Topologia differenziale - Dipartimento di Matematica

Topologia differenziale
a.a. 2013-2014, I semestre, M. Dedò
Programma svolto
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Varietà differenziabili, applicazioni differenziabili, diffeomorfismi, spazi tangente ([M1], §1) .
Punti critici/regolari e valori critici/regolari. Teorema di Sard ([M1], §2).
Grado modulo 2 ([M1], §4).
Varietà orientate e grado in Z ([M1], §5).
Campi vettoriali, teorema di Hopf-Poincaré ([M1], §6).
Numero di Eulero ([R], [2], [4]).
Immersioni e submersioni ([GP], cap. 1, §3 e 4).
Posizione generica; omotopia e stabilità ([GP], cap. 1, §5 e 6).
Funzioni di Morse ([GP], cap. 1, §7).
Cenni alla teoria di Morse ([M2] inizio, [6], [M3] §2).
Trasversalità e teoria dell’intersezione ([GP], cap. 2, §3 e 4).
Numeri di avvolgimento; teoremi di Jordan e Borsuk Ulam ([GP], cap. 2, §5 e 6).
Testi di riferimento
[B]
[G]
[GP]
[H]
[M1]
[M2]
[M3]
[R]
[W]
Banchoff, Torus decomposition of regular polytopes in 4-space, in “Shaping space”, a cura di
Senechal e Fleck, Birkhauser, 1988
Gowers, The work of John Milnor, reperibile in rete
Guillemin Pollack, Differential topology, Prentice Hall, 1974, reperibile in rete
Hirsch, Differential topology, Springer, 1976
Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Landmarks in mathematics 1997 (ed.
orig del 1965), reperibile in rete
Milnor, Morse theory, Princeton University Press, 1963
Milnor, Lectures on the h-cobordism theory, Princeton University Press, 1965
Richeson, Euler’s gem, Princeton University Press, 2008
Wallace, Differential topology, first steps, Benjamin, 1968
Siti utili
[1]
http://www.dimensions-math.org/
qui si può vedere online o scaricare la serie di film di Ghys “Dimensions”. In particolare il settimo e l’ottavo
film riguardano la fibrazione di Hopf.
[2]
http://www.geom.uiuc.edu/docs/education/institute91/
qui si possono scaricare le note del seminario Geometry and the imagination, tenuto nel 1991
nell’università di Minneapolis, e diretto a un pubblico “misto”.
[3]
http://matematita.science.unitn.it/braids/download.html
qui si possono vedere on line o scaricare quattro film sulle trecce: in particolare il terzo riguarda la relazione
fra trecce e nodi e vi si può vedere una sorta di “dimostrazione” del teorema di Alexander (ogni nodo è
chiusura di una treccia).
[4]
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
un sito che raccoglie venti diverse dimostrazioni della relazione di Eulero.
[5]
http://www.youtube.com/watch?v=0z1fIsUNhO4
un film sulla proiezione stereografica (e il legame tra trasformaz di Moebius e movimenti rigidi della sfera)
[6]
http://math.ucr.edu/~res/math260s10/morsetheory.pdf
Una carrellata sulla teoria di Morse.
Modalità d’esame A (forma standard)
Colloquio orale sugli argomenti trattati nel corso, riferendosi ai due testi [GP] e [M1].
In alternativa, si può proporre (e preliminarmente concordare con la commissione) un diverso sottoinsieme
degli argomenti trattati nei testi di riferimento qui elencati.
Modalità d’esame B (riservata agli studenti che frequentano in maniera attiva il corso 2013-‘14)
Si richiedono allo studente 4 cose
1. (leggere) si vuole verificare che lo studente abbia acquisito gli strumenti per essere in grado di
leggere autonomamente argomenti connessi a ciò che viene trattato nel corso. L’argomento sarà
concordato e in linea di massima andrà scelto da un apposito elenco di cui qui di seguito si vede un
inizio e che via via verrà aggiornato a lezione;
2. (raccontare) lo stesso argomento andrà esposto agli altri studenti nelle lezioni finali del corso;
3. (scrivere) lo stesso argomento (o eventualmente altro argomento da concordare) andrà esposto in
forma scritta e presentato entro la terza settimana di gennaio; a questo (breve!) testo scritto ne va
aggiunto un altro (altrettanto breve) che consista nella discussione di alcuni problemi (scelti fra la
lista in questa pagina, e i problemi in [GP] e [M1]);
4. (ripensamenti) alla fine del corso andrà riconsegnato il secondo dei due questionari distribuito a
inizio corso (e disponibile in questa pagina); si vuole verificare, anche attraverso il confronto fra i
due questionari consegnati a inizio e fine corso, se e come il corso possa aver contribuito alla
formazione, e soprattutto al riconoscimento, di alcune idee trasversali in matematica.
I punti 1, 2 e 3 devono essere gestiti a piccoli gruppi (due o tre studenti). Nel punto2 si può e nel punto 3 si
deve distinguere il contributo personale di ciascuno studente. Il punto 4 deve essere gestito
individualmente.
NB queste modalità sono valide solo fino a settembre 2014.
Elenco di argomenti per i primi tre punti della modalità d’esame B
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NB
NB
Equivalenza fra diverse possibili definizioni di sottovarietà di Rn e discussione del rapporto con la
definizione di varietà astratta.
Dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra usando i punti critici (p. es. [M1], pagg.8-9).
Classificazione delle superfici a meno di diffeomorfismo (p.es. [W] capp 6-7; oppure [H], cap. 9).
Dimostrazione del teorema di Sard (p.es. [M1] cap3).
Classificazione delle varietà di dimensione 1 a meno di diffeomorfismo (p.es. [M1] appendice).
La fibrazione di Hopf e le decomposizioni che induce sui politopi ([B]).
La costruzione di Pontryagin ([M1], cap. 7).
Intorno tubolare ([M1], problemi 11 e 12 del cap. 8; vedi anche [H], cap. 4)
Embedding di una varietà in uno spazio euclideo (p.es [GP], cap. 1, §8).
Numeri di allacciamento e teorema di Jordan (p.es [GP], cap. 2, §5).
Teorema di Borsuk Ulam (p.es [GP], cap. 2, §6).
Teoria dei punti fissi di Lefschetz (p.es [GP], cap. 3, §4).
Le mappe da una varietà alla sfera della stessa dimensione sono caratterizzate dal grado (teorema
di Hopf: p.es [GP], cap. 3, §6).
Gli argomenti qui elencati NON sono fra loro equivalenti.
Questa lista va intesa come (solo!) esemplificativa: si possono utilizzare altri argomenti,
direttamente proposti degli studenti, previo averli presentati alla commissione con un certo
anticipo.