Programma svolto di Matematica Generale (classe 28 –Manfredonia

Università degli Studi di Foggia ­ Facoltà di Economia
Programma di
Matematica generale (Classe 17 M­Z)
A.A. 2008­2009 (I Semestre)
Luca Grilli
I MODULO (4 CFU)
0. Prerequisiti minimi.
Calcolo letterale. Espressioni letterali e semplificazioni.
1. Insiemi, funzioni, insiemi numerici, elementi di geometria analitica.
Elementi di Teoria degli Insiemi. Definizioni principali. Inclusione tra insiemi: proprietà. L’insieme delle parti. Unione e intersezione tra insiemi: proprietà. Il complementare di un insieme. Differenza tra due insiemi. Partizione di un insieme. Prodotto cartesiano. Funzioni, dominio e codominio. Funzioni iniettiva, suriettiva e biettiva. Funzione inversa. Funzione composta. Funzione restrizione. Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Rappresentazione geometrica di R. Intervalli. Valore assoluto. Insiemi limitati di R. Maggiorante, minorante, massimo e minimo. Estremo superiore e estremo inferiore, proprietà caratteristiche. Insiemi illimitati. Insiemi separati e insiemi contigui, completezza di R.
Funzioni limitate. Massimo e minimo di una funzione. Estremo superiore e estremo inferiore di una funzione, proprietà caratteristiche. Funzioni illimitate.
Principio di induzione ed esempi
Riferimento cartesiano sul piano. Grafico di una funzione. Funzione lineare. Equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare assegnato. Equazione della retta passante per due punti. Condizioni di parallelismo, di perpendicolarità. Intersezioni tra due rette.
Distanza tra due punti. Equazione di una circonferenza. Funzioni monotone. Funzione concave e convesse. Funzioni pari, dispari e periodiche. Funzione potenza con esponente n, ­n 1/n. Funzione esponenziale, logaritmo. Funzioni trigonometriche seno e coseno. Proprietà del seno e del coseno. Funzione tangente e cotangente. Funzioni trigonometriche inverse.
Operazioni tra funzioni.
Disequazioni irrazionali, disequazioni con il valore assoluto. Proprietà della funzione logaritmo ed esponenziale. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali.
2. Elementi di algebra lineare.
Vettori: definizione, rappresentazione grafica per n=1,2,3. Vettore riga, colonna, somma e differenza tra vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Combinazione lineare tra vettori. Matrici: quadrate, triangolari, diagonali, identità, nulla, simmetrica, trasposta. Somma tra matrici e proprietà. Moltiplicazione di un numero reale per una matrice. Prodotto scalare tra vettori. Prodotto righe per colonne. Traccia. Matrice inversa. Determinante di una matrice quadrata: definizione per ricorrenza. Proprietà del determinante. Matrice aggiunta. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Rango e vettori linearmente indipendenti. Matrici dipendenti da un parametro. Sistemi lineari. Intersezione tra due rette nel piano (parallele, secanti e coincidenti). Sistemi di n equazioni in n incognite. Regola di Cramer. Sistemi di m equazioni in n incognite. Teorema di Rouchè­Capelli. Sistemi lineari dipendenti da un parametro. 3. Limiti di funzioni.
Distanza tra due punti. Intorno di un punto. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Punti di accumulazione. Definizione di limite. Esame dei diversi casi. Teorema sull’unicità del limite. Teorema sul limite della restrizione. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema della convergenza obbligata. Teorema sulla locale limitatezza. Teorema sul limite delle funzioni composte.
Limite da destra e da sinistra. Operazioni sui limiti. Limite della somma. Limite del prodotto. Limite del quoziente. Forme indeterminate. Teorema sul limite della funzione composta. Teorema sul limite delle funzioni monotone (I caso). Limiti notevoli. II MODULO (4 CFU)
4. Funzioni Continue
Continuità e discontinuità. Continuità della composizione di funzioni continue. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri, metodo delle bisezioni (cenni della dimostrazione con esempio grafico). Teorema di Bolzano. Teorema sulla locale limitatezza. Teorema della permanenza del segno. 5. Calcolo differenziale per le funzioni di una variabile.
Derivata. Significato geometrico della derivata. Funzioni derivabili. Regole di derivazioni. Derivazione delle funzioni composte, della funzione inversa. Punti angolosi. Punti cuspidali, di flesso a tangente verticale. Derivate di ordine successivo.
Derivabilità e continuità. Minimi e massimi relativi. Teorema di Fermat (condizione necessaria per punti di min. o max) (idea della dimostrazione). Teorema di Rollè. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange e conseguenze. Minimi e massimi assoluti. Teoremi di De L’Hopital. Formula di Taylor. Funzioni convesse derivabili due volte, convessità e punti di flesso. Asintoti. Studio del grafico di una funzione.
6. Successioni e Serie numeriche.
Definifizione di successione. Esempi. Limiti di successioni. Serie, definizione ed esempi. Serie convergenti, divergenti o irregolari e somma di una serie. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica. Serie armonica. Serie armonica generalizzata. 7. Calcolo integrale.
Integrale indefinito. Caratterizzazione delle primitive. Integrali immediati e “quasi immediati”. Integrazione per parti. Integrale definito (cenni). Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Nota: E’ richiesta la dimostrazione degli argomenti sottolineati
Testi consigliati:
Appunti delle lezioni (contattare il docente: [email protected] )
L. Albano, Lezioni di Matematica Generale, Cacucci Editore, Bari, 1998.
G.C. Barozzi e C. Corradi, Matematica Generale per le Scienze Economiche, Il Mulino, Bologna, 1999.
G.C. Barozzi e C. Corradi, Esercizi per il corso di Matematica Generale per le Scienze Economiche, Il Mulino, Bologna, 1999.
L. De Cesare e L. Maddalena, Esercizi di Matematica Generale, Cacucci Editore, Bari, 1997.
L. De Cesare e L. Maddalena, Prove Scritte di Matematica Generale, Grenzi Editore, Foggia, 2000.
E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, Torino, 2002.