Topologia differenziale - Università degli Studi di Milano
Transcript
Topologia differenziale - Università degli Studi di Milano
Topologia differenziale a.a. 2013-2014, I semestre, M. Dedò Programma presunto (bozza del 2 dicembre) Varietà differenziabili, applicazioni differenziabili, diffeomorfismi, spazi tangente ([M1], §1) . Punti critici/regolari e valori critici/regolari. Teorema di Sard ([M1], §2). Grado modulo 2 ([M1], §4). Varietà orientate e grado in Z ([M1], §5). Campi vettoriali, teorema di Hopf-Poincaré ([M1], §6). Numero di Eulero ([R], [2], [4]). Immersioni e submersioni ([GP], cap. 1, §3 e 4). Posizione generica; omotopia e stabilità ([GP], cap. 1, §5 e 6). Funzioni di Morse ([GP], cap. 1, §7). Cenni alla teoria di Morse ([M2] inizio, [6], [M3] §2). Trasversalità e teoria dell’intersezione ([GP], cap. 2, §3 e 4). Qualche esempio di applicazioni (numeri di allacciamento; nodi; classificazione delle superfici;…). Testi di riferimento [B] [G] [GP] [H] [M1] [M2] [M3] [R] [W] Banchoff, Torus decomposition of regular polytopes in 4-space, in “Shaping space”, a cura di Senechal e Fleck, Birkhauser, 1988 Gowers, The work of John Milnor, reperibile in rete Guillemin Pollack, Differential topology, Prentice Hall, 1974, reperibile in rete Hirsch, Differential topology, Springer, 1976 Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Landmarks in mathematics 1997 (ed. orig del 1965), reperibile in rete Milnor, Morse theory, Princeton University Press, 1963 Milnor, Lectures on the h-cobordism theory, Princeton University Press, 1965 Richeson, Euler’s gem, Princeton University Press, 2008 Wallace, Differential topology, first steps, Benjamin, 1968 Siti utili [1] http://www.dimensions-math.org/ qui si può vedere online o scaricare la serie di film di Ghys “Dimensions”. In particolare il settimo e l’ottavo film riguardano la fibrazione di Hopf. [2] http://www.geom.uiuc.edu/docs/education/institute91/ qui si possono scaricare le note del seminario Geometry and the imagination, tenuto nel 1991 nell’università di Minneapolis, e diretto a un pubblico “misto”. [3] http://matematita.science.unitn.it/braids/download.html qui si possono vedere on line o scaricare quattro film sulle trecce: in particolare il terzo riguarda la relazione fra trecce e nodi e vi si può vedere una sorta di “dimostrazione” del teorema di Alexander (ogni nodo è chiusura di una treccia). [4] http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/ un sito che raccoglie venti diverse dimostrazioni della relazione di Eulero. [5] http://www.youtube.com/watch?v=0z1fIsUNhO4 un film sulla proiezione stereografica (e il legame tra trasformaz di Moebius e movimenti rigidi della sfera) [6] http://math.ucr.edu/~res/math260s10/morsetheory.pdf Una carrellata sulla teoria di Morse. Modalità d’esame A (forma standard) Colloquio orale sugli argomenti trattati nel corso, riferendosi ai due testi [GP] e [M1]. In alternativa, si può proporre (e preliminarmente concordare con la commissione) un diverso sottoinsieme degli argomenti trattati nei testi di riferimento qui elencati. Modalità d’esame B (riservata agli studenti che frequentano in maniera attiva il corso 2013-‘14) Si richiedono allo studente 4 cose 1. (leggere) si vuole verificare che lo studente abbia acquisito gli strumenti per essere in grado di leggere autonomamente argomenti connessi a ciò che viene trattato nel corso. L’argomento sarà concordato e in linea di massima andrà scelto da un apposito elenco di cui qui di seguito si vede un inizio e che via via verrà aggiornato a lezione; 2. (raccontare) lo stesso argomento andrà esposto agli altri studenti nelle lezioni finali del corso (in linea di massima negli incontri del mese di gennaio); 3. (scrivere) lo stesso argomento andrà esposto in forma scritta e presentato (in linea di massima contestualmente all’esposizione orale di cui sopra); 4. (ripensamenti) alla fine del corso andrà riconsegnato il secondo dei due questionari distribuito a inizio corso (e disponibile in questa pagina); si vuole verificare, anche attraverso il confronto fra i due questionari consegnati a inizio e fine corso, come il corso possa aver contribuito alla formazione, e soprattutto al riconoscimento, di alcune idee trasversali in matematica. I punti 1, 2 e 3 devono essere gestiti a piccoli gruppi (due o tre studenti). Nel punto2 si può e nel punto 3 si deve distinguere il contributo personale di ciascuno studente. Il punto 4 deve essere gestito individualmente. NB queste modalità sono valide solo fino a settembre 2014. Elenco di argomenti per i primi tre punti della modalità d’esame B NB NB Equivalenza fra diverse possibili definizioni di sottovarietà di Rn e discussione del rapporto con la definizione di varietà astratta. Dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra usando i punti critici (p. es. [M1], pagg.8-9). Classificazione delle superfici a meno di diffeomorfismo (p.es. [W] capp 6-7; oppure [H], cap. 9). Dimostrazione del teorema di Sard (p.es. [M1] cap3). Classificazione delle varietà di dimensione 1 a meno di diffeomorfismo (p.es. [M1] appendice). La fibrazione di Hopf e le decomposizioni che induce sui politopi ([B]). La costruzione di Pontryagin ([M1], cap. 7). Intorno tubolare ([M1], problemi 11 e 12 del cap. 8; vedi anche [H], cap. 4) Embedding di una varietà in uno spazio euclideo (p.es [GP], cap. 1, §8). Numeri di allacciamento e teorema di Jordan (p.es [GP], cap. 2, §5). Teorema di Borsuk Ulam (p.es [GP], cap. 2, §6). Teoria dei punti fissi di Lefschetz (p.es [GP], cap. 3, §4). Le mappe da una varietà alla sfera della stessa dimensione sono caratterizzate dal grado (teorema di Hopf: p.es [GP], cap. 3, §6). Gli argomenti qui elencati NON sono fra loro equivalenti. Questa lista va intesa come (solo!) esemplificativa: si possono utilizzare altri argomenti, direttamente proposti degli studenti, previo averli presentati alla commissione con un certo anticipo.