di
tale contratto.
I tassi a tutte le scadenze sono impliciti nel tasso swap dalla relazione:
i=
1 − v(t0 ,t0 + m)
m
∑ v(t0,t0 + k)
i=1
=
1 − [1 + i(t,t + m)]−m
m
∑ [1 + i(t,t + k)]−k
i=1
1.35
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MEBS, Contratti indicizzati a tassi di interesse
Struttura per scadenza
Supponendo di conoscere tutti i tassi swap, i tassi impliciti possono
essere calcolati ricorsivamente.
Nota: in genere i tassi così ricavati sono più alti dei tassi zero coupon.
Perché?
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Roberto Renò, 2003
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1.36