esercizi di preparazione all`esame del II modulo

Esercizi di preparazione per l’Esame di istituzioni di geometria
superiore II modulo
Esercizio 1. i): Sia r > 0 e poniamo
Bn (0, r) = {x ∈ Rn : kxk < r}.
Sia f : Bn (0, 1) → Rn un diffeomorfismo locale. Sia F : Bn (0, 1)×[0, 1] → Rn
un’omotopia C ∞ con f0 = f (qui ft = F ( , t) : Bn (0, 1) → Rn ). Si dimostri
che esiste 0 ∈ (0, 1) tale che per ogni ∈ (0, 0 ) la mappa indotta
1
f : Bn 0,
→ Rn
2
é un diffeomorfismo locale.
ii): Si usi i) per dimostrare quanto segue: siano X e Y varietá differenziabili con X compatta. Sia g : X → Y un diffeomorfismo locale (cioé X e
Y hanno uguale dimensione, diciamo n, e il differenziale dx g ha rango n in
ogni x ∈ X). Sia G : X × [0, 1] → Y un’omotopia C ∞ con g0 = g. Allora
esiste 0 ∈ (0, 1) tale che per ogni ∈ (0, 0 ) la mappa indotta g : X → Y é
un diffeomorfismo locale (Sugg.: Poiché X é compatta, esiste un atlante di
X dato da un numero finito di carte locali
ϕi : Bn (0, 1) → X,
tali che
X=
r
[
(i = 1, . . . , r),
ϕi Bn
i=1
1
0,
2
;
si applichi i) alle mappe fi = g ◦ ϕi : Bn (0, 1) → Rn e alle omotopie Fi :
Bn (0, 1) × [0, 1] → Rn date da Fi (x, t) = G(ϕi (x), t)).
iii): Si dia un esempio che mostra che la conclusione in ii) é generalmente
falsa se X non é compatta.
Esercizio 2. Si spieghi cosa significa che una mappa C ∞ di varietá differenziabili f : X → Y é trasversale a una sottovarietá Z ⊆ Y . Si enunci un
teorema che descrive le proprietá dell’immagine inversa f −1 (Z) ⊆ X sotto
l’ipotesi che f sia trasversale a Z e lo si dimostri.
Esercizio 3. Per quali valori di a il luogo
X = {x ∈ Rn : cos(1 + kxk2 ) ≤ a}
1
é una varietá con bordo? Di quale dimensione? Con quali spazi tangenti?
Per quali valori di a ∈ R la varietá
S = {x ∈ R4 : x2 + y 2 + z 2 ≤ t2 , x2 − y 2 + z 2 − t2 = a}
é una varietá con bordo? Di quale dimensione? Con quali spazi tangenti?
Esercizio 4. Si dia un esempio di varietá con bordo non compatta (X, ∂X)
con una mappa C ∞ f : X → ∂X tale che f (x) = x per ogni x ∈ ∂X. Si
dimostri che ció non puó accadere per varietá con bordo compatte.
Esercizio 5. Si dia un esempio di varietá con bordo compatta (X, ∂X) e
una mappa f : X → X senza punti fissi. Sia D = B2 (0, 1) e si dia un esempio
di mappa f : D → D senza punti fissi. Si enunci e dimostri il teorema del
punto fisso di Brower. Si
al variare di α ∈ C \ {±1} le mappe
considerino
1
razionali fratte ϕα : C \ − α → C date da
ϕα (z) =
z+α
.
αz + 1
Sapendo che ogni ϕα porta cerchi in rette o cerchi, determinare quali ϕα
inducono una mappa D → D e discurne i punti fissi.
Esercizio 6. Sia X ⊆ R3 una superficie liscia (in altre parole, una sottovarietá bidimensionale) non contenente l’origine. Si dimostri che quasi ogni
retta e ogni piano passanti per l’origine 0 sono trasversali a X. Si rimuova poi
l’ipotesi che X non passi per l’origine e si dimostri la stessa cosa. Potrebbe
essere vero lo stesso asserto senza l’ipotesi che 0 6∈ X se X fosse una superficie
in R4 ?
Esercizio 7. Si dimostri che la sfera ed il toro non sono diffeomorfi (si usi
l’invariante I2 ). Si dimostri che il toro e la sfera privati di un punto non sono
diffeomorfi.
Esercizio 8. Si definisca il fibrato normale di una sottovarietá X ⊆ Rk e si
dimostri che é una varietá k-dimensionale (Sugg.: si cominci col descrivere il
fibrato normale di una sottovarietá della forma X = F −1 (a), ove F : Rk →
R` é C ∞ e a ∈ R` é un valore regolare di F ; si osservi poi che localmente
ogni sottovarietá ha questa forma.) Si consideri l’ellissoide
2
x
y2 z2
+ 2 + 2 =1
X=
a2
b
c
e si trovino i punti critici e i valori singolari della mappa ψ : N (X) → R3
data da ψ(x, v) = x + v.
2
Esercizio 9. Sia f : X → Y una mappa C ∞ e sia Z ⊆ Y una sottovarietá
con dimX + dim Z = dim Y . Si definisca il numero di intersezione mod. 2 di
f con Z, spiegando perché la definizione é ben posta.
Esercizio 10. Si dimostri che esiste un numero complesso z tale che
z 37 + ln(1 + |z|2 )z 22 cos(|z|2 ) = 0.
Esercizio 11. Si dimostri che una varietá compatta non é contrattile. Si
dimostri che una varietá compatta privata di un punto puó essere o meno
contrattile.
Esercizio 12. Sia X ⊆ Rk un’ipersuperficie compatta e sia x ∈ Rk \ X. Si
definisca il numero di avvolgimento modulo 2 di X rispetto a x, W2 (X, x). Sia
γ : [0, 1] → Rk \X una curva C ∞ . Si dimostri che W2 (X, γ(0)) = W2 (X, γ(1)).
Esercizio 13. Si dimostri che se nelle ipotesi precedenti si ha kxk 0 allora
W2 (X, x) = 0.
eccetera eccetera...
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