q1 x q2 y P

Esercizio n.16
Due cariche q1=8q e q2=-2q sono poste sull’ asse x a distanza
L=20 cm.
Calcolare i punti dell’ asse x in cui
• Il potenziale elettrico è nullo
• Il campo elettrico è nullo
Soluzione:
Scegliamo il sistema di riferimento con origine sulla carica q1.
Il potenziale in un punto generico P≡(x,0) dell’ asse x, per il
principio di sovrapposizione, vale:
V ( P) =
1
4πε o
q1
q2
8q − 2 q
q
1
+
=
+
=
4πε o x
2πε o
x x−L
x−L
y
P
x
q2
q1
4
1
−
x x−L
V(P)=0 quando
4
1
4
1
(1)
−
=0
=
x x−L
x
x−L
Per risolvere la (1) bisogna distinguere ivari casi, tenendo conto della definizione della funzione modulo
x se x ≥ 0
x =
:
− x se x < 0
•
se x > L, cioè se P è a destra di q2 come in figura, allora la (1) diventa
•
4
1
4
x = L = 26,67cm
=
x x−L
3
se 0 < x < L , cioè se P si trova tra q1 e q2, allora la (1) diventa
•
4
1
4
x = L = 16cm
=
x − (x − L )
5
se x < 0 , cioè se P si trova a sinistra di q1, allora la (1) diventa
4
1
4
x = L = 26,67cm
=
3
− x − (x − L )
che non è una soluzione possibile perché non verifica la condizione x<0: quindi a sinistra di q1 il potenziale
non si annulla mai, come è facile capire tenendo conto che il potenziale della carica 8q ha in questa zona valore
sempre maggiore del valore assoluto del potenziale della carica –2q.
In un punto generico P≡(x,0) dell’ asse x, il campo elettrostatico generato dalle due cariche è diretto come l’asse x e
vale
E ( P) =
1
4πε o
q1
x
2
+
q2
x−L
2
uˆ x =
q
2πε o
4
x
−
2
1
x−L
2
uˆ x
dove û x è il versore dell’ asse x.
Per calcolare il suo modulo bisogna distinguere le tre regioni, quella a sinistra di q1, quella tra q1 e q2 e quella a destra
di q2, in quanto occorre tener conto della natura vettoriale del campo elettrostatico e sommare i campi generati dalle
due cariche in maniera appropriata.
In un punto P≡(x,0) a sinistra di q1 (dove x<0), il campo elettrostatico della carica q1 ha verso opposto all’ asse x
mentre quello della carica q2 ha verso uguale a quello dell’ asse x; il campo elettrostatico complessivo vale quindi:
E ( P) =
1
4πε o
q1
(− x )
2
Il campo è nullo quando
4
1
= 2
2
x
x + L2 − 2 xL
+
q2
(− x + L )
2
x = L/3
x=L
=
q
2πε o
4
x
2
−
1
2
x + L2 − 2 xL
(2)
Entrambe queste soluzioni non sono accettabili poiché non verificano la condizione x<0; in altre parole a sinistra di q1
il campo non è mai nullo, essendo il campo di q1 in modulo sempre maggiore di quello di q2.