Rete di comunicazione

Transcript

laboratorio
Fondamenti di Ricerca Operativa
Prof. G. Carello
Rete di comunicazione
Si consideri la topologia di rete data in figura. Ogni nodo rappresenta un terminale/router
connesso ad una rete cablata e ogni lato rappresenta un link bidirezionale. Per ogni link è
riportata la banda in Mbps.
1. Formulare in termini di programmazione lineare il problema di individuare la quantità
massima di dati inviabili al secondo (Mbps) dal nodo c al nodo f .
2. Come cambia la formulazione se è necessario massimizzare il flusso tra il sottoinsieme di
nodi {b,d,e}, è necessario cioè massimizzare il flusso tra le coppie {b,d}, {d,e} e {e,b}?
Documento preparato da L. Liberti, S. Bosio, S. Coniglio e C. Iuliano
1
laboratorio
Prof. G. Carello
Schema del modello in AMPL (file rete.mod)
# SETS
set V;
set E within {V,V};
set A within {V,V} :=
E union setof{(i,j) in E} (j,i);
# PARAMS
param s symbolic in V;
param t symbolic in V;
param k{(i,j) in A} >= 0, default if (j,i) in E then k[j,i];
L’insieme A contiene l’arco in E e il rispettivo arco nella direzione inversa.
2
laboratorio
Prof. G. Carello
Dati (file rete.dat), valore ottimo: 62
data;
set V := a b c d e f g h i j k l m;
param s := c;
param t := f;
param: E:
a
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
e
e
e
f
f
f
g
g
h
i
j
k
l
;
k
b
c
d
e
f
c
f
g
h
d
h
i
j
e
j
k
f
k
l
g
l
m
h
m
i
j
k
l
m
:=
19
7
13
2
9
14
10
18
2
11
7
15
16
17
11
16
15
8
13
12
19
4
9
5
14
3
17
20
1
3
laboratorio
Prof. G. Carello
Schema del file rete-2.mod e file rete-2.dat per il secondo punto.
Schema del modello in AMPL (file rete-2.mod)
# SETS
set V;
set E within {V,V};
set D;
# PARAMS
param s{D} symbolic in V;
param t{D} symbolic in V;
4
laboratorio
Prof. G. Carello
Dati (file rete-2.dat), valore ottimo: 106
data;
set V := a b c d e f g h i j k l m;
param: D: s t :=
1
b
2
d
3
b
param: E:
a
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
e
e
e
f
f
f
g
g
h
i
j
k
l
;
k
b
c
d
e
f
c
f
g
h
d
h
i
j
e
j
k
f
k
l
g
l
m
h
m
i
j
k
l
m
d,
e,
e;
:=
19
7
13
2
9
14
10
18
2
11
7
15
16
17
11
16
15
8
13
12
19
4
9
5
14
3
17
20
1
5
laboratorio
Prof. G. Carello
Soluzione
Formulazione
Insiemi
• V : nodi
• A ⊆ V × V : lati
Parametri
• s ∈ V : nodo origine
• t ∈ V : nodo destinazione
• kij : capacità del lato (i, j), con (i, j) ∈ A
Variabili decisionali
• xij : quantità di flusso inviata sul lato (i, j), con (i, j) ∈ A
• φ: valore del flusso
Modello
max
(valore)
φ
s.t.
X
xhj −
(h,j)∈A
xij ≤ kij
X
(i,h)∈A
xih

h=s
 φ
= −φ
h=t

0 h ∈ V \{s, t}
xij ≥ 0
(bilancio)
(i, j) ∈ A (capacità)
(i, j) ∈ A (var. non negative)
6
laboratorio
Prof. G. Carello
Modello in AMPL (file rete.mod)
# SETS
set V;
set E within {V,V};
# PARAMS
# VARS
var x{(i,j) in A} >= 0, <= k[i,j];
var phi >= 0;
# OBJECTIVE FUNCTION
maximize valore: phi;
#CONSTRAINTS
subject to bilancio_s:
sum{(s,j) in A} x[s,j] - sum{(j,s) in A} x[j,s] = phi;
subject to bilancio_t:
sum{(t,j) in A} x[t,j] - sum{(j,t) in A} x[j,t] = -phi;
subject to bilancio{h in V: h <> s and h <> t}:
sum{(h,j) in A} x[h,j] - sum{(i,h) in A} x[i,h] = 0;
7
laboratorio
Prof. G. Carello
Esecuzione in AMPL (file rete.run)
model rete.mod
data rete.dat
option solver cplex;
solve;
display x;
Soluzione
CPLEX 11.2.0: optimal solution;
8 dual simplex iterations (2 in
x [*,*]
:
a
b
c
d
e
f
a
.
2
0
0
2
4
b
0
.
0
.
.
10
c
7
14
.
11
.
.
d
1
.
0
.
17
.
e
0
.
.
0
.
15
f
0
0
.
.
0
.
g
.
0
.
.
.
12
h
.
2
0
.
.
.
i
.
.
0
.
.
.
j
.
.
0
2
.
.
k
.
.
.
5
0
.
l
.
.
.
.
4
17
m
.
.
.
.
.
4
;
objective 62
phase I)
g
.
8
.
.
.
0
.
9
.
.
.
.
0
h
.
0
7
.
.
.
0
.
4
.
.
.
.
i
.
.
7
.
.
.
.
0
.
0
.
.
.
j
.
.
16
0
.
.
.
.
3
.
0
.
.
k
.
.
.
0
8
.
.
.
.
17
.
0
.
l
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
20
.
1
m
.
.
.
.
.
0
5
.
.
.
.
0
.
:=
8
laboratorio
Prof. G. Carello
Formulazione alternativa
Insiemi
• V : nodi
• A ⊆ V × V : lati
Parametri
• s ∈ V : nodo origine
• t ∈ V : nodo destinazione
• xij : quantità di flusso inviato sul lato (i, j), con (i, j) ∈ A ∪ {(t, s)}
Modello
max
(valore)
xts
s.t.
X
X
h∈V
(bilancio)
xij ≤ kij
(i, j) ∈ A
(capacità)
xij ≥ 0
(i, j) ∈ A ∪ {(t, s)} (var. non negative)
(h,j)∈A∪{(t,s)}
xhj −
xih = 0
(i,h)∈A∪{(t,s)}
La formulazione è corretta se nel grafo originario non esiste un arco dal nodo destinazione al
nodo sorgente.
9
laboratorio
Prof. G. Carello
Modello alternativo in AMPL (file rete-b.mod)
# SETS
set V;
set E within {V,V};
# PARAMS
param k{(i,j) in A union {(t,s)}} >= 0, default if (j,i) in E then k[j,i] else Infinity;
# VARS
var x{(i,j) in A union {(t,s)}} >=0, <= k[i,j];
maximize valore: x[t,s];
# CONSTRAINTS
subject to bilancio{h in V}:
sum{(h,j) in A union {(t,s)}} x[h,j] - sum{(i,h) in A union {(t,s)}} x[i,h] = 0;
10
laboratorio
Prof. G. Carello
Flusso multi-commodity
Insiemi
• V : nodi
• A ⊆ V × V : lati
• D: domande
Parametri
• sd ∈ V : nodo origine per la d-esima domanda, con d ∈ D
• td ∈ V : nodo destinazione per la d-esima domanda, con d ∈ D
• xijd : quantità di flusso inviato sul lato (i, j) per la d-esima domanda, con (i, j) ∈ A e
d∈D
• φd : valore del flusso per la d-esima domanda, con d ∈ D
Modello
X
φd
max
(valore)
d∈D
s.t.
X
xhjd −
(h,j)∈A
X
xijd ≤ kij
X
(i,h)∈A
xihd

h = sd
 φd
= −φd
h = td

0 h ∈ V \{sd , td }
d∈D
(bilancio)
(i, j) ∈ A
(capacità)
(i, j) ∈ A, d ∈ D
(variabili non
d∈D
xijd ∈ Z+
negative intere)
11
laboratorio
Prof. G. Carello
Modello di AMPL (file rete-2.mod)
# SETS
set V;
set E within {V,V};
set D;
# PARAMS
param s{D} symbolic in V;
param t{D} symbolic in V;
# VARS
var x{(i,j,d) in {A,D}} >= 0, integer;
var phi{D} >= 0;
maximize valore:
sum{d in D} phi[d];
# CONSTRAINTS
subject to bilancio_s{d in D}:
sum{(s[d],j) in A} x[s[d],j,d] - sum{(j,s[d]) in A} x[j,s[d],d] = phi[d];
subject to bilancio_t{d in D}:
sum{(t[d],j) in A} x[t[d],j,d] - sum{(j,t[d]) in A} x[j,t[d],d] = -phi[d];
subject to bilancio{h in V, d in D: h <> s[d] and h <> t[d]}:
sum{(h,j) in A} x[h,j,d] - sum{(i,h) in A} x[i,h,d] = 0;
subject to capacita{(i,j) in A}:
sum{d in D} x[i,j,d] <= k[i,j];
Esecuzione in AMPL (file rete-2.run)
model rete-2.mod
data rete-2.dat
option solver cplex;
solve;
display x;
12
laboratorio
Prof. G. Carello
Soluzione
CPLEX 11.2.0: optimal integer solution; objective 106
64 MIP simplex iterations
0 branch-and-bound nodes
x [*,*,1]
:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
a
.
0
0
13
0
0
.
.
.
.
.
b
13
.
13
.
.
10
13
2
.
.
.
c
0
0
.
11
.
.
.
0
0
10
.
d
0
.
0
.
0
.
.
.
.
0
0
e
0
.
.
0
.
0
.
.
.
.
0
f
0
0
.
.
0
.
0
.
.
.
.
g
.
0
.
.
.
0
.
9
.
.
.
h
.
0
0
.
.
.
0
.
11
.
.
i
.
.
8
.
.
.
.
0
.
3
.
j
.
.
0
11
.
.
.
.
0
.
2
k
.
.
.
16
0
.
.
.
.
0
.
l
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
14
m
.
.
.
.
.
4
0
.
.
.
.
[*,*,2]
:
a
b
a
.
0
b
0
.
c
7
0
d
4
.
e
0
.
f
0
0
g
.
0
h
.
0
i
.
.
j
.
.
k
.
.
l
.
.
m
.
.
[*,*,3]
:
a
b
a
.
0
b
6
.
c
0
0
d
0
.
e
0
.
f
0
0
g
.
0
h
.
0
i
.
.
j
.
.
k
.
.
l
.
.
m
.
.
;
c
0
0
.
7
.
.
.
0
0
0
.
.
.
d
0
.
0
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
e
2
.
.
17
.
15
.
.
.
.
8
2
.
f
9
0
.
.
0
.
0
.
.
.
.
6
0
g
.
0
.
.
.
0
.
0
.
.
.
.
0
h
.
0
0
.
.
.
0
.
0
.
.
.
.
i
.
.
0
.
.
.
.
0
.
0
.
.
.
j
.
.
0
0
.
.
.
.
0
.
0
.
.
k
.
.
.
16
0
.
.
.
.
0
.
0
.
c
6
0
.
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
d
0
.
0
.
0
.
.
.
.
0
0
.
.
e
0
.
.
0
.
0
.
.
.
.
0
11
.
f
0
0
.
.
0
.
5
.
.
.
.
0
0
g
.
5
.
.
.
0
.
0
.
.
.
.
0
h
.
0
0
.
.
.
0
.
0
.
.
.
.
i
.
.
0
.
.
.
.
0
.
0
.
.
.
j
.
.
6
0
.
.
.
.
0
.
0
.
.
k
.
.
.
0
0
.
.
.
.
6
.
0
.
l
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
8
.
0
l
.
.
.
.
0
5
.
.
.
.
6
.
0
l
.
.
.
.
0
14
.
.
.
.
0
.
1
m
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
0
.
m
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
0
.
m
.
.
.
.
.
0
4
.
.
.
.
1
.
:=
:=
:=
13

Rete di comunicazione

Transcript

Documenti analoghi

Produzione di gioielli

Coniglio alla cacciatora - Dott.ssa Anna D`Eugenio

Soluzione - Fabio Panozzo

Gli animali - bibliotecalesca

Oggi io indosso - La Teca Didattica

Tende a panello

Malati in tv / Viale a Vespa, Carello e tutti gli altri… Fate parlare i

Casa Vacanze Ristorante Bosio Gli appartamenti

coniglio alla cacciatora

Il coniglio nano: un amico

TIPO: HTML DISATTIVARE LA BARRA DI SCORRIMENTO