Balistica 1

Figure 1:
0.1
Balistica
Triste ma vero: un forte impulso alla nascita della fisica moderna venne dal
bisogno di sapere dove accidenti finissero le palle sparate dai cannoni...
0.1.1
Bersaglio fisso
Abbiamo un cannone che spara proiettili di massa M
con velocità di uscita V0 (dalla bocca del cannone). Abbiamo un
bersaglio fisso di cui conosciamo la posizione (rispetto al
punto di sparo). Che ’alzo’ si deve usare per colpire il
bersaglio? Si trascurino l’attrito dell’aria e la rotazione
della Terra.
–––––––—
Iniziamo con la scelta del riferimento. L’origine è dettata dal buon senso:
dobbiamo seguire il moto del proiettile (che consideremo puntiforme) conoscendo
la sua velocità (o meglio il modulo della velocità) al momento della sua uscita dalla bocca del cannone. In tale momento faremo scattare il cronometro
(origine dei tempi) e sulla bocca del cannone porremo l’origine del riferimento
cartesiano. Come scegliere la direzione degli assi? Ci sono due direzioni ’privilegiate’: la prima è la verticale lungo la quale è allineato il vettore accelerazione
(l’accelerazione di gravità g), la seconda direzione è data dalla congiungente
origine-bersaglio (vettore posizione del bersaglio rb ). Purtroppo queste due direzioni non sono in generale ortogonali; comunque determinano un piano (salvo
nel caso speciale in cui il bersaglio sia sulla verticale del cannone...): sceglieremo allora tale piano come piano x, y con l’asse y verticale rivolto verso l’alto e
1
Figure 2:
l’asse x che punta al ’piede’ del bersaglio (vedi figura). L’asse z sarà fissato di
conseguenza (ma già dovremmo sapere che non avrà nessun ruolo).
Sembra banale, ma dobbiamo puntare il cannone verso il bersaglio... cioè
il vettore della velocità di uscita V0 deve essere sul piano x, y e, a naso, deve
formare con l’asse x un angolo α (alzo del cannone) compreso tra l’alzo (o elevazione) del bersaglio (δ) e 90◦ (figura). Siccome stiamo trascurando l’attrito
dell’aria e la rotazione della terra (cioè trascuriamo anche la forza di Coriolis),
allora sul proiettile agirà solo la forza peso e quindi conosciamo lungo il moto
la sua accelerazione che sarà costante e pari a g. E’ bene notare che solo questa
ultima supposizione (costanza di g) è in genere abbastanza buona (a meno che il
proiettile non raggiunga grandi altezze). Infatti, considerate le alte velocità dei
proiettili stessi e le lunghe gittate di molti cannoni, sicuramente non è trascurabile l’attrito dell’aria (neanche per proiettili piccoli e ’aereodinamici’) e molto
spesso non è trascurabile l’accelerazione di Coriolis. I computers, che ai nostri giorni regolano il tiro, tengono facilmente conto di questi fattori aggiuntivi;
ma gli ufficiali di tiro pre-computer, non avendo tempo di fare complessi calcoli, dovevano basarsi in parte su tabelle precalcolate e ancor più sul feedback,
apportando correzioni al tiro in base all’osservazione di dove avessero colpito
i proiettili sparati precedentemente. In definitiva quello che studieremo è un
problema ’ideale’ che potrebbe avere adeguata applicazione solo su un pianeta
non ruotante e privo di atmosfera.
Notare che queste considerazioni varranno anche per i successivi problemi di
balistica.
Ritorniamo al punto. Abbiamo un classico problema di cinematica: conoscendo
l’accelerazione di un punto materiale e i dati iniziali (posizione e velocità iniziali)
2
vogliamo risalire alla legge oraria.
Dunque per il proiettile abbiamo:
..
r(t) = g
(1)
cioè moto uniformente accelerato e quindi dalla teoria sappiamo che
.
v(t) = r(t) = v(0) + g t
(2)
1
r(t) = r(0) + v(0) t + g t2
(3)
2
Notare che le formule vettoriali sono indipendenti dal riferimento scelto;
il riferimento scelto entrerà solo quando avremo specificato le componenti dei
vettori sugli assi. Per definizione (stranamente per gli studenti risulta ostico
ricordarlo...)
r
.
r
..
r
≡ (x, y, z)
(4)
≡ (ẋ, ẏ, ż)
(5)
≡ (ẍ, ÿ, z̈)
(6)
e poi, nel particolare riferimento scelto, abbiamo (vedi figura sopra):
g ≡ (0, −g, 0)
(7)
v(0) ≡ (v (0) cos(α), v (0) sen(α), 0)
(8)
r(0) ≡ (0, 0, 0)
(9)
Perciò la legge oraria (3), proiettata sugli assi, è
x(t) = v (0) cos(α) t
1
y(t) = v (0) sen(α) t − g t2
2
z(t) = 0
(10)
(11)
(12)
cioè un moto uniforme sull’asse x, uniformemente accelerato sull’asse y, nessun moto sull’asse z (come previsto, data l’assenza dell’accelerazione di Coriolis).
Lo studente con qualche conoscenza di geometria avrà forse riconosciuto che le
equazioni sopra sono le equazioni parametriche di una parabola nel piano x, y
(t funge da parametro). Ricaviamo ora l’equazione cartesiana di tale conica che
è poi la traiettoria del proiettile. Per far ciò eliminiamo il ’parametro’ usando
la (10) per ricavare t e inserendo poi il risultato nella (11):
t=
x
v (0) cos(α)
3
(13)
x
1
x2
− g 2
(14)
v (0) cos(α) 2 v (0) cos2 (α)
ovvero
µ
¶
x
g
y=
sen (α) −
x
(15)
cos(α)
2 v 2 (0) cos(α)
Vediamo bene allora che la traiettoria è in effetti una parabola che incrocia
l’asse delle x (orizzontale al livello del cannone) nei punti x = 0 (partenza del
proiettile) e
2 v 2 (0) sen (α) cos(α)
x̃ =
(16)
g
Ottenuta una formula sarebbe sempre il caso di fare un controllo dimensionale: noi lo faremo raramente ma lo studente non dovrebbe esimersi (per
il suo bene..). Dunque, usando la notazione standard per le dimensioni cioè l
per lo spazio (lunghezza), t per il tempo e m per la massa, e considerando (vedi
prima) che il seno e il coseno in quanto funzioni trascendenti sono adimensionali,
abbiamo:
¡ ¢
y = v (0) sen(α)
l 2
t
l
t2
l=
(17)
Il controllo è ok, ma ricordate che se il controllo fosse stato negativo la
formula sarebbe stata sicuramente sbagliata, mentre un controllo positivo non
assicura che sia esatta... ammettiamo per esempio che invece della (16) avessimo
trovato
4 v 2 (0) sen2 (α) cos(α)
x̃ =
(18)
g
e controlliamone l’esattezza dimensionale...
Ritorniamo alla formula (16): x̃ è la ’gittata’ del cannone cioè la massima
distanza in orizzontale a cui giunge il proiettile sparato con alzo α.
La massima altezza sarà nel vertice della parabola che si trova ovviamente
in
x̄ =
v 2 (0) sen (α) cos(α)
g
(19)
e quindi è
ȳ
=
=
v 2 (0) sen (α) cos(α)
1
cos(α)
g
2
2
1 v (0) sen (α)
2
g
µ
sen (α) −
¶
g
v 2 (0) sen (α) cos(α)
(20)
2 v 2 (0) cos(α)
g
(21)
Notare che si poteva trovare la massima altezza anche considerando che nel
vertice la velocità (che è sempre tangente alla traiettoria) deve essere orizzontale
quindi la componente ẏ , ottenuta derivando la (11) deve essere nulla:
0 = v (0) sen(α) − g t̄
4
(22)
Figure 3:
Cioè il proiettile raggiunge la massima altezza al tempo
t̄ =
v (0) sen(α)
g
(23)
Sostituendo nella (11) abbiamo
v (0) sen(α) 1
y(t̄) = v (0) sen(α)
− g
g
2
1 v 2 (0) sen2 (α)
=
2
g
µ
v (0) sen(α)
g
¶2
(24)
(25)
come deve essere.
Esercizi per lo studente: con che alzo la gittata sarà massima? la massima
gittata è la massima distanza raggiungibile dal proiettile di quel cannone? con
che alzo la massima altezza sarà massima? a che tempo si raggiunge x̃? con
che velocità? etc. etc. a seconda della curiosità dello studente...
Dopo aver discusso il moto del proietto (come avrebbe detto Galileo) torniamo al problema originale: con che alzo si colpisce il bersaglio?
Essendo il bersaglio fermo, basterà che le sue coordinate xb , yb soddisfino
l’equazione (15): cioè la traiettoria deve passare per il bersaglio
¶
µ
xb
g
yb =
(26)
sen (α) −
xb
cos(α)
2 v 2 (0) cos(α)
5
In tale equazione tutto è noto tranne l’angolo di alzo α: epperò è una equazione
trascendente nell’incognita α e le equazioni trascendenti sono ostiche... Lo studente dovrebbe ora provare da solo e trovare un qualche escamotage prima di
leggere sotto.
Riscriviamo
yb
1
g x2b
2 v 2 (0) cos2 (α)
g x2b sen2 (α) + cos2 (α)
= xb tan (α) −
2 v 2 (0)
cos2 (α)
g x2b
g x2b
tan2 (α) −
= xb tan (α) −
2
2 v (0)
2 v 2 (0)
= xb tan (α) −
(27)
(28)
(29)
Bene! ci siamo ridotti ad una semplice equazione algebrica di secondo grado
nella variabile τ = tan (α). Riscriviamola (e controllate le dimensioni!):
τ2 −
2 v 2 (0)
2 v 2 (0) yb
τ +1+
=0
g xb
g x2b
(30)
Le soluzioni sono
τ±
v 2 (0)
=
±
g xb
sµ
v 2 (0)
g xb
¶2
−1−
2 v 2 (0) yb
g x2b
(31)
Di nuovo abbiamo una soluzione matematica che va interpretata fisicamente.
Innanzitutto τ = tan (α) dovrebbe essere reale (e positivo...), quindi
µ
v 2 (0)
g xb
¶2
2 v 2 (0) yb
≥0
g x2b
(32)
v 4 (0)
2 v 2 (0) yb
−1−
2
2
g xb
g x2b
(33)
−1−
Riscrivendo
0 ≤
yb
≤ −
g x2b
v 2 (0)
+
2 v 2 (0)
2g
(34)
g x2b
v 2 (0)
+
2 v 2 (0)
2g
(35)
ma
yb = −
è l’equazione di una parabola che incrocia l’asse delle x (yb = 0) in
x̃b± = ±
v 2 (0)
g
e ha il vertice in
x̄b = 0, ȳb =
6
v 2 (0)
2g
(36)
(37)
Figure 4:
Questa parabola è detta ’parabola di sicurezza’ (Nota 1) nel senso che chi
è FUORI da questa parabola sta sicuro cioè non può essere colpito dal cannone (discriminante negativo, nessuna soluzione per l’alzo). Un bersaglio sulla
parabola di sicurezza può essere ³
colpito´ ma c’è un solo tiro possibile (discrim2
inante nullo: alzo α = arctan g vg (0)
xb , vedi (31)). Un bersaglio all’interno
della parabola di sicurezza può essere raggiunto con due alzi diversi: per l’alzo
α più vicino all’elevazione δ del bersaglio si parla di ’tiro diretto’ (quello dei
fucili...), per l’alzo superiore si parla di ’tiro a parabola’ (quello dei mortai...).
Ovviamente in tutti e due i casi la traiettoria è pur sempre una parabola:
1
Quesito
Che relazione c’è tra i due angoli α− del tiro ’diretto’ e α+ del tiro
a "parabola"?
Dimostrare che:
• I due angoli α+ = η +γ, α− = η −γ sono simmetrici rispetto alla bisettrice
dell’angolo tra la verticale e la linea del bersaglio (congiungente originebersaglio).
(Per δ = 0, cioè quando il bersaglio è sull’orizzontale, allora η =
risultato ottenuto era già noto a Galileo.)
7
π
4
e il
• Tra parentesi, infine, che fine ha fatto la massa del proiettile? perchè non
è stata mai utilizzata?
8