Automata on infinite objects
Transcript
Automata on infinite objects
Automata on infinite objects Amedeo Leo1 1 Università Simone Romano1 degli Studi di Salerno Seminario Automi Linguaggi e Complessità - 2014/2015 Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 1 / 40 1 Introduzione 2 Automi su parole infinite 3 Automi ad albero 4 Conclusioni Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 2 / 40 Outline 1 Introduzione 2 Automi su parole infinite 3 Automi ad albero 4 Conclusioni Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 2 / 40 Perchè studiare la teoria degli automi? È alla base di vari rami dell’informatica Origine della scienza dell’informazione I Turing machine Teoria dei compilatori Model checking I Büchi automata, Rabin tree automata Elaborazione dei dati sul Web (XML document) Nota: Sebbene più astratta rispetto ai linguaggi di programmazione, la teoria degli automi riflette l’essenza della computazione Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 3 / 40 Contesto storico 1930s: Turing machines (A. Turing) 1940s-1950s: Automi a stati finiti (W. McCulloch,W. Pitts, S. Kleene, etc.), Chomsky hierarchy (N. Chomsky) 1960s-1970s: Pushdown automata (A.G. Oettinger, M.P. Schutzenberger), Büchi automata over ω-words (J. R. Büchi ), Rabin tree automata over ω-trees (M. O. Rabin), Tree automata (J. E. Doner, J. W. Thatcher, J. B. Wright, etc.) 1980s-1990s: ω-automata applied to formal verification (M. Vardi, P. Wolper, O. Kupferman, etc.) 2000s-2010s: Automata over unranked trees applied to XML (A. Bruggemann-Klein, M. Murata, D. Wood, F. Neven, etc.), Visibly pushdown automata (R. Alur, P. Madhusudan) Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 4 / 40 Notazioni A, A*, Aω : alfabeto finito, insieme di parole finite, insieme di ω-sequenze su A ω-word: α(0)α(1)... con α(i) ∈ A sottostringa finita di ω: α(m, n) := α(m)...α(n − 1) for m ≤ n sottostringa infinita di ω: α(m, ω) := α(m)α(m + 1)... W ω = {α ∈ Aω | α = w0 w1 ... con wi ∈ W per i ≥ 0} − → W = {α ∈ Aω | ∃ω n α(0, n) ∈ W } In(σ) = {s ∈ S | ∃ω n α(0, n) ∈ S } Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 5 / 40 Outline 1 Introduzione 2 Automi su parole infinite Automi di Büchi Altri modelli di automi Calcolo delle sequenze Context-free ω-languages 3 Automi ad albero 4 Conclusioni Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 6 / 40 Definizione Un automa di Büchi sull’alfabeto A è della forma: A = (Q, q0 , ∆, F ) Q = insieme di stati q0 = stato iniziale ∈ Q ∆ ⊆ QxAxQ F ⊆ Q: insieme di stati finali Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 7 / 40 Definizione - 2 Run Data una ω-word α(0)α(1)... sul Aω , una run di A è così definita: sequenza di stati σ = σ(0)σ(1)... tale che I I σ(0) = q0 (σ(i), α(i), σ(i + 1)) ∈ ∆ for i ≥ 0 Successful run Data una ω-word una successful run di A è così definita: In(σ) ∩ F 6= ∅ - ’Qualche stato di F occorre infinite volte’ Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 8 / 40 ω-linguaggio - Büchi riconoscibile ω-linguaggio di A A accetta α se esiste una successful run di A su α L(A) = {α ∈ Aω | A accetta α } Nota: Un ω-linguaggio regolare contiene una ω-word finale periodica Büchi riconoscibile Se L = L(A) per qualche automa di Büchi A allora L è Büchi riconoscibile Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 9 / 40 Esempio Dato l’alfabeto A = {a,b,c} ed L1 ⊆ Aω : α ∈ L1 ⇔ dopo ogni occorrenza di a c’è qualche occorrenza di b Aω − L1 è riconosciuto dall’automa in figura 2 Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 10 / 40 Büchi riconoscibile - 2 Dato un automa di Büchi A Data una parola finita w = a0 ...an−1 Se esiste una sequenza di stati s0 , ..., sn tale che s0 = s (si , ai , si+1 ) ∈ ∆ per i < n sn = s0 Allora scriviamo: s− → s0 w Definiamo: Wss0 = {w ∈ A∗ | s − → s0 } w Wss0 è regolare. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 11 / 40 Büchi riconoscibile - 2 Accettazione L’ω-linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi A è della forma: S L(A) = s∈F Wq0 s · (Wss )ω Teorema Un ω linguaggio L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile ⇔ L è un’unione finita di insiemi U · V ω , dove U, V ⊆ A∗ sono insiemi regolari di parole finite. Lemma Se V ⊆ A∗ è regolare allora V ω è Büchi riconoscibile Se U ⊆ A∗ è regolare ed L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile allora U · L è Büchi riconoscibile S T Se L1 , L2 ⊆ Aω sono Büchi riconoscibili allora L1 L2 ed L1 L2 sono Büchi riconoscibili Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 12 / 40 ω - regular expression Dato un ω-linguaggio L, la sua rappresentazione nella forma: S L = ni=1 Ui · Viω dove Ui e Vi sono definiti da espressioni regolari, è definita espressione ω-regolare È quindi possibile definire un automa di Büchi a partire da una espressione ω-regolare e viceversa Linguaggio ω-regolare: ω-linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 13 / 40 Complemento Problema del vuoto è decidibile Il complemento è un problema non banale I Se L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile, allora lo è anche Aω -L. A partire da L si può costruire un automa di Büchi che riconosce Aω − L (Caso non deterministico!) Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 14 / 40 Complemento - dim La relazione F F u v u ∼A v ⇔ ∀s, s0 ∈ Q(s − → s0 ⇔ s − → s0 e s − → s0 ⇔ s − → s0 ) u v ci consente di riscrivere L ed Aω -L con la stessa notazione. Nota: ∼ è di indice finito data la finitezza di Q. T ∀ coppia di classi ∼A U,V: se U · V ω L(A) 6= ∅, allora U · V ω ⊆ L(A) I Vale anche per il complemento Data ∼A , ∀ω-word α esistono delle ∼ classi U,V tali che α ∈ U · V ω Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 15 / 40 Complemento - dim - 2 Una congruenza ∼ su A∗ satura L ⊆ Aω se T U · V ω L 6= ∅ ⇒ U · V ω ⊆ L ∀ coppia di ∼ classi U,V Se ∼ satura L ed è di indice finito, allora S T L = {U · V ω | U, V sono ∼-classi, U · V ω L 6= ∅} L’inclusione ⊇ deriva dalla notazione di saturazione, mentre la ⊆ deriva dal punto 2 del teorema precedente. Note: ∼ ha indice finito; ∼ classi regolari la cui unione è finita ⇒ L è regolare Poichè la congruenza satura il complemento, anche il complemento è regolare. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 16 / 40 Automi di Büchi deterministici Complemento Gli automi di Büchi deterministici non sono chiusi rispetto al complemento. Dato il linguaggio W ⊆ A∗ riconosciuto da un automa deterministico, definiamo I − → W = {α ∈ Aω | ∃ω n α(0, n) ∈ W } è riconosciuto da un automa di Büchi Nota: Un ω-linguaggio L ⊆ Aω è riconosciuto da un automa di − → Büchi deterministico ⇔ L = W per un insieme regolare W ⊆ A∗ Non essendo tutti di questa forma la chiusura del complemento fallisce. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 17 / 40 Automa di Muller Un automa di Muller sull’alfabeto A è della forma A = (Q, q0 , δ, F ) Q = insieme di stati q0 = stato iniziale ∈ Q δ : QxA → Q F ⊆ 2Q : insieme di stati finali Successful run: un sottoinsieme di stati in F occorre infinite volte Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful Muller-riconoscibile: ω-word accettate da un automa di Muller Teorema di McNaughton’s: Un ω-lingugaggio è regolare (Büchi riconoscibile) ⇔ è Muller riconoscibile. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 18 / 40 Automa di Rabin Un automa di Rabin sull’alfabeto A è della forma A = (Q, q0 , δ, Ω) (Q, q0 , δ) come Muller Ω = {(L1 , U1 ), · · · , (Ln , Un )} è una collezione di coppie accettanti Successful run: In(σ) T Li = ∅ e In(σ) T Ui 6= ∅ Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 19 / 40 Introduzione al calcolo delle sequenze L’automa di Büchi può essere utilizzato per risolvere problemi legati al calcolo delle sequenze Büchi ha mostrato che ogni condizione su una sequenza può essere riformulata come un problema di accettazione di una sequenza da un automa Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 20 / 40 S1S A: alfabeto finito di simboli S1SA : I I I primo termine = 0 successori costruiti dalle variabili x, y,... applicando la funzione +1 funzioni atomiche: t1 = t2 , t1 < t2 , t1 ∈ X , t1 ∈ Qa F F F I t1 , t2 sono termini X è una variabile al secondo ordine Qa è un simbolo di predicato unario (uno per ogni a ∈ A) le formule di S1SA si ottengono dalle formule atomiche applicando gli operatori ¬, ∧, ∨ ed i quantificatori ∀, ∃ Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 21 / 40 Relazione Büchi - S1S Possiamo rappresentare ogni ω-word α ∈ Aω come α = {ω, 0, +1, <, {Qa }a∈A } dove ω: insieme dei naturali 0: naturale 0 +1: funzione di successione <: relazione di ordinamento {Qa } = {i ∈ ω | α(i) = a ∀a ∈ A} La verità di una formula S1S è decidibile. Teorema di Büchi un ω-linguaggio è definibile in S1S sse è regolare. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 22 / 40 Context-free ω-languages Grammatiche per ω-words Una grammatica context-free sull’alfabeto A con variabili (non terminali) x1 , · · · , xS n è data da una n-upla (G1 , · · · , Gn ) di insiemi finiti Gi ⊆ (A {x1 , · · · , xn })∗ , dove w ∈ Gi se xi → w è una produzione di G. Esempio G0 : x1 → x2 x1 , x2 → ax2 b | ab. Esempi di derivazioni: x1 → x2 x1 → abx1 → abx2 x1 → ababx1 → ababx2 x1 → · · · genera l’ ω-word (ab)ω . x1 → x2 x1 → abx1 → abx2 x1 → abax2 bx1 → abaax2 bbx1 → abaaax2 bbbx1 → · · · genera l’ ω-word abaω . Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 23 / 40 A∞ Se la produzione x1 contiene variabili terminali: la grammatica può generare anche parole di lunghezza finita Parliamo di A∞ quando, data una grammatica G, consideriamo le sole ω-word generabili scartiamo quelle di lunghezza finita (se generabili) Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 24 / 40 Algebrico Definizioni (a) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è algebrico se contiene tutte le parole infinite generabili da una cfg G. (b) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è context-free se esiste una cfg G e un insieme di variabili F di G tali che L consiste di tutte le parole infinite generate da x1 con una leftmost dove le variabili usate infinitamente spesso formano un insieme in F. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 25 / 40 Outline 1 Introduzione 2 Automi su parole infinite 3 Automi ad albero Introduzione Esempi 4 Conclusioni Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 26 / 40 Tree automata - 1 A = {f, g, c} A-valued tree map t : dom(t) → A chiuso sotto la notazione di prefisso soddisfa l’implicazione wj ∈ dom(t), i < j ⇒ wi ∈ dom(t) frontiera di t: fr (t) = {w ∈ dom(t) | ¬∃i wi ∈ dom(t)} frontiera esterna: fr + (t) = {wi ∈ / dom(t) | w ∈ dom(t) ed i < k } (k = numero di figli) Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 27 / 40 Tree automata - 2 Informalmente: prende un A-valued binary tree inizia la computazione alla radice partendo dallo stato iniziale visita parallelamente i vari cammini dell’albero percorrendo coppie di stati un automa ad albero accetta un albero t se c’è una run successful una run è successful se tutti i cammini dell’albero rispettano la condizione di accettazione dell’automa Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 28 / 40 Tree automata - def. formale - 1 Un automa ad albero (non deterministico, top-down) su A è nella forma: A = (Q, q0 , ∆, F ) Q = insieme di stati q0 = stato iniziale ∈ Q ∆ ⊆ QxAxQxQ F ⊆ Q: insieme di stati finali Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 29 / 40 Tree automata - def. formale - 2 Run di A su un albero binario finito t: albero r :dom+ (t) → Q dove I I r () ∈ Q0 (r (w), t(w), r (w0), r (w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ dom(t) Una run è successful se: r (w) ∈ F ∀w ∈ fr + (t) Il linguaggio dell’albero T(A) riconosciuto da A: insieme di alberi t che portano A a percorrere una successful run T riconoscibile: T = T(A) per qualche A Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 30 / 40 Automi su alberi infiniti Due esempi di Tree automata infiniti sono rappresentati da: Büchi Tree automata Rabin Tree automata Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 31 / 40 Büchi tree automaton Un automa di Büchi ad albero su A è nella forma: A = (Q, q0 , ∆, F ) Q = insieme di stati q0 = stato iniziale ∈ Q ∆ ⊆ QxAxQxQ F ⊆ Q: insieme di stati finali Run di A su un albero t ∈ TAω : mappa r :{0, 1}∗ → Q dove I I r () ∈ q0 (r (w), t(w), r (w0), r (w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ {0, 1}∗ Una run è successful se: T ∀ path π, In(r |π) F 6= ∅ Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 32 / 40 Rabin tree automaton Un automa di Rabin ad albero su A è nella forma: A = (Q, q0 , ∆, Ω) Q = insieme di stati q0 = stato iniziale ∈ Q F ⊆ Q: insieme di stati finali Ω{(L1 , U1 ), · · · , (Ln , Un )} è un insieme di coppie accettanti Una run è successful se: ∀ path π ∃i ∈ {1, · · · , n} con I In(r |π) T Li = ∅ e In(r |π) Amedeo Leo, Simone Romano T Ui 6= ∅ Automata on infinite objects May 28, 2015 33 / 40 Accettazione Un albero t ∈ TAω : accettato da Büchi : "run successful" secondo Büchi accettato da Rabin: "run successful" secondo Rabin Un insieme T ⊆ TAω è: Büchi riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa di Büchi Rabin riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa di Rabin Nota: Automa di Büchi ⊆ Automa di Rabin (Ω = {(∅, F )}) ⇒ Ogni TAω Büchi riconoscibile è anche Rabin riconoscibile. Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 34 / 40 Varianti di Rabin Muller Ω rimpiazzato dall’insieme di stati F accettazione: ∃ una run r t.c. ∀π, In(r |π) ∈ F Streett ∀ path π ∃i ∈ {1, · · · , n} con T T In(r |π) Ui 6= ∅ ⇒ In(r |π) Li 6= ∅ Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 35 / 40 Outline 1 Introduzione 2 Automi su parole infinite 3 Automi ad albero 4 Conclusioni Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 36 / 40 Riepilogo Argomenti trattati: ω-word Automi di Büchi I I I I ω-linguaggio Espressioni ω-regolari Problema del vuoto Complemento Automi di Muller - Rabin ω-linguaggi Context-Free Automi ad albero Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 37 / 40 Argomenti non trattati Condizioni di accettazione e gerarchia di Borel Complemento e determinazione dei giochi Modelli di automi per sistemi temporizzati I Timed automata Automi su alfabeti infiniti Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 38 / 40 Riferimenti Automata on Infinite Objects - http://ki-www. inferenzsysteme.informatik.tu-darmstadt.de/ fgdi3/2007/Material/Paper/Thomas_Automata.pdf Automata theory and its applications http://lcs.ios.ac.cn/~wuzl/pub/lecture-01.pdf Linguaggi formali, automi e logiche - https://users.dimi. uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 39 / 40