ragionamento proporzionale e intuizione o, la proporzionalita ei suoi

RAGIONAMENTO PROPORZIONALE E INTUIZIONE
O, LA PROPORZIONALITA E I SUOI TRANELLI1
INTRODUZIONE
La proporzionalità è uno dei temi principali dei programmi di matematica dalla fine della
scuola primaria ai primi livelli di scuola secondaria (da 10 a 15 anni). Nella tradizione dei
secoli XIX e XX, essa ha anche rappresentato uno dei capitoli per portare a termine la
scolarità obbligatoria. «Applicare la regola del tre» era una competenza attestante una
buona formazione nel calcolo, che permetteva di risolvere la gran parte delle situazioni
numeriche incontrate nella vita pratica del cittadino: percentuali, scale, miscugli, tassi
d’interesse, densità, velocità, ecc. La proporzionalità è comunque una nozione complessa
che mette in opera conoscenze sui numeri ben elaborate, che esige padronanza dei
concetti di moltiplicazione e divisione, e che fa appello a un repertorio esteso di
situazioni dell’ambito della linearità.
Gli allievi, da parte loro, non aspettano di saper calcolare dei rapporti, né di conoscere i
numeri razionali per lanciarsi nella risoluzione di problemi nei quali interviene la
proporzionalità. Lo fanno anche senza verificare se il loro ragionamento è adeguato al
contesto della situazione. Dal momento in cui essi percepiscono l’esistenza di due
grandezze distinte in gioco, cercano delle regolarità tra le due successioni numeriche
corrispondenti, riportano, dall’una all’altra, per analogia, certe operazioni elementari
come l’addizione, la sottrazione o la moltiplicazione. Il cammino è lungo, partendo
dall’intuizione, per arrivare all’applicazione cosciente delle proprietà della linearità. Esso
passa attraverso confusioni, false piste, verifiche insufficienti.
Dal punto di vista dell’insegnante, è necessario conoscere gli ostacoli e gli errori
caratteristici dei bambini, ma talvolta anche degli adulti, sul cammino della
proporzionalità, al fine di poter costruire delle progressioni che tengano conto del livello
di sviluppo e delle capacità degli allievi.
Questo articolo vuol essere un contributo ad una migliore conoscenza di tali difficoltà: a
partire da qualche errore caratteristico e da un richiamo delle proprietà della
proporzionalità, vengono presi in esame i ragionamenti degli allievi tramite uno studio di
un caso per arrivare a proporre qualche raccomandazione per una pratica di classe.
I – QUALCHE ERRORE CARATTERISTICO
Esempio 1. Pista di atletica (Cramer K, et all., 1993)
Giulia e Elena corrono alla stessa velocità su una pista di atletica. Giulia è partita prima.
Nel momento in cui ha fatto 9 giri, Elena ne ha fatto 3.
Quanti giri avrà fatto Giulia quando Elena ne avrà fatto 15?
1
In L’educazione matematica 2004
2
Cramer, Post, Currier hanno proposto questo problema a 33 futuri maestri.
Tutti, salvo uno, hanno risolto il problema cercando il numero sconosciuto risolvendo
l’equazione 9/5 = x/15 per ottenere x = 45. Mentre la situazione è di tipo “affine” non
lineare e la soluzione è, evidentemente 15 + (9 - 3) = 21
8 cm
3 cm
7 cm
5c
m
5c
m
L'
insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:
«A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di
6 cm
5 cm
ciascun gruppo riceve uno dei quattro pezzi. Poiché ogni
gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,
B
A
- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di fare un
ingrandimento del proprio pezzo in modo da poter
ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
C
- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle
D
ingrandito.
Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul
3 cm
8 cm
metodo da seguire. »
4 cm
Esempio 2. Il puzzle (Brousseau, 1981)
Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la concezione (additiva) erronea del tipo:
Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'
ingrandimento richiesto.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario rinunciare alla concezione additiva
(erronea) della situazione (Grugnetti, 1996).
Esempio 3. Il vecchio contachilometri 2
Alfonso ha sulla sua automobile un vecchio contachilometri che fa degli strani rumori a
ogni chilometro, ogni volta che compare una nuova cifra. Il contachilometri
fa “cric” ogni volta che cambia la cifra di destra,
fa “crac” ogni volta che cambia la cifra di mezzo,
fa “rrmt” ogni volta che cambia la cifra di sinistra.
Oggi Alfonso va a fare una gita in automobile.
Egli mette a zero il suo contachilometri:
Ecco il contachilometri dopo 13 chilometri.
Ha già fatto 14 rumori: 13 “cric” e 1 “crac”:
0
0
0
0
1
3
Alla fine della gita, Alfonso ha sentito in tutto 140 rumori.
Quanti chilometri ha percorso Alfonso?
Spiegate come li avete trovati.
A questa domanda, la maggior parte dei gruppi ha risposto 130 km.
Hanno fatto:
14 rumori –>
13 km
140 rumori –>
130 km
È tanto più semplice!
2
11° RMT (2003), prova I, problema 9, cat. 5 - 6.
3
Esempio 4.Griglie3
Da una griglia all’altra, si aggiunge una riga e una colonna di quadrati.
....
3 carrés
8 carrés
15 carrés
24 carrés
Continuando così, si troverà una griglia di 120 quadrati?
E una griglia di 240 quadrati?
Spiegate il vostro ragionamento.
L’analisi dei risultati (Jaquet, 2000) ha fatto emergere, tra le diverse procedure e
strategie, un ragionamento frequente - che si sviluppa nell’ambiente numerico - dove
l’ostacolo del «modello esclusivo di linearità» interferisce con la ricerca e conduce ad
una soluzione errata:
- Abbiamo disegnato i quadrati fino a quello di 120; calcolando il doppio di 120 il
risultato è 240. Quindi si trovano tutti e due i numeri.
O ancora, in modo meno esplicito ma con la stessa concezione, i numeri della
successione sono calcolati nella prima parte, poi il modello di linearità ha la meglio:
- Nous avons fait cela jusqu’à 120 (disegno e calcoli per ogni figura) oui, on peut trouver
une grille de 240 carrés. Il faut faire cela par rapport au précédent.
Esempio 5. Altezze (Chastellain, Jaquet, 2001)
Ophélie era alta 83 cm a 2 anni e 1,66 m a 16 anni.
Puoi dire quanto è alta Ophélie oggi, che compie 32 anni?
E quanto era alta a 1 anno, 4 anni, 8 anni?
In una sperimentazione (Dumas, Jaquet, 2001) in una classe di 19 allievi di quinta
elementare, sono state ottenute le seguenti risposte: altezza a 1 anno: 41,5 cm (15);
altezza a 4 anni:166 cm o 1,66 m (9); altezza a 8 anni: 332 cm (7); altezza a 32 anni: 332
cm (6) o superiore (7). Un solo allievo ha detto che «il problema è impossibile».
La relazione tra l’età e l’altezza di una persona non è lineare, come ben sappiamo.
L’enunciato, però, con la scelta dei dati e delle domande può indurre l’allievo che non
analizza in modo critico le sue risposte, ad applicare meccanicamente le proprietà della
linearità, tanto più che l’effetto del contratto didattico lo spinge a dare una risposta alle
domande, malgrado le contraddizioni che appaiono, nei calcoli, per 4 anni e per 8 anni.
Una seconda sperimentazione (Vernex, Jaquet, di prossima pubblicazione), in una classe
di 22 allievi di “sesta elementare” ha evidenziato una evoluzione significativa:
La metà degli allievi ha espresso un dubbio sui risultati trovati senza tuttavia rinunciare ai
calcoli dello stesso tipo, mettendo ugualmente in opera le proprietà di linearità.
3
8° RMT (2000), prova II, problema 5, cat. 3 - 4 - 5.
4
Esempio 6. La roulette (Van Dooren et all., 2003)
Alla roulette, Didier punta ad ogni giro sullo stesso numero porta fortuna, O. Peccato,
dopo 20 giri non ha ancora vinto niente.
Si dice «Non posso fermarmi adesso! Bisogna che continui fino al giro 37, perché ci sono
37 numeri possibili e dunque ho, ad ogni giro, una possibilità su 37 di vincere. Se gioco
37 volte sono quasi sicuro al 100% che il mio numero uscirà una volta.»
Che cosa ne pensate?
Esempio 7. Il «paradosso dei compleanni» (Van Dooren et all., 2003)
In una classe ci sono 30 allievi.
Qual è la probabilità che almeno due di essi abbiano il compleanno nello stesso
giorno?
E per una classe di 60 allievi, quale diventerà questa probabilità?
In questi due casi e, più in generale in tutto questo campo concettuale, il concetto di
probabilità è molto legato a quello di «rapporto», «frequenza relativa».
Per esempio, per La roulette, la probabilità di vincere almeno una volta in n puntate è
rappresentata dalla funzione : n → 1 - (36/37)n, che può essere assimilata ad una funzione
lineare solo per valori piccoli della variabile n, come mostra la figura 1.
Fig. 1
2. LE PROPRIETA DELLA PROPORZIONALITA
Per il matematico, la proporzionalità è assimilata alla «funzione lineare», definita
secondo una delle due modalità:
∀x ∈ R
x––––> f(x) = ax , a ∈ R
∀x ∈ R
x––––> f(x), tale che:
(A)
f(kx) = k(f(x))
(B)
e
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
(C)
Per l’insegnante di matematica e per i manuali scolastici, la proporzionalità è definita
come una relazione tra due successioni di numeri.
Per esempio, secondo Charnay e Mante (1996), due successioni di numeri reali (con lo
stesso numero di termini) sono proporzionali se si può passare da ogni terna della prima
alla terna corrispondente della seconda utilizzando un operatore moltiplicativo. Questi
autori evidenziano allora qualche proprietà delle successioni proporzionali:
5
1 proprietà relativa all’ordine: per i numeri positivi, la proporzionalità rispetta l’ordine
(se una delle successioni è sistemata in un certo ordine, crescente o decrescente,
l’altra è sistemata nello stesso ordine).
2. proprietà dei rapporti uguali o del coefficiente di proporzionalità (che dipende dalla
definizione): i rapporti di tutti i termini corrispondenti sono uguali, si tratta del
coefficiente.
(A)
x 22,5
16
24
28
36
...
x
360
540
630
810
...
ax
x 1/ a
xa
3. proprietà additiva della somma: la somma di due termini corrisponde alla somma dei
due termini corrispondenti.
(C)
+
x 22,5
16
24
28
36
40
...
x
360
540
630
810
900
...
ax
+
xa
4. proprietà moltiplicativa o del prodotto: il prodotto di un termine per un fattore k
corrisponde al prodotto del termine corrispondente per il medesimo fattore k
x k
x2
x 22,5
16
24
32
...
x
kx
360
540
720
...
ax
k(ax) = a(kx)
xa
x k
x2
5. proprietà (additiva) della differenza o degli scarti (valida anche per la funzione
affine!!): a scarti uguali tra termini della prima successione corrispondono scarti
uguali tra i termini corrispondenti della seconda.
(C’)
x 22,5
δ
8
8
16
24
28
36
x
x+δ
360
540
630
810
ax
ax+aδ = a(x+d)
180
180
xa
aδ
6. proprietà grafiche
la rappresentazione grafica di una funzione lineare è una retta, come per la
funzione affine, ma che passa per l’origine (0;0).
Per l’allievo: la proporzionalità è percepita in maniera intuitiva, ben prima del suo studio
in classe e in rapporto stretto con la sua progressione nel campo concettuale della
6
moltiplicazione. Sembra che, dopo aver identificato le due grandezze in gioco, ciascuna
nel suo «spazio di misura», egli cerchi di riprodurre delle regolarità osservate, da una
successione sull’altra.
Le proprietà più semplici da utilizzare sono quelle di ordine, a carattere qualitativo, poi
quella della differenza. Vengono poi le proprietà del prodotto, della somma dove le
operazioni effettuate sui numeri di una successione sono riprodotte sui numeri
corrispondenti dell’altra, cosa che Vergnaud (1981), indica come «omomorfismo di
misura».
La proprietà del coefficiente di proporzionalità è l’ultima ad essere disponibile, perché
dipende dalla padronanza dell’operazione inversa della moltiplicazione e dei numeri
razionali, sotto forma di frazioni o di scritture decimali.
3. STUDIO DI UN CASO
3.1. Decorazioni4
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro5.
Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18 barattoli di rosso per una
figura, 21 barattoli di blu per un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura
ancora e alcuni barattoli di nero per la figura che resta. Alla fine del suo lavoro, tutti i
barattoli erano vuoti.
Indicate il colore di ogni figura.
Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Spiegate come avete trovato la risposta.
Questo problema è stato risolto da allievi da 10 a 12 anni senza che facessero intervenire
altre proprietà della proporzionalità oltre quelle dell’ordine e della differenza. (Si veda
Vernex, 2001).
È stato trasformato ed è diventato Tartufi al cioccolato per la finale dell’undicesimo
RMT, e sperimentato a Ginevra da Vernex (2004) in quattro classi di quinta e sesta (10 e
11 anni) con valori un po’ più semplici di quelli della versione RMT.
4
9° RMT (2001), prova II, problema 9, cat. 4 - 5 - 6.
Nella versione francese del problema figura anche la frase “chacune avec une couche de peinture de la même
épaisseur ».
5
7
3.2. Tartufi al cioccolato6
Ecco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte lo stesso tipo di tartufi al
cioccolato:
Classico
Alternato
Piccolo
Ed ecco le etichette che indicano il peso del contenuto,
600g
da incollare sulle confezioni:
Ma queste etichette non sono in ordine e ne manca una.
Tribù
700g
900g
Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta e indicate il suo peso.
Spiegate il vostro ragionamento.
Analisi del compito
Per risolvere questo problema, bisogna rendersi conto, in una prima fase, che siamo in
presenza di due «grandezze»: i tartufi, dati con il loro numero, e i pesi corrispondenti,
indicati sulle etichette.
Nella seconda fase, si trovano i valori della prima grandezza contando il numero dei
tartufi contenuti in ciascuna scatola. Si ottiene:
Classico
Alternato
Piccolo
Tribù
24
28
16
36
I valori dei pesi sono indicati, ma ne manca uno!! Di conseguenza non si sa a quale
scatola associare l’etichetta opportuna, o a quale scatola corrisponde l’etichetta mancante.
È in questo aspetto che risiede l’originalità del problema.
Tradizionalmente, nella maggior parte dei problemi di proporzionalità, se non in tutti, le
corrispondenze sono date dall’enunciato. (Per esempio: Il contenuto di una scatola con
24 tartufi pesa 600 grammi, quanto pesa il contenuto di una scatola con 28, 16, 36
tartufi?).
La terza tappa della risoluzione consiste dunque nell’associare le tre etichette alla loro
scatola. Per far questo bisogna ordinare le due serie date: i numeri - 16, 24, 28, 36 – e i
pesi - 600, 700 e 900 – poi emettere delle ipotesi sulle corrispondenze e verificarle.
L’analisi delle procedure che seguono può chiarire questo lavoro di ipotesi e di verifica.
L’ultima tappa consiste nel ricercare i pesi dei tartufi della scatola senza etichetta.
Per queste ultime due fasi, ci si situa nel campo della proporzionalità e gli allievi possono
procedere secondo l’uno o l’altro dei metodi seguenti:
6
11° RMT (2003), finale, problema 11, cat. 6 - 7 - 8. Versione semplificata per la sperimentazione di M.
Vernex in classi di livello 5 e 6: 600, 700 e 900 g al posto di 540, 630 e 810 della versione originale.
8
a) Determinare il «coefficiente di proporzionalità» o il peso di un tartufo, per tentativi e
verifiche successive:
Il quoziente «peso della scatola/numero dei tartufi» dà il peso di un tartufo (25 g).
b) Utilizzare la proprietà moltiplicativa della linearità: calcolo del numero di tartufi per
100 g: il quoziente «numero dei tartufi / peso della scatola in centinaia di grammi » dà
il numero dei tartufi per 100 g (4).
c) Utilizzare una proprietà additiva (delle differenze) della linearità:
16
(20)
24
28
(32)
36
+4
…
(…)
600
700
(…)
900
+ 100
Con uno o l’altro di questi metodi, ci si può rendere conto che la scatola senza etichetta è
Piccolo e che il suo peso è 400 g, senza verificare l’unicità della soluzione.
Sperimentazione e risultati del problema «Tartufi al cioccolato» versione « 600, 700,
900 », di M. Vernex
Questo problema è stato proposto a 4 classi dei livelli 5 e 6 “primaire” di Ginevra. (10-11
anni e 11-12 anni).
Globalmente, la metà degli 82 allievi ha trovato la risposta corretta, ma la riuscita è
significativamente migliore in sesta piuttosto che in quinta. L’interesse, comunque, è
nelle proprietà della proporzionalità messe in opera, implicitamente, per risolvere il
problema.
Abbiamo potuto raggruppare le procedure degli allievi in quattro categorie principali A,
B, C, D, che vengono illustrate qui di seguito con qualche esempio caratteristico, per i
quali sono riprodotte (in corsivo) tutte le operazioni ed osservazioni delle copie
esaminate.
A. Una prima categoria di procedure passa attraverso la ricerca del coefficiente di
proporzionalità (peso di un tartufo). Ecco qualche esempio:
A1. (1 allievo, livello 5)
600 : 24 = 25
600 : 28 = 21,428571
900 : 24 = 37,5
900 : 28 = 32,142851
700 : 24 = 29,16
700 : 28 = 25
600 : 16 = 37,5
600 : 36 = 16,66
900 : 16 = 56,25
900 : 36 = 25
700 : 16 = 43,75
700 : 36 = 19,4
aucun ne convient (nessuno va bene).
Poids d’une truffe (peso di un tartufo) : 25 g
25 x 16 = 400 Réponse
(risposta) : 400 pour PICCOLO (per PICCOLO)
In questo esempio, l’allievo controlla tutti i quozienti dei tre pesi 600, 900 e 700,
rispettivamente per 24, 28, 16 e 36. Egli constata che nei tre gruppi, c’è un quoziente
intero e comune, 25, che non si ritrova nel gruppo dei quozienti per 16: «nessuno va
bene». Egli decide che 25 è il quoziente comune e cerca, in quest’ultimo gruppo il quarto
peso che darà 25 come quoziente per 16.
A2. (8 allievi, livello 6)
A3. (7 allievi, livello 6)
(600 : 16 = 37,5)
900 : 36 = 25 g la truffe
(700 : 24 = 29,16)
25 x 16 = 400 g
9
900 : 36 = 25
25 x 28 = 700 g
700 : 28 = 25
25 x 24 = 600 g
600 : 24 = 25
36 x 25 = 900 g
16 x 25 = 400 g
400 pour PICCOLO
400 pour PICCOLO.
Nel primo di questi due gruppi di allievi, sembra che si ricerchi un quoziente intero e che
se ne faccia in seguito una verifica. Nel secondo, si parte dall’ipotesi che il peso
maggiore è quello della scatola più grande e si verifica poi che il quoziente «25» Va bene
anche per le altre scatole, fra le quali «Piccolo».
A4. (1 allievo, livello 5)
A5. ( 1 allievo, livello 5)
700 : 28 = 25
25 x 28 = 700: Quinconce (Alternato)
600 : 24 = 25
36 x 25 = 900: Tribu
900 : 36 = 25
25 x 24 = 600: Classique
Classique: 24 / 600
Quinconce (Alternato): 28 / 700
Tribu: 36 /900
Questi due gruppi di allievi hanno abbandonato la loro ricerca probabilmente a causa
dell’ostacolo rappresentato dalla divisione..
B. Una seconda categoria di procedure utilizza la proprietà moltiplicativa della
proporzionalità.
Gli allievi vedono, nei pesi dati, dei multipli di 100 e, nel numero dei tartufi
corrispondenti, dei multipli di 4 (numero di tartufi per 100 grammi). Ecco qualche
esempio:
B1. (3 allievi, livello 5)
Classique = 24 truffes : 600 g (6 x 4 = 24)
Quinconce = 28 truffes : 700 g (7 x 4 = 28)
Tribu = 36 truffes : 900 g (9 x 4 = 36)
Donc Piccolo = 16 : 400 g (4 x 4 = 16)
L’étiquette manquante est 400 pour PICCOLO (L’etichetta mancante è 400 per
PICCOLO)
B2. (1 allievo, livello 6)
4 truffes = 100 g
Classique : 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 600 g
Quinconce : 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 =700g
Piccolo : 100 + 100 + 100 + 100 = 400 g
Tribu : 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 900 g
L’étiquette manquante est 400 Pour PICCOLO
C. Una terza categoria di soluzioni utilizza la proprietà «della differenza» della
proporzionalità.
C1. (2 allievi, livello 5)
Entre 28 et 36 d’une part et 16 et 24 d’autre part il y à 8 truffes de différence (Tra 28 e
36 da una parte e 24 dall’altra ci sono 8 tartufi di differenza). Quand il y à 8 truffes de
différence, il y à 200 g (Quando ci sono 8 tartufi di differenza ci sono 200g). Donc 900 –
200 = 700 et 600 – 200 = 400
10
L’étiquette manquante est 400 pour PICCOLO (2 x 5 P)
C2. (1 allievo, livello 6)
8 chocolats = 200 g
Entre 24 et 28, il y à 4 chocolats et entre 600 g et 700 g il y à 100 g
Entre 8 et 36, il y à 8 chocolats et entre 700 g et 900 g il y à 200 g
24 – 16 = 8, 600 – 200 = 400
L’étiquette manquante est 400 Pour PICCOLO
C3. (2 allievi, livello 5)
Tribu : 36 / 900
Piccolo : 16 / 600
Classique 24 / 700
Quinconce : 28 / 750 car il y à une différence de 4
L’étiquette manquante est 750 pour QUINCONCE (ALTERNATO)
In questo caso la differenza di 4 è vista tra 20 e 16, 24 e 20, 28 e 24. Essa corrisponde ad
una differenza di 50 tra 650 e 600, 700 e 650, 750 e 700. Questi allievi non tengono conto
di 36 e di 900.
D. La quarta categoria di soluzioni utilizza la trième catégorie de solutions utilise la
proprietà d’ordine (o delle regolarità delle successioni):
D1. (1 allievo di livello 5 e 2 allievi di livello 6)
Tribu : 36 / 900 (la plus grande)
Quinconce : 28 / 700 (la suivante)
Classique : 24 / 600 (la suivante)
Piccolo : 16 / 400 (beaucoup plus petite que la 600)
L’étiquette manquante est 400 pour PICCOLO
L’ordine è riconosciuto a partire dall’ipotesi 36/900 e gli scarti sono determinati facendo
una stima.
D2. (5 allievi di livello 5 e 5 allievi di livello 6)
Tribu : 36 / 900 g
Quinconce : 28 / 800 g
Classique : 24 / 700 g
Piccolo : 16 / 600 g
L’étiquette manquante est 800 pour QUINCONCE (ALTERNATO)
L’ordine è mantenuto nelle due successioni, con delle differenze costanti nella
successione dei pesi che non corrispondono a quelli della successione dei numeri di
tartufi.
D3. (14 allievi di livello 5, 1 allievo di livello 6)
900 : Tribu
700: Quinconce
600 : Classique
L’étiquette manquante est 320 pour PICCOLO
L’ordine è conservato nelle due successioni, con l’ipotesi «900/Tribù», la risposta «320»
è per lo più giustificata dall’operazione 16 + 16 = 32 che conduce all’errore «320» che
non tiene conto del fattore di proporzionalità ma è una stima plausibile.
11
Nelle altre procedure che si appoggiano solo sull’ordine, si osservano anche risposte
«500» e «300».
3.3. I risultati del problema «Tartufi al cioccolato», versione «540, 630, 810», della
finale dell’11° RMT
I risultati precedenti possono essere confrontati con quelli delle classi della finale delle
finali dell’11° RMT. Gli allievi sono più grandi: livelli 6, 7 e 8 invece di 5 e 6, hanno
lavorato in gruppo e non individualmente, appartengono a classi «selezionate» (sono le
classi vincitrici delle finali regionali). Anche se i valori della variabile didattica «valori
dei pesi» sono leggermente più complessi da gestire con calcoli mentali (540, 630 e 810
in luogo di 600, 700 e 900), i risultati sono evidentemente migliori: la risposta «360 per la
confezione PICCOLO» è data da 50 gruppi di allievi sulle 55 copie esaminate.
A. La grande maggioranza (52 gruppi sui 55) delle procedure passa per la ricerca del
coefficiente di proporzionalità (peso di un tartufo). C’è dunque un’evoluzione
significativa in rapporto aIla sperimentazione precedente, con l’incremento dell’età degli
allievi e il lavoro di gruppo.
È possibile distinguere tre sottoclassi di procedure:
A’. La ricerca di tutti i rapporti, del genere dell’esempio A1 citato precedentemente, da
parte di 8 gruppi, di cui 1 di livello 6, 3 di livello 7 e 4 di livello 8.
Esempio (classe di livello 7):
540 : 24 = 22,5 g.
630 : 24 = 26,25 g.
810 : 24 = 33,75 g.
540 : 28 = 19,28...g.
630 : 28 = 22,5 g.
810 : 28 = 28,92 g.
540 : 16 = 33,75 g.
630 : 16 = 39,3...g.
810 : 16 = 50,62 g.
540 : 36 = 15 g.
630 : 36 = 17,5 g.
810 : 16 = 22,5 g.
Ho diviso ogni peso per le scatole partendo dal classico in successione fino al tribù. Il
22,5 g risulta presente nelle divisioni con il 540 g. nella scatola del classico. Dividendo il
630 g, risulta presente nella scatola dell’alternato. Dividendo il 810 g, nella scatola
tribù. L’unica scatola che manca è quella del piccolo. Moltiplico quindi il peso di ogni
tartufo per il numero dei tartufi nella scatola piccolo, risulta 360 g.
Altro esempio (classe di livello 6):
SOLUZIONE : No scatola tartufi piccolo x peso tartufo singolo = 16 · 22,5 = 360 g.
Siamo partite contando i singoli tartufi di cioccolato delle varie confezioni, abbiamo
dedotto che la confezione «tribù» avesse peso maggiore delle altre confezioni e invece la
confezione «piccolo» avesse peso minore e l’«alternato» peso maggiore del «classico».
Abbiamo provato a dividere peso per il numero di tartufi e abbiamo continuato a
dividere i vari pesi per il numero di tartufi affinché risultasse la stessa cifra, dopo aver
calcolato il peso di un singole tartufo, 22,5; lo abbiamo moltiplicato per il numero di
tartufi della condizione «piccolo» e abbiamo ricavato il peso di essa.
A’’. Calcolo di un solo rapporto, da parte di 19 gruppi, di cui 4 di livello (o categoria)
6, 9 di livello 7 e 6 di livello 8. In questa seconda sottoclasse, il maggiore dei pesi dati è
stato esplicitamente attribuito alla scatola contenente il maggior numero di tartufi.
Esempio (classe di categoria 8):
Abbiamo attribuito il peso maggiore con la scatola contenente più tartufi al cioccolato.
Abbiamo calcolato il peso di ogni tartufo nel seguente modo:
12
es. 810 : 36 = 22,5 g = peso di ogni tartufo.
Dato che ogni tartufo pesa 22,5 g:
CLASSICO : 24 · 22,5 = 540 g
ALTERNATO : 28 · 22,5 = 630 g
PICCOLO : 16 · 22,5 = 360 g
TRIBÙ : 36 · 22,5 = 810 g
La confezione che non ha l’etichetta è “PICCOLO” e il suo peso è di 360 g.
A’’’. Nei fogli-risposta dei 25 gruppi, di cui 14 di livello 6, 5 di livello 7 e 6 di livello 8,
sono calcolati tre rapporti. Anche qui il maggiore dei pesi dati è generalmente attribuito
a priori alla scatola contenente il maggior numero di tartufi.
Esempio (classe di livello 7):
Calculs à faire pour trouver le poids d’une truffe :
Pour le paquet Classique
540 : 24 = 22,5 g
“ “ “
Quinconce 630 : 28 = 22, 5 g
“ “ “
Tribu
810 : 36 = 22, 5 g
Donc pour trouver le poids du paquet Piccolo: 22,5 g · 16 = 360 g. C’était le paquet
Piccolo qui n’avait pas d’étiquette.
Altro esempio (classe di livello 6):
“CLASSICO” = 540 g
Per collegare queste etichette alle confezioni
“ALTERNATO” = 630 g
abbiamo contato i tartufi contenuti
“TRIBÙ” = 810 g
Siamo arrivati al no 22,5 dividendo la giusta etichetta con la giusta confezione, dato che
in tutte risultava 22,5 abbiamo pensato che ogni tartufo pesava 22,5 g.
Abbiamo moltiplicato 22,5 per 16 (no di tartufi nella confezione “PICCOLO” e abbiamo
ottenuto 360 g, cioè il peso della confezione “PICCOLO”.
B. Gli ultimi tre gruppi hanno utilizzato delle procedure basate sulla proprietà del
prodotto della proporzionalità, cercando multipli o divisori comuni dei pesi e del numero
di tartufi.
Va infine rilevato, attraverso quest’analisi delle tre sottoclassi (A’, A’’ e A’’’) di
procedure che si appoggiano sul quoziente della proporzionalità, che solamente quelle
della prima (A’), che consistono nel verificare tutti i rapporti, permettono di assicurarsi
dell’unicità della soluzione del problema. La seconda e la terza categoria (A’’ e A’’’)
partono generalmente dall’ipotesi che l’etichetta della scatola da 810 g corrisponde alla
scatola «Tribù», che contiene il maggior numero di tartufi. Vengono poi ordinati i numeri
di ciascuna successione in ordine decrescente e si calcolano i rapporti dei termini
corrispondenti, per i quali si ottiene 22,5 (A’’’) o per i quali il prodotto di 22,5 per il
numero di tartufi dà proprio il peso della scatola corrispondente (A’’). Ma nell’esempio
riportato in A’, viene dato il rapporto 33,75 = 810/24 = 540/16 in due gruppi di quozienti!
Che cosa succederebbe se apparisse tre volte, come 22,5, cioè in ciascuno dei tre gruppi
di quozienti?
13
3.4. Tartufi al cioccolati, versione III
Ecco qualche confezione della ditta Tartuffardi contenenti tutte lo stesso tipo di tartufi al
cioccolato:
Classico
Alternato
Piccolo
Ed ecco le etichette che indicano il peso del contenuto,
da incollare sulle confezioni:
Ma queste etichette non sono in ordine e ne manca una:
Tribù
540 g
1215 g
810 g
Trovate la confezione per la quale non c’è etichetta e indicate il suo peso.
Spiegate il vostro ragionamento.
Per rispondere alla precedente questione, abbiamo pensato a questa nuova versione del
problema con un «piccolo» cambiamento dei valori delle due variabili didattiche, il
numero dei tartufi e i pesi, modificando il contenuto di una scatola (da 28 a 54) e
sostituendo l’etichetta «630 g» con «1215 g».
Quanti dei gruppi che avevano trovato la risposta al problema precedente (3.3. «Tartufi al
cioccolato», versione «540, 630, 810», della finale dell’11° RMT) con una procedure che
prevedeva il calcolo di un solo rapporto (A’’) o tre rapporti (A’’’) si renderebbero conto
che il problema ha due soluzioni?
Per assicurarsene, i lettori possono proporre questa versione e la precedente al classi di
scuola secondaria, media e superiore, o a colleghi7.
4. QUALCHE PISTA D’AZIONE PER LA PRATICA SCOLARE
Le pagine precedenti mostrano che è necessaria una riflessione didattica a proposito della
proporzionalità, per tutti, insegnanti e ricercatori: risolviamo certi problemi per
«abitudine» senza verificare se fanno parte dell’ambito della linearità, se ci sono
fenomeni legati al contratto didattico che inducono a seguire strade sbagliate, se ci sono
concezioni personali non adeguate, se le conoscenze matematiche sulla proporzionalità e
le sue proprietà non sono sempre sufficientemente sicure, se le conoscenze didattiche
relative alle diverse procedure di risoluzione e agli ostacoli che gli allievi incontrano
richiedono delle rivisitazioni frequenti.
Sembra necessario pensare allo studio della proporzionalità su un lungo periodo. Non è
un tema di un solo livello di scolarità: si estende dalla scuola elementare (dalla terza) alla
scuola secondaria superiore.
7
I risultati di una tale sperimentazione saranno accolti con piacere dalla redazione della rivista
([email protected]) e potranno alimentare un futuro dibattito sulla proporzionalità e i suoi tranelli.
14
Bisogna prevedere di ritornarvi periodicamente e di confrontare regolarmente le
situazioni di linearità con quelle di non linearità, al fine di costruire e ricostruire il
concetto di proporzionalità in opposizione a concetti differenti.
Ci sono dei «buoni» problemi per far emergere le caratteristiche della proporzionalità,
mentre altri sono meno efficaci. È necessario scegliere quelli nei quali l’allievo può
giudicare la validità delle proprie soluzioni e procedure. Situazioni come l’esempio 2, Il
puzzle, o l’esempio 4, Griglie, permettono una autovalutazione o lo sviluppo di
argomentazioni alla portata degli allievi. Al contrario, problemi come l’esempio 3, Il
vecchio contachilometri, o l’esempio 1, Pista d’atletica, sono piuttosto di tipo
diagnostico e non costituiscono situazioni di apprendimento potenzialmente ricche.
La linearità è sovente considerata come un filo conduttore nell’apprendimento e
insegnamento della matematica (CREM, 2002), essa esige un percorso controllato
rigorosamente da un punto di vista didattico. Un’organizzazione tramite situazioniproblema, in accordo con la teoria delle situazioni didattiche, sembra dunque giudiziosa
al fine di progredire nella costruzione delle conoscenze legate alla proporzionalità. Certe
fasi sono particolarmente importanti: la fase di ricerca per il riconoscimento del modello
di linearità e per l’elaborazione di strategie di risoluzione che possono essere molto
diverse visto il numero delle proprietà disponibili, la fase di validazione che permette il
confronto delle procedure e dei modelli, la fase d’istituzionalizzazione nella quale
l’insegnante deve poter insistere sui saperi matematici complessi in gioco nell’ambito dei
numeri e delle funzioni.
Il gioco sulle variabili didattiche, messo in evidenza dalle diverse versioni del problema
trattato nello studio di un caso nelle pagine precedenti, è indispensabile per adattare le
situazioni di proporzionalità al livello e per le età degli allievi e fare evolvere le loro
procedure e rappresentazioni.
Vista la grande varietà di procedure per risolvere un problema di proporzionalità, è
necessario ritardare al massimo gli algoritmi meccanici di risoluzione e dare la priorità al
senso delle operazioni. Nel corso delle fasi d’istituzionalizzazione bisognerà insistere di
conseguenza sulle proprietà piuttosto che sulle regole di calcolo.
BIBLIOGRAFIA
Brousseau, G.: 1981, ‘Problèmes de didactique des decimaux’, RDM, vol 2.1, 37-280.
Charnay, R., Mante, M.: 1996, Préparation à l’épreuve de mathematiques du concours
de professeur des écoles. Hatier Pédagogie, Paris.
Chastellain, M., Jaquet, F.: 2001, Mathématiques, cinquième année Méthodologie Commentaires. Corome, 174-175 (Th. 9 - Applications)
Cramer K, et all.: 1993, ‘Learning and teaching ratio and proportion : research
implications’, In D.T. Owens (Ed). Research ideas for the classroom : middle grades
mathematics. New York, Macmillan.
CREM, (N. Rouche, coordinateur): 2002, Des grandeurs aux espaces vectoriels, la
linéarité comme fil conducteur. Centre de Recherche sur l’Enseignement des
Mathématiques. B-1400 Nivelles.
15
Van Dooren, C. W., De Block, D., Verschaffel, L.: 2003, ‘L’illusion de la linéarité parmi
les élèves du secondaire : extension au calcul des probabilités’, In Mathématique et
pédagogie, 143, 5-24.
Dumas, J.-P., Jaquet, F.: 2001, ‘Les tentations de la proportionnalité’, Math-Ecole, 198,
33-42.
Grugnetti. L.: 1997, ‘Obiettivi dei docenti delle Medie ed aspettative dei docenti delle
Superiori’ in Supplemento n. 7 del NUMI 1997, pp. 93-98.
Jaquet, F.: 2000, ‘Le traitement d’une fonction, obstacles et représentations’, In
(Grugnetti, Jaquet, Crociani, Doretti, Salomone, Eds) RMT. Evoluzione delle
conoscenzee valutazione dei saperi matematici. Atti Siena 1999- euchâtel 2000, 38 – 53.
Vergnaud, G.: 1981, L’enfant, la mathématique et la réalité. Ed P. Lang, Berne.
Vernex, M.: 2001, ‘Décoration’, Math-Ecole 198, 4 – 18.
Vernex, M., Jaquet, F.: ‘Les tentations de la proportionnalité’, (suite), à paraître, MathEcole.
Vernex, M.: 2004 ‘Une évaluation des procédures pour une remédiation ciblée’, MathEcole 211.
16
RAISONNEMENT PROPORTIONNEL ET INTUITION
OU, LA PROPORTIONNALITE ET SES PIEGES
INTRODUCTION
La proportionnalité est un des thèmes majeurs des programmes de mathématiques de la
fin de l’école primaire aux premiers degrés de l’école secondaire (10 à 15 ans). Dans la
tradition des XIXe et XXe siècles, elle a même représenté un des chapitres
d’aboutissement de la scolarité obligatoire. « Savoir poser une règle de trois » était une
compétence attestant d’une bonne formation en calcul et permettant de résoudre la grande
majorité des situations numériques rencontrées dans la vie pratique du citoyen : les
pourcentages, échelles, mélanges, taux d’intérêt, densités, vitesses etc. La
proportionnalité est cependant une notion complexe qui met en oeuvre des connaissances
bien élaborées sur les nombres, qui exige une maîtrise des concepts de multiplication et
division, et qui fait appel à un répertoire étendu de situations du domaine de la linéarité.
Les enfants, eux, n’attendent pas savoir calculer des rapports, ni de connaître les nombres
rationnels pour se lancer dans la résolution de problèmes où intervient la proportionnalité.
Ils le font même sans vérifier l’adéquation de leur raisonnement au contexte de la
situation. Dès qu’ils perçoivent les deux grandeurs en jeu, ils cherchent des régularités
entre les deux suites numériques correspondantes, ils reportent, de l’une sur l’autre, par
analogie, certaines opérations élémentaires comme l’addition, la soustraction ou la
multiplication. Le chemin est long, en partant de l’intuition, pour arriver à l’application
consciente des propriétés de linéarité. Il passe par des confusions, des fausses pistes, des
vérifications insuffisantes.
Du point de vue de l’enseignant, il est nécessaire de connaître les obstacles et les erreurs
caractéristiques des enfants, mais parfois aussi des adultes, sur le chemin de la
proportionnalité afin de pouvoir construire des progressions qui tiennent compte du
niveau de développement et des capacités réelles des élèves.
Cet article est une contribution à une meilleure connaissance de ces difficultés : à partir
de quelques erreurs caractéristiques et d’un rappel des propriétés de la proportionnalité, il
examine les raisonnements des élèves par une étude de cas, pour esquisser finalement
quelques recommandations pour une pratique de classe.
I – QUELQUES ERREURS CARACTERISTIQUES
Exemple 1. Piste d’athlétisme (Cramer K, et all., 1993)
Julie et Hélène courent à la même vitesse sur une piste d’athlétisme. Julie est partie la
première. Au moment où elle a fait 9 tours, Hélène en a fait 3.
Combien de tours aura fait Julie quand Hélène en aura fait 15 ?
Cramer, Post, Currier ont proposé ce problème à 33 futurs maîtres de l’enseignement
primaire. Tous, sauf un, ont résolu le problème en cherchant le nombre inconnu par
résolution de l’équation 9/5 = x/15 et ont obtenu x = 45, alors que la situation est de type
« affine » non linéaire et que la solution est, évidemment 15 + (9 - 3) = 21
17
F. JAQUET • RAISONNEMENT PROPORTIONNEL ET INTUITION
8 cm
3 cm
7 cm
5c
m
5c
m
L'
enseignant propose aux élèves, répartis en groupes de quatre, la situation suivante :
« À partir du puzzle de représenté sur la figure, chaque élève
6 cm
5 cm
de chaque groupe reçoit une des quatre pièces, puis chaque
groupe devra construire un agrandissement du puzzle, en
B
A
procédant de la manière suivante :
- dans chaque groupe, chacun construit un
agrandissement de sa propre pièce, de manière à
C
pouvoir reconstruire le puzzle agrandi,
D
- le côté, de la pièce B, qui mesure 4 cm devra mesurer
6 cm dans le puzzle agrandi.
3 cm
8 cm
Naturellement, au sein de chaque groupe, il faudra se mettre d’accord sur la manière à
suivre pour agrandir les pièces. »
4 cm
Exemple 2. Le puzzle (Brousseau, 1981)
Il s’agit d’une situation qui fait émerger une conception (additive) erronée du type : Il
suffit d’ajouter 2 cm à chaque côté pour obtenir l'
agrandissement demandé.
Pour pouvoir arriver à la réalisation concrète, il faut renoncer à la conception additive
(erronée) de la situation (Grugnetti, 1996).
Exemple. 3. Le vieux compteur8
La voiture d’Alphonse a un vieux compteur qui fait des bruits à chaque kilomètre, chaque
fois qu’un chiffre nouveau apparaît.
Il fait « cric » à chaque changement du premier chiffre, de droite.
Il fait « crac » à chaque changement du chiffre du milieu.
Il fait « rrmt » à chaque changement du chiffre de gauche.
Aujourd’hui Alphonse va faire une promenade en voiture.
0
0
0
Il met son compteur à 0 :
Voici le compteur après 13 km.
0
1
3
Il a déjà fait 14 bruits : 13 « cric » et 1 « crac ».
À la fin de sa promenade, Alphonse a entendu 140 bruits en tout.
Combien de kilomètres a parcouru Alphonse au cours de sa promenade ?
Expliquez comment vous avez trouvé.
La majorité des groupes a donné 130 km comme réponse à cette question.
Ils ont fait :
14 bruits –>
13 km
140 bruits –>
130 km
C’est tellement plus simple !
8
11e RMT (2003), épreuve I, problème 9, cat. 5 - 6.
18
Exemple 4. Grilles9
D'
une grille à l'
autre, on ajoute une ligne et une colonne de carrés.
3 carrés
8 carrés
15 carrés
24 carrés
En continuant ainsi, va-t-on trouver une grille de 120 carrés ?
....
Et une grille de 240 carrés ?
Expliquez votre raisonnement.
L’analyse des résultats (Jaquet, 2000) a fait apparaître, parmi les différentes procédures et
stratégies, un raisonnement fréquent - qui se déroule dans un cadre numérique - où
l’obstacle du « modèle exclusif de linéarité » a des interférences sur la recherche et
conduit à une solution erronée du genre :
- Nous avons dessiné les carrés jusqu’à celui de 120 ; et en calculant le double de 120
nous avons obtenu 240. On trouve ainsi tous les nombres.
ou encore, moins explicitement mais avec la même conception, les nombres de la suite
sont calculés dans la première partie, puis le modèle de linéarité l’emporte :
- Nous avons fait cela jusqu’à 120 (dessin et calculs pour chaque figure) oui, on peut
trouver une grille de 240 carrés. Il faut faire cela par rapport au précédent.
Exemple. 5. Tailles (Chastellain, Jaquet, 2001)
La taille d'
Ophélie était de 83 cm à 2 ans et de 1,66 m à 16 ans.
Peux-tu dire quelle est la taille d'Ophélie aujourd'hui, alors qu'elle vient d'avoir 32
ans ?
Et quelle était sa taille à 1 an, 4 ans, 8 ans ?
Lors d’une expérimentation (Dumas, Jaquet, 2001) dans une classe de 19 élèves de 5e
année primaire, on a obtenu les réponses suivantes : taille à 1 an : 41,5 cm (15) ; taille à 4
ans :166 cm ou 1,66 m (9) ; taille à 8 ans : 332 cm (7) ; taille à 32 ans : 332 cm (6) ou
supérieures (7). Un seul élève a estimé que « le problème est impossible ».
La relation entre l'
âge et la taille d'
une personne n'
est pas linéaire, chacun le sait. Mais
l'
énoncé, par le choix des données et des questions, induit l'
élève qui ne soumet pas ses
réponses à un examen critique à appliquer mécaniquement les propriétés de linéarité,
d’autant plus que l’effet de contrat didactique le pousse à donner une réponse aux
questions, malgré les contradictions qui apparaissent, dans les calculs, pour 4 ans et pour
8 ans. Une deuxième expérimentation (Vernex, Jaquet, à paraître), dans une classe de 22
élèves de sixième année primaire, montre une évolution significative : la moitié des
élèves exprime un doute sur les résultats obtenus, sans toutefois renoncer aux calculs du
même genre, mettant également en oeuvre les propriétés de linéarité.
9
8e RMT (2000), épreuve II, problème 5, cat. 3 - 4 - 5.
19
F. JAQUET • RAISONNEMENT PROPORTIONNEL ET INTUITION
Exemple 6. La roulette (Van Dooren et all., 2003)
À la roulette, Didier mise à chaque jeu sur son numéro porte-bonheur. Mais
malheureusement, après 20 jeux, il n’a encore rien gagné. Il se dit : « Je ne peux pas
m’arrêter maintenant ! Il faut que je continue jusqu’au 37e jeu parce qu’il y a 37 numéros
possibles et que, par conséquent, j’ai à chaque jeu une chance sur 37 de gagner. Si je joue
37 fois, je serai presque sûr, à 100% que mon numéro sortira une fois. »
Qu’en pensez-vous ?
Exemple 7. Le « paradoxe des anniversaires » (Van Dooren et all., 2003)
Il y a 30 élèves dans une classe.
Quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre eux aient leur anniversaire le
même jour ?
Et pour une classe de 60 élèves, que deviendra cette probabilité ?
Dans ces deux derniers cas et, plus généralement pour tout ce champ conceptuel, le
concept de probabilité est très intimement lié à celui de « rapport », ou de « fréquence
relative ».
Par exemple, pour La roulette, la probabilité de gagner au moins une fois en n jeux est
représentée par la fonction : n → 1 - (36/37)n, qui ne peut être assimilé à une fonction
linéaire que pour les petites valeurs de la variable n. (Voir figure. 1)
2. LES PROPRIETES DE LA PROPORTIONNALITÉ
Pour le mathématicien, la proportionnalité est assimilée à la « fonction linéaire »,
définie sous l’une des deux modalités :
∀x ∈ R
x––––> f(x) = ax , a ∈ R
∀x ∈ R
x––––> f(x), telle que:
(A)
f(kx) = k(f(x))
(B)
et
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
(C)
Pour l’enseignant de mathématiques et pour les textes des manuels scolaires, la
proportionnalité est définie comme une relation entre deux suites de nombres.
Par exemple, selon Charnay et Mante (1996), deux suites de nombres réels (avec le même
nombre de termes) sont proportionnelles si l’on peut passer de chaque terme de la
première au terme correspondant de la seconde par un opérateur multiplicatif. Ces auteurs
relèvent alors quelques propriétés des suites proportionnelles :
1. propriété relative à l’ordre : pour les nombres positifs, la proportionnalité respecte
l’ordre (si l’une des suites est rangée dans un ordre, croissant ou décroissant, l’autre
suite est rangée dans le même ordre).
2. propriété des rapports égaux ou du coefficient de proportionnalité (découlant de la
définition) : les rapports de tous les termes correspondants sont égaux, c’est le
coefficient. (voir schéma dans la version italienne)
3. propriété additive de la somme : la somme de deux termes correspond à la somme des
deux termes correspondants. (voir schéma dans la version italienne)
20
4. propriété multiplicative ou du produit : le produit d’un terme par un facteur k
correspond au produit du terme correspondant par ce même facteur k (voir schéma
dans la version italienne)
5. propriété (additive) de la différence ou des écarts (valide aussi pour la fonction
affine ! !) : à des écarts égaux entre termes de la première suite correspondent des
écarts égaux entre les termes correspondants de la de la seconde suite.
6. propriété graphique
la représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite, comme pour la
fonction affine, mais qui passe par l’origine (0 ; 0).
Pour l’élève, le proportionnalité est perçue de manière intuitive, bien avant qu’il ne
l’étudie en classe et en rapport étroit avec sa progression dans le champ conceptuel de la
multiplication. Il semble que, après avoir identifié les deux grandeurs en jeu, chacune
dans son « espace de mesure », il cherche à reproduire des régularités observées, de l’une
des suites sur l’autre.
Les propriétés les plus simples à utiliser sont celles de l’ordre, de caractère plutôt
qualitatif, puis celle de la différence. Viennent ensuite les propriétés du produit, puis de la
somme où des opérations effectuées sur les nombres d’une suite sont reproduites sur les
nombres correspondants de l’autre, ce que Vergnaud (1981) désigne par
« homomorphisme de mesure ».
La propriété des rapports égaux ou du coefficient de proportionnalité est la dernière à être
disponible, parce qu’elle nécessite une maîtrise de l’opération inverse de la multiplication
et des nombres rationnels, sous forme de fractions ou d’écritures décimales.
3. ETUDE DE CAS
3.1. Décoration10
Un peintre a peint ces quatre figures différentes sur un mur, chacune avec une couche de
peinture de la même épaisseur.
Il a utilisé des pots de peinture de même grandeur :
- 18 pots de rouge pour une des figures
- 21 pots de bleu pour une autre figure,
- 27 pots de jaune pour une autre figure
- des pots de noir pour la figure qui reste.
À la fin de son travail, tous les pots étaient vides.
Indiquez la couleur de chaque figure.
Combien de pots de peinture noire a-t-il utilisés ?
Expliquez comment vous avez trouvé.
10
9e RMT (2001), épreuve II, problème 9, cat. 4 - 5 - 6.
21
F. JAQUET • RAISONNEMENT PROPORTIONNEL ET INTUITION
Ce problème a été résolu par des élèves de 10 à 12 ans sans qu’ils ne fassent intervenir
d’autres propriétés de la proportionnalité que celles de l’ordre et de la différence. Voir.
Vernex (2001).
Il a été transformé et est devenu Truffes au chocolat pour la finale du 11e RMT, et
expérimenté à Genève par M. Vernex (2004) dans quatre classes de degrés 5 et 6 (10 et
11 ans) avec des valeurs un peu plus simples que celles de la version RMT.
3.2. Truffes au chocolat11
Voici quelques emballages de la maison Truffardi, qui contiennent tous le même type de
truffes au chocolat :
Classique
Quinconce
Piccolo
Tribu
Et voici les étiquettes qui indiquent le poids des
700g
600g
truffes, à coller sur les emballages :
900g
Mais elles sont en désordre et il en manque une.
Trouvez l’emballage pour lequel il n’y a pas d’étiquette et indiquez son poids.
Expliquez comment vous avez trouvé.
Analyse de la tâche
Pour résoudre ce problème, il faut tout d’abord se rendre compte, en première étape,
qu’on est en présence de deux « grandeurs » : les truffes, données par leur nombre, et les
masses correspondantes, indiquées sur les étiquettes.
En deuxième étape, on trouve les valeurs de la première grandeur en dénombrant le
nombre de truffes contenues dans chaque boîte. On obtient :
Classique : 24
Quinconce : 28
Piccolo : 16
Tribu : 36
Les valeurs des masses sont indiquées, mais il en manque une !! Par conséquent, on ne
sait pas quelle boîte associer à chaque étiquette, ou, à quelle boîte correspond l’étiquette
manquante.
C’est là que réside l’originalité du problème. Traditionnellement, dans la majorité des
problèmes de proportionnalité, voir la totalité, les correspondances sont données par
l’énoncé. (Par exemple: le contenu d’un boîte de 24 truffes pèse 600 grammes, combien
pèsent les contenus d’une boîte de 28 truffes, 16 truffes, 36 truffes ?)
La troisième étape de résolution consiste donc à associer les trois étiquettes à leur boîte.
Pour cela il faut ordonner les deux séries données : les nombres - 16, 24, 28, 36 - et les
poids - 600, 700 et 900 - puis émettre des hypothèses sur les correspondances et les
vérifier. L’analyse des procédures qui suit éclairera ce travail d’hypothèses et de
vérifications.
La dernière étape consiste à rechercher le poids des truffes de la boîte qui n’a pas
d’étiquette.
11
11e RMT (2003), finale, problème 11, cat. 6 - 7 - 8. Version simplifiée pour l’expérimentation de M. Vernex
en classes de niveaux 5 et 6: 600, 700 et 900 g au lieu de 540, 630 et 810 de la version originale.
22
Pour ces deux dernières étapes, on se situe dans le champ de la proportionnalité et les
élèves peuvent procéder selon l’une ou l’autre des méthodes suivantes :
a)
déterminer le « coefficient de proportionnalité » ou le poids d’une truffe, par
essais et vérifications successifs ; le quotient « poids de la boîte / nombre de truffes »
donne le poids d’une truffe (25 g) ;
b)
utiliser la propriété multiplicative de la linéarité : calcul du nombre de truffes
pour 100 g : le quotient « nombre de truffes / poids de la boîte en centaines de
grammes » donne le nombre de truffes pour 100 g (4) ;
c) utiliser les propriétés de la linéarité, de l’ordre et de la différence :
16
(20)
24
28
(32)
36
+4
…
(…)
600
700
(…)
900
+ 100
Par l’une ou l’autre de ces méthodes, on peut se convaincre que c’est la boîte Piccolo qui
n’a pas d’étiquette et que son poids est 400 g. Mais on ne vérifie pas l’unicité de la
solution.
Expérimentation et résultats du problème « Truffes au chocolat » version « 600, 700,
900 », de M. Vernex
Ce problème a été proposé à 4 classes de Genève, de degrés 5 et 6 de l’école primaire de
(10-11 ans et 11-12 ans).
Globalement, la moitié des 82 élèves ont trouvé la bonne réponse, mais la réussite est
significativement meilleure en 6e qu’en 5e année. L’intérêt réside, cependant, dans les
propriétés de la proportionnalité mises en oeuvre, implicitement, pour résoudre le
problème.
Nous avons pu regrouper les procédures des élèves en quatre catégories principales A, B,
C, D, que nous illustrons ci-dessous par quelques exemples caractéristiques, pour lesquels
sont reproduites (en italique) toutes les opérations et remarques notées sur les copies
examinées.
A. Une première catégorie de procédures passe par la recherche du coefficient de
proportionnalité (poids d’une truffe). Voir les détails des exemples dans la version
italienne:
A1. (1 élève, degré 5)
Dans cet exemple, l’élève contrôle tous les quotients des trois masses 600, 900 et 700,
respectivement par 24, 28, 16 et 36. Il constate que dans trois groupes, il y a un quotient
entier et commun, 25, qu’on ne retrouve pas dans le groupe des quotients par 16 : « aucun
ne convient ». Il décide que 25 est le quotient commun et recherche, dans ce dernier
groupe la quatrième masse qui donnera 25 comme quotient par 16.
A2. (8 élèves, degré 6)
A3. (7 élèves, degré 6)
Dans le premier de ces deux groupes d’élèves, il semble qu’on recherche un quotient
entier et qu’on vérifie ensuite. Dans le deuxième, on part de l’hypothèse que la plus
grande masse donnée est celle de la plus grande boîte et l’on vérifie que le quotient « 25 »
convient aussi pour les autres boîtes, dont « Piccolo ».
A4. (1 élève, degré 5)
A5. (1 élèves, degré 5)
Ces deux groupes d’élèves ont abandonné leur recherche, vraisemblablement en raison de
l’obstacle représenté par la division.
F. JAQUET • RAISONNEMENT PROPORTIONNEL ET INTUITION
23
B. Une deuxième catégorie de procédures utilise la propriété multiplicative de la
proportionnalité.
Les élèves voient, dans les masses données, des multiples de 100 et, dans les nombres de
truffes correspondantes, des multiples de 4 (nombre de truffes pour 100 grammes). En
voici quelques exemples:
B1. (3 élèves, degré 5)
B2. (1 élève, degré 6)
C. Une troisième catégorie de solutions utilise la propriété « de différence » de la
proportionnalité.
C1. (2 élèves, degré 5)
C2. (1 élève, degré 6)
C3. (2 élèves, degré 5)
Dans le cas C3, la différence de 4 est vue entre 20 et 16, 24 et 20, 28 et 24. Elle
correspond à une différence de 50 entre 650 et 600, 700 et 650, 750 et 700. Ces élèves ne
tiennent pas compte de 36 et de 900.
D. La quatrième catégorie de solutions utilise la propriété d’ordre (ou des régularités
des suites) :
D1.(1 élève de degré 5 et 2 élèves de degré 6)
Dans le cas D1, l’ordre est reconnu à partir de l’hypothèse 36/900 et les écarts sont
déterminés par estimation.
D2. (5 élèves de degré 5 et 5 élèves de degré 6)
Dans le cas D2, l’ordre est maintenu dans les deux suites, avec des différences
constantes dans la suite des masses. qui ne correspondent pas à celles de la suite des
nombres de truffes.
D3. (14 élèves de degré 5, 1 élève de degré 6)
L’ordre est conservé dans les deux suites, avec l’hypothèse « 900 /Tribu », la réponse
« 320 » est le plus souvent justifiée par l’opération 16 + 16 = 32 conduisant à l’erreur
« 320 » qui ne tient pas compte du facteur de proportionnalité mais est une estimation
plausible.
Dans les autres procédures qui ne s’appuient que sur l’ordre, on voit aussi apparaître des
réponses « 500 » et « 300 ».
3.3. Les résultats du problème « Truffes au chocolat », version « 540, 630, 810 », de la
finale du 11e RMT.
Les résultats précédents peuvent être comparés à ceux des classes qui ont accédé à la
finale des finales du 11e RMT. Les élèves sont ici plus âgés : des degrés 6, 7 et 8 au lieu
de 5 et 6, ils ont travaillé par groupes et non plus individuellement, ils appartiennent à des
classes « sélectionnées » (les vainqueurs des finales régionales). Même si les valeurs de
la variable didactique « mesures des masses » sont légèrement plus complexes à gérer par
calcul mental (540, 630 et 810 au lieu de 600, 700 et 900), les résultats sont évidemment
24
meilleurs : la réponse « 360 pour la boîte PICCOLO » est donnée par 50 groupes d’élèves
sur les 55 copies examinées.
A. La grande majorité (52 groupes sur 55) des procédures passe par la recherche du
coefficient de proportionnalité (poids d’une truffe). Il y a donc une évolution très
significative, par rapport à l’expérimentation précédente, avec l’augmentation de l’âge
des élèves et le travail par groupes
Au sein de cette catégorie, on est en mesure de distinguer, à ce niveau de résolution, trois
sous-classes de procédures :
A’. La recherche de tous les rapports, du genre de l’exemple A1 cité précédemment,
par 8 groupes, dont 1 de degré 6, 3 de degré 7 et 4 de degré 8 (voir schéma dans la
version italienne).
Exemple (classe de degré 7) (voir schéma dans la version italienne)
Autre exemple (classe de degré 6) (voir schéma dans la version italienne)
A’’. Calcul d’un seul rapport, par 19 groupes, dont 4 de degré 6, 9 de degré 7 et 6 de
degré 8. Dans cette deuxième sous-classe, la plus grande des trois masses données a été
explicitement attribuée à la boîte contenant le plus de truffes.
Exemple (classe de degré 8) (voir schéma dans la version italienne)
A’’’. Dans les copies de 25 groupes, dont 14 de degré 6, 5 de degré 7 et 6 de degré 8,
trois rapports sont calculés. Ici aussi, la plus grande des trois masses données est
généralement attribuée a priori à la boîte contenant le plus de truffes.
Exemple (classe de degré 7) (voir schéma dans la version italienne)
B. Les trois derniers groupes ont utilisé des procédures fondées sur la propriété du
produit de la proportionnalité, en recherchant des multiples ou diviseurs communs des
masses et de nombres de truffes.
Il faut relever finalement, au travers de cet examen des trois sous-classes (A’, A’’ et A’’’)
de procédures qui s’appuient sur le quotient de proportionnalité, que seules celles de la
première (A’), consistant à vérifier tous les rapports, permettent de s’assurer de l’unicité
de la solution du problème. La deuxième et troisième catégorie (A’’ et A’’’) partent
généralement de l’hypothèse que l’étiquette de 810 g correspond à la boîte « Tribu », qui
contient le plus de truffes. On classe ensuite les nombres de chaque suite dans l’ordre
décroissant et l’on calcule les rapports des termes correspondants, pour lesquels on
obtient aussi 22,5 (A’’’) ou pour lesquels le produit de 22,5 par le nombre de truffes
donne bien la masse de la boîte correspondante (A’’). Mais dans l’exemple cité en A’, on
voit apparaître le rapport 33,75 = 810/24 = 540/16 dans deux groupes de quotients !
Qu’adviendrait-il s’il apparaissait trois fois, comme 22,5, c’est-à-dire dans chacun des
trois groupes de quotients ?
25
F. JAQUET • RAISONNEMENT PROPORTIONNEL ET INTUITION
3.4. Truffes au chocolat, version III
Voici quelques emballages de la maison Truffardi, qui contiennent tous le même type de
truffes au chocolat :
Classique
Quinconce
Piccolo
Tribu
Et voici les étiquettes qui indiquent le poids des
1215 g
540 g
truffes, à coller sur les emballages :
810 g
Mais elles sont en désordre et il en manque une.
Trouvez l’emballage pour lequel il n’y a pas d’étiquette et indiquez son poids.
Expliquez comment vous avez trouvé.
Pour répondre à la question précédente, nous avons imaginé cette nouvelle version du
problème avec un « petit » changement des valeurs des deux variables didactiques, le
nombre de truffes et les masses : en modifiant le contenu d’une des boîtes (de 28 à 54) et
en remplaçant l’étiquette « 630 g » par « 1215 g ».
Combien des groupes qui ont trouvé la réponse au problème précédent (3.3. « Truffes au
chocolat », version « 540, 630, 810 », de la finale du 11e RMT) en suivant une procédure
ne calculant qu’un seul rapport (A’’) ou trois rapports (A’’’) se rendraient-ils compte que
le problème a deux solutions ?
Pour s’en assurer, les lecteurs peuvent proposer cette version et la précédente à des
classes d’école secondaire, moyenne ou supérieure, ou à des collègues12.
4. QUELQUES PISTES D’ACTION POUR LA PRATIQUE SCOLAIRE
Les pages précédentes montrent qu’une réflexion didactique est nécessaire à propos de la
proportionnalité, pour tous, enseignants et chercheurs : on résout certains problèmes par
« habitude » sans vérifier s’ils entrent dans le cadre de la linéarité, il y a des phénomènes
liés au contrat didactique qui incitent à s’engager dans des voies erronées, il y a des
conceptions personnelles non adéquates, les connaissances mathématiques sur la
proportionnalité et ses propriétés ne sont pas toujours suffisamment sûres, les
connaissances didactiques sur les diverses procédures de résolution et sur les obstacles
que rencontrent les élèves demandent des mises à jour fréquentes
Il paraît nécessaire d’envisager l’étude de la proportionnalité sur une très longue durée.
Ce n’est pas un thème d’un degré unique de la scolarité ; il s’étend de l’école élémentaire
(depuis la troisième année) à l’école secondaire supérieure. Il faut prévoir d’y revenir
périodiquement et de confronter régulièrement les situations de linéarité à celles de nonlinéarité, afin de construire et reconstruire le concept de proportionnalité en opposition à
des concepts différents.
12
Les résultats d’une telle expérimentation seront accueillis avec bonheur par la rédaction de la revue et
pourront alimenter un futur débat sur la proportionnalité et ses pièges.
26
Il y a des « bons » problèmes pour faire émerger les caractéristiques de la
proportionnalité, alors que d’autres sont moins efficaces. Il est nécessaire de choisir ceux
où l’élève est en mesure de juger lui-même la validité de ses solutions et procédures. Des
situations comme l’exemple 2, Le puzzle, ou l’exemple 4, Grilles permettent une autoévaluation ou le développement d’arguments à la portée des élèves. En revanche, des
problèmes comme l’exemple 3, Le vieux compteur, ou l’exemple 1, Piste d’athlétisme,
sont plutôt de type diagnostique et ne constituent pas des situations d’apprentissage
potentiellement riches.
La linéarité est souvent considérée comme un fil conducteur dans l’apprentissage et
l’enseignement des mathématiques (CREM, 2002), elle exige un parcours contrôlé
rigoureusement d’un point de vue didactique. Une organisation par situations-problèmes,
en accord avec la théorie des situations didactiques, paraît donc judicieuse pour
progresser dans la construction des connaissances liées à la proportionnalité. Certaines
phases sont particulièrement importantes ici : la phase de recherche pour la
reconnaissance du modèle de linéarité et pour l’élaboration de stratégies de résolution qui
peuvent être très diverses vu le nombre de propriétés disponibles, la phase de validation
qui va permettre la confrontation des procédures et des modèles, la phase
d’institutionnalisation où le maître doit pouvoir insister sur les savoirs mathématiques
complexes en jeu dans le domaine des nombres et des fonctions.
Le jeu sur les variables didactiques, mis en évidence par les différentes versions du
problème traité dans l’étude de cas des pages précédentes, est indispensable pour adapter
les situations de proportionnalité au niveau et à l’âge des élèves et faire évoluer leurs
procédures et représentations.
Au vu de la variété des procédures pour résoudre un problème de proportionnalité, il faut
retarder au maximum les algorithmes mécaniques de résolution et donner la priorité au
sens des opérations. Au cours des phases d’institutionnalisation, on insistera par
conséquent sur les propriétés plutôt que sur les règles de calcul.
BIBLIOGRAPHIE
(Voir texte en italien)