PROGRAMMA DEL CORSO DI MATEMATICA GENERALE PO Proff

PROGRAMMA DEL CORSO DI
MATEMATICA GENERALE P.O.
Proff. P.L.De Angelis - F. Perla
• Primi elementi di teoria degli insiemi. Operazioni definite nell’insieme
delle parti di un insieme. Concetto di funzione tra insiemi. Funzioni
iniettive, suriettive, biunivoche ed invertibili. Prodotto cartesiano tra
insiemi. Gli insiemi N , Z, Q e R. Operazioni nell’insieme dei numeri
reali. Rappresentazione dei numeri reali. Valore assoluto di un numero
reale. Insiemi numerici: massimo e minimo, maggioranti e minoranti,
estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico. I simboli −∞ e
+∞. Intervalli di R. Funzioni numeriche. Successioni.
• L’insieme R2 . Intervalli di R2 . Coordinate cartesiane ortogonali.
Equazione cartesiana esplicita ed implicita di una retta. Condizioni
di parallelismo e perpendicolarità tra rette. Esercizi.
• Funzioni reali di variabile reale. Le funzioni elementari:
– potenza n-esima
– radice n-esima
– esponenziale
– logaritmica
– trigonometriche(f. seno, coseno, tangente e cotangente)
– trigonometriche inverse(f. arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente)
Disequazioni ottenute con la somma, prodotto, rapporto e composizione
di:
– polinomi di I e II grado
– funzioni elementari.
Sistemi di disequazioni. Esercizi.
• Limite di una successione. Teoremi sui limiti di una successione, Teorema:
– dell’unicità del limite
– della permanenza del segno
– del confronto
– criterio del confronto.
Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone*.Il numero
e∗ .
• Limiti delle funzioni reali di variabile reale. Intorno di un punto.
Punti di accumulazione e punti isolati di un insieme di numeri reali.
Definizione di funzione convergente e divergente al finito ed all’infinito.
Limite a destra ed a sinistra. Teoremi sui limiti di una funzione, Teorema:
– dell’unicità del limite
– della permanenza del segno∗
– del confronto∗
– criterio del confronto∗ .
Esistenza del limite delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Teoremi sui limiti della somma∗ , prodotto∗ e rapporto∗ tra
due funzioni. Forme indeterminate. Teorema sul limite delle funzioni
composte∗ . I limiti
sin x
x→0 x
lim
1 x
lim (1 + )
x→±∞
x
e loro applicazioni. Infiniti ed infinitesimi: definizioni e prime proprietà.
Esercizi.
• Definizione di funzione continua. Operazioni nell’insieme delle funzioni
continue. Continuità delle funzioni elementari. Teoremi
– di Weierstrass∗
– di Bolzano∗
– degli zeri
Punti di discontinuità di una funzione. Rappresentazione delle funzioni
elementari.
• Concetto di derivata. Significato geometrico di derivata. Teorema sulla
continuità delle funzioni derivabili. Regole di derivazione delle funzioni elementari e teoremi sulla derivabilità della somma, prodotto e
rapporto∗ di due funzioni derivabili. Teorema sulla derivabilità di una
funzione inversa∗ . Teorema sulla derivabilità di una funzione composta.
Derivate di ordine superiore. Esercizi.
• Funzioni crescenti e decrescenti in un punto. Massimi e minimi relativi
di una funzione, loro determinazione. Teoremi di
– Fermat
– Rolle
– Lagrange
– Cauchy
Corollari del teorema di Lagrange. Teoremi I∗ e II∗ dell’Hospital. Asintoti, concavità, convessità e flessi di una funzione.
• Studio del grafico di una funzione. Esercizi.
• Determinazione degli zeri di una equazione nonlineare: metodo di bisezione
e metodo delle corde. Esercizi.
• Polinomio di Taylor. Applicazioni.
• Definizione di primitiva e di integrale indefinito di una funzione. Metodi
di integrazione:
– per decomposizione
– per parti
– per sostituzione
Teorema sull’esistenza delle primitive delle funzioni continue. Definizione
di integrale definito. Significato geometrico di integrale definito. Prime
proprietà. Teorema della media. Calcolo delle aree di figure piane. Esercizi.
• Elementi di algebra lineare. Vettori e matrici. Sistemi di equazioni
lineari. Teoremi di Cramer∗ e Rouchè- Capelli. Regola di Cramer e
metodo di eliminazione di Gauss. Esercizi.
N.B. Le dimostrazioni relative ad argomenti seguiti dalla dicitura ∗ non fanno
parte del programma.