Esercizi 09-10_2

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
a.a. 2009-2010
Letture ed esercitazioni 2
LETTURA 1. La serie dei numeri nella tradizione popolare
I canti popolari enumerativi cercano di mettere ordine, attraverso il numero, nella
confusione del mondo, delle cose, dei fenomeni del cielo e della terra, della vita stessa dell’uomo e
del suo senso trascendente; essi partono dall’uno, di ciò che è unico (la morte ad esempio, oppure
l’unico Dio) e arrivano a 12, un numero che è anche stato usato come base di numerazione, oppure
a 13.
Ne trascriviamo tre esempi di origine culturale diversa.
Il testo della canzone “La serie dei numeri” di Angelo Branduardi è tratto da una raccolta di canti
popolari (mitologici, eroici, storici, comunque della tradizione pagana druidica) della Bretagna,
intitolata Baraz Breiz, raccolta dal visconte Hersart de la Villemarqué e pubblicata nel 1867.
(si veda Angelo Branduardi. Canzoni, a cura di Giampiero Comolli, Roma, Lato side, 1979)
E tu bel bimbo, bimbo mio dolce,
dimmi, cosa vuoi che io ti canti?
Cantami dei numeri la serie,
sino a che io oggi non la impari.
Unica è la morte,
niente altro, niente più...
due i buoi legati al carro,
e sono tre le parti del mondo,
quattro le pietre di Merlino,
che affilano le spade degli eroi.
Unica è la morte,
niente altro, niente più...
E sul cammino che il tempo fa
cinque finora sono le età,
e sono sei le erbe che
nel calderone il nano mescolerà...
Sette sono i soli, sette le lune,
otto sono i fuochi accesi a Maggio,
attorno alla fontana sono nove
le fanciulle che danzano alla luna...
Unica è la morte,
niente altro, niente più...
E dieci vascelli sono venuti
portandoci la guerra da lontano.
Undici guerrieri sono tornati
quand'erano in trecento a partire...
Unica è la morte,
niente altro, niente più...
E sul cammino che il tempo fa
cinque finora sono le età,
e sono dodici i mesi che
giorno per giorno, da sempre
segnando va.
E dodici ancora sono i segni
che tu puoi leggere nel cielo,
guerra tra di loro han dichiarato,
questa che ti canto sarà la fine.
Unica è la morte,
niente altro, niente più...
Allora la tromba suonerà,
avremo fuoco e tuono, pioggia e vento,
la serie dei numeri è finita,
per l'uno sai che non c'è serie:
Unica è la morte,
e due i buoi,
e tre la parti,
quattro le pietre,
cinque le età
e sei le erbe,
sette sono i soli,
sette le lune,
otto sono i fuochi
e nove le fanciulle,
ma dieci i vascelli,
undici i guerrieri,
dodici i segni,
dodici i mesi
e unica la morte,
da sempre madre del dolore
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Ecco la canzone Uno chi sa? che si usa cantare con i bambini alla fine della cena (il seder) di
Pasqua ebraica, dopo la fine del racconto (la haggadà)
Uno chi sa? Uno io lo so. Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è
Due chi sa? Due io lo so. Due le tavole della legge, Uno è Dio che in
cielo è. Uno fu ed uno è.
Tre chi sa? Tre io lo so. Tre i padri nostri sono, Abraham, Isacc e
Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno
è.
Quattro chi sa? Quattro io lo so. Quattro le madri di Israel, Sara, Rivka,
Rachel e Lea, tre i padri nostri sono, Abraham, Isacc e Jacob, due le
tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno fu e uno è.
Cinque chi sa? Cinque io lo so. Cinque i libri della Torà, quattro le
madri di Israel, Sara, Rivka, Rachel e Lea, tre i padri nostri sono,
Abraham, Isacc e Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in
cielo è. Uno fu e uno è.
…
Tredici chi sa? Tredici io lo so. Tredici sono gli attributi, dodici sono le
tribù, undici sono i cohavim, dieci sono i commandamenti, nove i mesi
della partoriente, otto i giorni della milà, sette i giorni con lo shabbat,
sei i libri della Mishnà, cinque i libri della Torah, quattro le madri di
Israel, Sara, Rivka, Rachel e Lea, tre i padri nostri sono, Abraham,
Isacc e Jacob, due le tavole della legge, Uno è Dio che in cielo è. Uno
fu e uno è.
Infine, ecco una versione veneta delle dodici parole della verità della tradizione popolare cattolica
diffusa in molti luoghi in Europa:
(si veda M. Spagnol, L. Zeppegno, Guida ai misteri e segreti di Venezia e del Veneto, Milano:
Sugar, 1970)
Uno Sopra Dio non c'è nessuno
Due Du mussi in taula che dorme
Tre Tri patriarca, Giaco, Giacobe, Abramo
Quattro Quattro evangelisti che il mondo sustien
Cinque I sinque libri che il Cristo lezeva
Sei Le sei valli di Vallonia
Sette I sette lampi che à brusà Gerusalemme
Otto Le oto anime che è in te l'arca di Noè
Nove I nove doraduri che dorava el sol
Dieci Le diese Vergini di Nostro Signore
Undici I ondese dissipuli di Nostro Signore
Dodici I ondese apostoli di Nostro Signore.
ESERCIZI
1) Consideri il numero centoquarantatre. Presenti tre rappresentazioni simboliche di questo
numero.
2) Consideri il numero 1532. Lo rappresenti usando l’abaco scolastico. Che significa questa
scrittura?
3) Rappresentare nel sistema di numerazione posizionale decimale il seguente numero
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4"
Ana Millán Gasca
1
1
1
+ 3"
+ 4"
1000
100
10
È un numero naturale?
4) Quali sono le parole!numerali usate nella filastrocca tradizionale
Un’ora dorme il gallo,
due il cavallo,
tre il viandante
quattro l’elefante,
cinque il soldato,
sei il magistrato,
sette lo studente,
otto tutta la gente
nove la signoria,
dieci a casa mia!
5) (i) Esplori i numerali ordinali italiani, trovando regole di formazione. (Indicazione: Quali
sono i numerali ordinali di forma unica?; quali hanno due forme?; quali ne hanno tre?
Esempi: undicesimo, undecimo, decimoprimo, decimo primo; ventesimo, vigesimo;
ventunesimo, ventesimoprimo).
(ii) Quale è la scrittura abbreviata dei numerali ordinali in italiano? E in inglese?
6) Paio, coppia, centinaio: sono numerali?
7) «I linguaggi primitivi danno al numero un senso concreto» scrivono Richard Courant e
Herbert Robbins all’inizio del loro libro Che cos’è la matematica. Illustrare
quest’affermazione in riferimento al caso della civiltà mesopotamica.
(Rileggere attentamente, se necessario, il riquadro “Numeri e scrittura”, All’inizio fu lo
scriba, pp. 7-8).
8) Che cosa è misurare? Una volta stabilita una unità di misura, bastano i soli numeri naturali
per indicare i risultati delle operazioni di misura? Risponda alla domanda dopo aver
esaminato qualche esempio relativo a lunghezze, prezzi e capacità.
9) Rappresenti simbolicamente quanti sono le dita di due mani. Quali parole conosce per
indicare tale quantità?
10) Notazione additiva e notazione posizionale nei sistemi di numerazione. Spieghi la differenza
e indicare il metodo di notazione dei sistemi usati nei seguenti contesti storico-culturali del
mondo premoderno: 1) Egitto, 2) Roma, 3) Mesopotamia, 4) India.
11) Quale è l’origine del sistema di numerazione di uso generale del mondo contemporaneo?
Illustri le sue caratteristiche.
12) Rappresenti il seguente numero naturale usando i sistemi di numerazione indicati:
3 " 63 + 2 " 62 + 5 " 6 + 3
i) sistema di numerazione posizionale in base sei usando le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
!
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Ana Millán Gasca
ii) il sistema di numerazione oggi di uso corrente
iii) il sistema di numerazione nella scrittura geroglifico dell’Egitto antico
iv) il sistema di numerazione dei Romani
v) il sistema di numerazione erudito dei Babilonesi. Il simbolo ottenuto, quali altri numeri
(interi o frazionari) potrebbe rappresentare: faccia tre esempi.
13) In un lontano pianeta è usato un sistema di numerazione posizionale in base 3 che adopera i
segni o cifre seguenti
0
|
*
(per indicare una posizione vuota)
(per indicare l’unità)
(per indicare due unità)
Quale numero è rappresentato nell’iscrizione seguente?
|*0
14) Paio, coppia, centinaio: sono numerali?
15) Quale è la scrittura in base 3 del numero 3? Quale è la scrittura in base 6 del numero 6? E
del numero 8 in base 8? E del numero 2 in base 2?
16) Scriva il numero naturale 68 in base 4.
17) La civiltà Maya, che fiorì in America centrale nei secoli 300 a.C.-900, faceva uso di una
scrittura geroglifica e di un sistema di numerazione in base 20 che adoperava i due simboli
⏐ (cinque unità) e • (l’unità). Scrivere i numeri: 11, 13, 12, 9, 8 e 7.
Nei testi riguardanti la cronologia maya, è usata anche una notazione posizionale in
disposizione verticale, con le unità nella posizione più in basso. Scriva seguendo questo
principio 43 giorni, 310 giorni.
18) Scriva tutti i numeri a due cifre nei sistemi di numerazione posizionali binario, ternario,
quaternario e in base cinque.
19) Scriva le tabelline dell’addizione e della moltiplicazione in base 3. Quale proprietà si
riscontra scrivendo la tabellina?
20) Il sistema settenario. Scrivere i numeri “sette” (710) e “centonove” (10910) nel sistema di
numerazione posizionale in base 7. Scrivere le “tabelline” dell’addizione e della
moltiplicazione in base 7. Calcolare 2657 × 247 (per controllare il risultato: a quale
moltiplicazione equivale nel sistema decimale?).
21) Il sistema binario. Scrivere nel sistema binario i numeri 7 e 5, ed effettuare la
moltiplicazione usando l’algoritmo usuale.
«Leibniz vide in questa aritmetica binaria l’immagine della creazione. Egli
immaginò che l’Unità rappresentasse Dio e lo zero il vuoto, e che l’Ente supremo
avesse tratto tutti gli esseri dal vuoto, precisamente come l’unità e lo zero
esprimono tutti i numeri in questo sistema di numerazione» (Pierre Simon de
Laplace, 1749-1827)
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MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
22) Scegliere un gruppo di cifre per costruire un sistema di numerazione posizionale
duodecimale e compilare le tabelle delle due operazioni. Scrivere i numeri 22, 423 e 131.
23) Scrivere i numeri “trenta” e “centotrentatré” nei sistemi di numerazione degli esercizi 17 e
18.
24) Scriva l’espressione nel sistema di numerazione decimale posizionale dei numeri frazionari:
1 4, 1 8, 1 25, 1 10, 11 10, 25 4, 1 6
25) Il sistema di notazione numerico erudito adoperato dagli scribi babilonesi a partire dal XIX
secolo a. C. circa, era posizionale oppure e additivo? Quale è la base? Scriva, adoperando
! i numeri 11, 70
questo sistema,
(cfr. All’inizio fu lo scriba, pp. 10-11).
“Dopo avere iscritto sulla tavoletta dei Destini il numero di settanta anni per l’oblio di
Babilonia, il dio Marduk ebbe pietà e tornò sulla sua decisione. Invertì l’ordine delle cifre e
decise così che questa città sarebbe stata recuperata dopo undici anni”
(Dalla Pietra nera di Asarhadon, re degli Assiri, 680-669 a.C.; Asarhadon
ricostruì la città di Babilonia undici anni dopo la sua distruzione da parte del padre
Senaquerib, avvenuta nel 689 a.C.)
26) Per l’astronomia, gli eruditi babilonese scrivevano anche numeri non interi; ma la procedura
antica aveva due differenze importanti con quella moderna:
– non usavano la virgola: gli scribi capivano il significato posizionale intero o frazionario
delle cifre a seconda del contesto
– usavano indicare la parte non intera dei numeri usando una decomposizione in frazioni
sessagesimali, ossia
1
1
1
a1 " + a2 " 2 + a1 " 3 + ...
60
60
60
Questo tipo di scrittura dei numeri non interi usando il principio posizionale continuò ad
essere usata dagli studiosi greci e oltre. I due sistemi di misura degli angoli e del tempo in uso
!
attualmente sono un’eredità
del sistema babilonese.
(i) Scriva nel sistema sessagesimale i seguenti numeri frazionari:
1 60, 1 30,67 60, 1 3600, 1 2, 1 3, 1 6 (può usare le cifre arabe oppure i due segni usati dai
babilonesi)
!
(ii) Confronti la scrittura della frazione un sesto nel sistema sessagesimale e quella ottenuta
nell’esercizio 24)
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