eserc. 4

Esercizio n.4
Una bacchetta isolante carica di lunghezza L e
spessore trascurabile giace sull’asse x in maniera
tale che il suo estremo sinistro coincida con
l’origine O. La carica della bacchetta è distribuita
in modo non uniforme e la sua densità lineare λ
aumenta con la distanza dall’estremo sinistro,
cioè λ = ax (dove a è una costante positiva
ed x è la distanza da tale estremo).
Calcolare:
A. Il potenziale elettrostatico, V,
nel punto A posto sull’asse x a
distanza d dall’estremo sinistro
della bacchetta.
B. Il potenziale elettrostatico, V, nel
punto B posto sull’asse y a distanza b dall’asse x.
y
B
b
O
A
d
Valori numerici: L = 10 cm, a = 5 µC/m2, b = 30 cm, d = 20 cm
Soluzione
A.
Il potenziale elementare dV prodotto nel punto A da una carica elementare dq
è dato da
1 dq
1 axdx
dV =
=
4πε 0 r
4πε 0 x + d
che integrata su tutti i contributi elementari della bacchetta
V ( A) = dV =
L
xdx
a
L+d
dq
1
a
=
=
[ L − d ln(
)] + C
x + d 4πε 0
d
4πε 0 r
4πε 0
1
0
dove C = 0 è il potenziale all’infinito.
V ( A) =
B.
5 ⋅ 10 −6
4 ⋅ π ⋅ 8.85
−12
3
⋅ [1 ⋅ 10 −1 − 2 ⋅ 10 −1 ⋅ ln( )]V = 850V
2
Il potenziale elementare dV prodotto nel punto B da una carica elementare dq
è dato da
1 dq
=
dV =
4πε 0 r
che integrata su tutti i contributi elementari della bacchetta
V ( B) = dV =
1
1
dq
=
a
4πε 0 r
4πε 0
L
0
xdx
2
x +b
2
=
a
4πε 0
[ b 2 + L2 − b] + C
dove C = 0 è il potenziale all’infinito.
V ( B) =
5 ⋅ 10 −6
4 ⋅ π ⋅ 8.85 −12
⋅ [ (3 ⋅ 10 −1 ) 2 + (1 ⋅ 10 −1 ) 2 − 3 ⋅ 10 −1 ]V = 729V
L
x