equazioni.letterali.fratte.grado1 bx

Equazioni letterali fratte di I° grado
Un’equazione letterale fratta è un’equazione fratta che contiene, oltre la lettera che rappresenta l’incognita
dell’equazione, altre lettere, dette parametri, che rappresentano numeri ben determinati, cioè aventi
valore costante ma non indicato.
La risoluzione di un’equazione letterale fratta, detta discussione, consiste nel determinare come variano le
sue soluzioni al variare dei valori assunti dai parametri che in essa compaiono.
Per risolvere un’equazione letterale fratta occorre:
1. Scomporre in fattori i denominatori e calcolare il m.c.m.
2. Determinare le condizioni di esistenza, cioè quei valori dei parametri che fanno perdere di significato
l’equazione (per tali valori non ha senso risolvere l’equazione)
3. Determinare le condizioni di accettabilità delle incognite. Tali condizioni sono utilizzate nella fase
finale della discussione per stabilire l’accettabilità delle soluzioni trovate.
4. Ridurre l’equazione a forma normale e studiare i vari casi:
equazione che perde significato
equazione determinata
equazione indeterminata
equazione impossibile
5. Discutere le soluzioni trovate confrontandole con le condizioni di accettabilità delle incognite (punto3)
6. Effettuare il riepilogo finale.
Matematica
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1
Esempio 1
1 1
+ =0
‫ܽ ݔ‬
Condizione di esistenza: ܽ ≠ 0 . Per ܽ = 0 l’equazione perde significato
Condizione di accettabilità: ‫ ≠ ݔ‬0
Riduzione a forma normale:
moltiplicando per: ܽ‫ ≠ ݔ‬0 si ha: ܽ + ‫ = ݔ‬0
Determinazione delle soluzioni: ‫ = ݔ‬−ܽ
Discussione:
Non esiste alcun valore del parametro a per cui l’equazione risulti indeterminata o impossibile.
Verifica dell’accettabilità della soluzione ‫ = ݔ‬−ܽ trovata.
Per la condizione di accettabilità, tale soluzione è accettabile se diversa da 0 .
Imponendo tale condizione si ha: −ܽ ≠ 0 cioè: ܽ ≠ 0 .
Riepilogando:
Valore del parametro
ܽ=0
ܽ≠0
Tipo di Equazione
Soluzioni
Equazione che perde significato
Equazione determinata
‫ = ݔ‬−ܽ
Esempio 2
ܽ
=ܽ+1
‫ݔ‬+1
Condizione di accettabilità: ‫ ≠ ݔ‬−1
Riduzione a forma normale:
moltiplicando per: ‫ ݔ‬+ 1 ≠ 0 si ha: ܽ = ሺܽ + 1ሻሺ‫ ݔ‬+ 1ሻ ;
ܽ = ܽ‫ ݔ‬+ ܽ + ‫ ݔ‬+ 1 ;
ሺܽ + 1ሻ‫ = ݔ‬−1
Discussione:
Se ܽ + 1 = 0 ; ܽ = −1 ⇒ 0‫ = ݔ‬−1 equazione impossibile.
Se ܽ + 1 ≠ 0 ; ܽ ≠ −1 ⇒
ଵ
‫ = ݔ‬− ௔ାଵ
Per la condizione di accettabilità, tale soluzione è accettabile se diversa da −1 .
Imponendo tale condizione si ha:
ଵ
− ௔ାଵ ≠ −1 ;
ଵ
௔ାଵ
≠1;
ܽ+1≠1;
ܽ≠0 .
Riepilogando:
Valore del parametro
ܽ = −1
ܽ≠0
Matematica
Tipo di Equazione
Soluzioni
Equazione impossibile
e
ܽ ≠ −1
Equazione determinata
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‫=ݔ‬−
1
ܽ+1
2
Esempio 3
2ܽ
‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬−ܽ
+ ଶ
=
‫ݔ‬−3 ‫ ݔ‬−9 ‫ݔ‬+3
2ܽ
‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬−ܽ
+
=
‫ ݔ‬− 3 ሺ‫ ݔ‬+ 3ሻሺ‫ ݔ‬− 3ሻ ‫ ݔ‬+ 3
Condizione di esistenza: ∀ܽ ∈ ܴ ⇒ l’equazione non perde mai significato.
Condizione di accettabilità: ‫ ≠ ݔ‬∓3 .
Riduzione a forma normale:
moltiplicando per ሺ‫ ݔ‬+ 3ሻሺ‫ ݔ‬− 3ሻ si ha: 2ܽሺ‫ ݔ‬+ 3ሻ + ‫ ݔ‬ଶ = ሺ‫ ݔ‬− ܽሻሺ‫ ݔ‬− 3ሻ ;
2ܽ‫ ݔ‬+ 6ܽ + ‫ ݔ‬ଶ = ‫ ݔ‬ଶ − 3‫ ݔ‬− ܽ‫ ݔ‬+ 3ܽ ;
3ܽ‫ ݔ‬+ 3‫ = ݔ‬−3ܽ ; 3ሺܽ + 1ሻ‫ = ݔ‬−3ܽ ;
Discussione:
se ܽ + 1 = 0 cioè se ܽ = −1 si ha: 0‫ = ݔ‬1
௔
se ܽ + 1 ≠ 0 si ha: ‫ = ݔ‬− ௔ାଵ
ሺܽ + 1ሻ‫ = ݔ‬−ܽ ;
equazione impossibile.
Per la condizione di accettabilità, tale soluzione è accettabile se diversa da −3 e diversa da +3 .
Imponendo tali condizioni si ha:
௔
− ௔ାଵ ≠ −3 ;
−
௔
௔ାଵ
≠3;
௔
௔ାଵ
≠3;
ܽ ≠ 3ܽ + 3 ;
−ܽ ≠ 3ܽ + 3 ;
4ܽ ≠ −3 ;
ଷ
2ܽ ≠ −3 ;
ܽ≠−
ଷ
ସ
ܽ ≠ −ଶ .
.
Riepilogando:
Valore del parametro
Tipo di Equazione
ଷ
ଷ
ܽ = −1 oppure ܽ = − ଶ oppure ܽ = − ସ
ܽ ≠ −1 e
ଷ
ܽ ≠ −ଶ e
ଷ
ܽ ≠ −ସ
Soluzioni
Equazione impossibile
Equazione determinata
‫=ݔ‬−
௔
௔ାଵ
Esempio 4
2‫ ݔ‬− ܽ ‫ ݔ‬+ ܽ
‫ݔ‬
−
= 1−
ܽ
3ܽ
2
Condizione di esistenza: ܽ ≠ 0 . Per ܽ = 0 l’equazione perde significato.
6ሺ2‫ ݔ‬− ܽሻ − 2ሺ‫ ݔ‬+ ܽሻ = 6ܽ − 3ܽ‫; ݔ‬
ሺ10 + 3ܽሻ‫ = ݔ‬14ܽ .
Discussione:
ଵ଴
se ܽ = − ଷ
se ܽ ≠ −
ଵ଴
ଷ
si ha: 0‫ = ݔ‬−
ଵସ଴
ଷ
ଵସ௔
12‫ ݔ‬− 6ܽ − 2‫ ݔ‬− 2ܽ − 6ܽ + 3ܽ‫ = ݔ‬0 ;
equazione impossibile.
si ha: ‫ = ݔ‬ଵ଴ାଷ௔
Riepilogando:
Valore del parametro
ܽ=0
ܽ=−
ܽ≠0
Tipo di Equazione
Soluzioni
Equazione che perde significato
ଵ଴
Equazione impossibile
ଷ
e
Matematica
ܽ≠−
ଵ଴
ଷ
Equazione determinata
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ଵସ௔
‫ = ݔ‬ଵ଴ାଷ௔
3
Esempio 5
‫ݔ‬ଶ
ܽ‫ݔ‬
2ܽ
−
=0
− 2‫ ݔ‬+ 1 ‫ ݔ‬− 1
ܽ‫ݔ‬
2ܽ
−
=0
ଶ
ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ
‫ݔ‬−1
Condizione di accettabilità: ‫ ≠ ݔ‬1 .
Per ‫ ≠ ݔ‬1 si ottiene: ܽ‫ ݔ‬− 2ܽሺ‫ ݔ‬− 1ሻ = 0 ;
ܽ‫ —ݔ‬2ܽ‫ ݔ‬+ 2ܽ = 0 ;
−ܽ‫ = ݔ‬−2ܽ ; ܽ‫ = ݔ‬2ܽ
Se ܽ = 0 si ottiene: 0‫ = ݔ‬0 equazione indeterminata
Se ܽ ≠ 0 ; l’equazione è determinata, con ‫= ݔ‬
ଶ௔
௔
= 2 . Soluzione è accettabile perché diversa da ‫ = ݔ‬1 .
Riepilogando:
Valore del parametro
ܽ=0
ܽ≠0
Tipo di Equazione
Soluzioni
Equazione indeterminata
Equazione determinata
‫=ݔ‬2
Esempio 6
3ܽ
5
2‫ݔ‬
−
=
+1
ሺܽ − 1ሻሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ ܽ − 1 ‫ ݔ‬+ 2
Condizione di esistenza: ܽ ≠ 1 . Per ܽ = 1 l’equazione perde significato
Condizione di accettabilità: ‫ ≠ ݔ‬−2 .
Moltiplicando per il ݉. ܿ. ݉. = ሺܽ − 1ሻሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ ≠ 0 si ha:
3ܽ − 5ሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ = 2‫ݔ‬ሺܽ − 1ሻ + ሺ‫ ݔ‬+ 2ሻሺܽ − 1ሻ . . .
ሺ2 + 3ܽሻ‫ ܽ = ݔ‬− 8
ଶ
Se ܽ = − ଷ
⇒
‫ = ݔ݋‬−
ଶ
Se ܽ ≠ − ଷ e ܽ ≠ 1
ଶ଺
equazione impossibile
ଷ
௔ି଼
⇒
‫ = ݔ‬ଶାଷ௔
௔ି଼
Ricordando la condizione di accettabilità: ‫ ≠ ݔ‬−2 , la soluzione ‫ = ݔ‬ଶାଷ௔ è accettabile se diversa da −2 .
Cioè se:
௔ି଼
ଶାଷ௔
≠ −2 ;
ܽ − 8 ≠ −2ሺ2 + 3ܽሻ ;
௔ି଼
ସ
ܽ − 8 ≠ −4 − 6ܽ ; ܽ ≠ ଻
ସ
ଶ
Pertanto la soluzione ‫ = ݔ‬ଶାଷ௔ è accettabile se ܽ ≠ ଻ , oltre alle condizioni precedenti ܽ ≠ − ଷ e ܽ ≠ 1 .
Riepilogando:
Valore del parametro
Tipo di equazione
ܽ=1
Soluzioni
Equazione che perde significato
ଶ
ܽ = −ଷ
ܽ≠1
Matematica
Equazione impossibile
e
ଶ
ܽ ≠ −ଷ
e
ସ
ܽ≠଻
Equazione determinata
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௔ି଼
‫ = ݔ‬ଶାଷ௔
4
Esempio 7
‫ݔ‬
ܽ
‫ݔ‬ଶ
−
=
‫ ݔ‬+ ܽ ‫ ݔ‬− ܽ ሺ‫ ݔ‬+ ܽሻሺ‫ ݔ‬− ܽሻ
Condizione di esistenza e di accettabilità coesistono: ‫ ≠ ݔ‬−ܽ e ‫ܽ ≠ ݔ‬
Moltiplicando per il ݉. ܿ. ݉. = ሺ‫ ݔ‬− ܽሻሺ‫ ݔ‬+ ܽሻ ≠ 0 si ha: 2ܽ‫ = ݔ‬−ܽଶ
Se ܽ = 0 ⇒ 0‫ = ݔ‬0
equazione indeterminata.
௔మ
௔
Se ܽ ≠ 0 ⇒ ‫ = ݔ‬− ଶ௔ = − ଶ .
Ricordando le condizioni di accettabilità e di esistenza: ‫ ≠ ݔ‬−ܽ e ‫ ܽ ≠ ݔ‬,
la soluzione ‫ = ݔ‬−
௔
ଶ
è accettabile se diversa da −ܽ e da ܽ .
௔
௔
ଶ
ଶ
Cioè se: − ≠ −ܽ e − ≠ ܽ .
Dalla prima si ha: −ܽ ≠ −2ܽ ; ܽ ≠ 0
Dalla seconda si ha: −ܽ ≠ 2ܽ ; 3ܽ ≠ 0 ; ܽ ≠ 0 .
Pertanto la soluzione ‫ = ݔ‬−
௔
è accettabile se ܽ ≠ 0
ଶ
Valore del parametro
Tipo di equazione
ܽ=0
Equazione indeterminata
ܽ≠0
Equazione determinata
Soluzioni
‫=ݔ‬−
ܽ
2
Esempio 8
1
‫ݔ‬
+
=1
‫ ݔ‬− 2ܽ + 1 ‫ ݔ‬+ 2ܽ − 1
Condizione di esistenza e di accettabilità coesistono: ‫ ≠ ݔ‬2ܽ − 1 e ‫ ≠ ݔ‬−2ܽ + 1
Moltiplicando per il ݉. ܿ. ݉. = ሺ‫ ݔ‬− 2ܽ + 1ሻሺ‫ ݔ‬+ 2ܽ − 1ሻ ≠ 0 si ha: ሺ1 − ܽሻ‫ = ݔ‬−2ܽଶ + ܽ
Se ܽ = 1 ⇒ 0‫ = ݔ‬−1
equazione impossibile.
ିଶ௔మ ା௔
Se ܽ ≠ 1 ⇒ ‫ = ݔ‬ଵି௔
Ricordando le condizioni di accettabilità e di esistenza: ‫ ≠ ݔ‬2ܽ − 1 e ‫ ≠ ݔ‬−2ܽ + 1 ,
la soluzione ‫= ݔ‬
Cioè se:
ିଶ௔మ ା௔
ଵି௔
ିଶ௔మ ା௔
ଵି௔
è accettabile se diversa da 2ܽ − 1 e da −2ܽ + 1 .
≠ 2ܽ − 1 e
ିଶ௔మ ା௔
ଵି௔
≠ −2ܽ + 1
ଵ
Dalla prima si ha: −2ܽଶ + ܽ ≠ ሺ2ܽ − 1ሻሺ1 − ܽሻ ; . . . ܽ ≠ ଶ
ଵ
Dalla seconda si ha: −2ܽଶ + ܽ ≠ ሺ−2ܽ + 1ሻሺ1 − ܽሻ ; . . ሺ2ܽ − 1ሻଶ ≠ 0 ; ܽ ≠ ଶ .
Pertanto la soluzione ‫= ݔ‬
ିଶ௔మ ା௔
ଵି௔
Valore del parametro
ଵ
ܽ=1
oppure
ܽ≠1
e ܽ≠ଶ
Matematica
ܽ=ଶ
ଵ
ଵ
è accettabile se ܽ ≠ ଶ .
Tipo di equazione
Soluzioni
Equazione impossibile
Equazione determinata
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‫=ݔ‬
ିଶ௔మ ା௔
ଵି௔
5
Esempio 9
ܾ−‫ݔ‬
ܽ−‫ݔ‬
−4=
ܽ
ܾ
Condizione di esistenza: ܽ ≠ 0 e ܾ ≠ 0. Per ܽ = 0 oppure ܾ = 0 l’equazione perde significato.
Moltiplicando per il ݉. ܿ. ݉. = ܾܽ ≠ 0 si ha: ܾ ଶ − ܾ‫ ݔ‬− 4ܾܽ = ܽଶ − ܽ‫; ݔ‬
−ܾ‫ ݔ‬+ ܽ‫ܽ = ݔ‬ଶ − ܾ ଶ + 4ܾܽ ;
ሺܽ − ܾሻ‫ܽ = ݔ‬ଶ − ܾ ଶ + 4ܾܽ ;
Se ܽ = ܾ ⇒ 0‫ = ݔ‬4ܽଶ . Essendo, per le condizioni di esistenza, ܽ ≠ 0 , l’equazione è impossibile.
Se ܽ ≠ ܾ ⇒ ‫= ݔ‬
Riepilogando:
௔మ ି௕మ ାସ௔௕
௔ି௕
Valore del parametro
Tipo di equazione
ܽ=0
ܽ≠0
oppure ܾ = 0
e ܾ≠0 e ܽ=ܾ
Equazione che perde significato
Equazione impossibile
ܽ≠0
e ܾ≠0
Equazione determinata
Matematica
e
ܽ≠ܾ
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Soluzioni
‫=ݔ‬
ܽଶ − ܾ ଶ + 4ܾܽ
ܽ−ܾ
6