Instabilità elastica

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Instabilità elastica
In alcuni casi una struttura soggetta a carichi statici può collassare con
un meccanismo diverso da quello del superamento dei limiti di resistenza
del materiale.
Uno di questi casi è rappresentato dal cedimento in elementi di strutture
soggetti a carichi di compressione che danno luogo ad instabilità elastica
Tale collasso è particolarmente pericoloso poiché avviene a carichi inferiori
a quelli limite del materiale e, in vari casi, senza preavviso.
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Instabilità elastica
In pratica alcune combinazioni di geometria e carico danno luogo ad instabilità
instabilità.
Spostamenti e rotazioni non sono linearmente proporzionali con il carico
Esempi
p nella p
progettazione
g
di componenti
p
meccanici:
biella
molle ad elica
viti di trasmissione
All’aumentare della lunghezza del componente, il ruolo della geometria e
della rigidezza diventa cruciale nell’assicurare la resistenza
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Instabilità elastica
Il caso più semplice di elementi soggetti a carico di punta è quello dell’asta di
Eulero:
P
Condizioni iniziali:
P
trave perfettamente rettilinea
sollecitata a compressione
carico perfettamente assiale
omogenea
tensioni entro il limite elastico
L
Le
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Si definisce carico critico ((Pcr) quel
q
carico limite oltre il q
quale se si verifica
anche un minimo movimento dell’asta, o dei supporti o del carico, la struttura
collassa .
x
P
P
y
x
L
y
y
M
P’
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soluzione
l i
generale:
l
che ovviamente dipenderà dalle condizioni al contorno
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formula di Eulero
per P < P cr
situazione stabile Æ configurazione rettilinea
con A = area sezione trave
e
w = raggio inerzia (di A)
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per un acciaio strutturale:
σ snerv. = 250 MPa
E = 200 GPa
350
300
250
σ
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
L/r
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Il carico unitario ha le stesse dimensioni di una sollecitazione ma si tratta
della resistenza di un’asta
un asta specifica non del materiale
materiale.
Raddoppiare la lunghezza (ad esempio) ha un drastico effetto sul valore del
carico unitario ma non influenza in alcun modo la resistenza del materiale di
cui è fatta l’asta
Il carico critico unitario dipende solo dal modulo di elasticità e dalla snellezza
e NON dal carico di snervamento o di rottura del materiale
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per differenti condizioni al contorno:
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Nella progettazione di aste sottoposte a compressione, il progettista cercherà
di fissare le estremità nel modo più opportuno per realizzare le condizioni di
vincolo desiderate (utilizzando ad es. saldature, perni, bulloni ecc.)
Si è visto sperimentalmente che si possono verificare collassi (a causa di
eccentricità del carico e deformazioni localizzate) anche sotto la curva di Eulero
in prossimità del punto di intersezione con la retta di snervamento, perciò tale
motivo quando la snellezza è prossima a valori vicini al punto di intersezione
motivo,
suddetto, non si dovrebbe impiegare né la curva di Eulero né il metodo di
compressione semplice
Un possibile approccio è quello di scegliere un generico punto T sulla curva e
impiegare la relazione di Eulero solo se la snellezza è superiore a quella
corrispondente
p
al p
punto T. In caso contrario si devono utilizzare delle tecniche
alternative
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Per tenere conto delle evidenze sperimentali (che riportavano collassi anche per
combinazioni ‘carico
carico critico-snellezza
critico snellezza’teoricamente
teoricamente sicure
sicure, sono state proposte
alcune modifiche empiriche alla relazione di Eulero•Una delle più utilizzate è la
cosiddetta formula parabolica proposta da J.B. Johnson
la parabola è sempre tangente alla curva di Eulero nel punto
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Il punto di tangenza può aiutare a
distinguere le travi “intermedie”
(campo parabolico di Johnson) da
quelle “lunghe” (campo Euleriano)
Le travi “corte” sono
comunemente definite come
quelle aventi snellezza inferiore a
10 In
10.
I questo
t caso il carico
i
unitario critico può essere assunto
pari alla tensione di snervamento
A volte i coefficienti della parabola
di Johnson vengono variati per
trovare un migliore accordo con i
dati sperimentali
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Travi “tozze”
α=1
Eulero
Johnson
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Esempi
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