Esercizi 3 – Potenziale, energia potenziale, condensatori 1. Una

Esercizi 3 – Potenziale, energia potenziale, condensatori
1. Una goccia sferica di acqua su cui e’ presente una carica di 32 pC ha, alla superficie, un
potenziale di 512 V.
a. Qual e’ il raggio della goccia?
b. Se due gocce identiche (stessa carica e stesso raggio) coalescono a formare un’unica
goccia, quale sara’ il potenziale della goccia formata?
Relazione fra carica e potenziale:
Q = CV → C =
Q
V
Capacita’ di una sfera conduttrice di raggio R:
C = 4πε0 R
Quindi:
C=
Q
Q
Q
→ 4πε0 R = → R =
= 0.54 mm
V
V
4πε0V
Dopo coalescenza:
Q → 2Q
Volume → 2 Volume
Poiche' : Volume ∝ r 3
R → 3 2 R ≃ 1.26 R
Quindi:
V →V
2
≃ V 1.59 ≃ 795 V
1.26
2. Calcolare la capacita’ equivalente di 3 condensatori collegati come in figura
C1
C2
C3
La capacita’ equivalente di C1 e C2, che sono in parallelo, e’:
C12 = C1 + C2
La capacita’ C3 e’ in serie alle 2, quindi:
1
1
1
=
+
C123 C12 C3
→ C123 =
→ C123 =
C12 C3
C12 + C3
(C1 + C2 ) C3
C1 + C2 + C3
3. Trovare la forza di attrazione fra le armature di un condensatore piano
Le cariche sull’armatura negativa sono sottoposte al campo generato da quelle dell’armatura
positiva. Esso e’ dato da:
E+ =
σ+
2ε0
Quindi:
F (−) = σ− AE+ = σ− A
→ F (−) =
σ+
2ε0
σ2 A
2ε0
Sull’armatura positiva si esercita una forza uguale e opposta.
4. Un conduttore cilindrico di raggio R1 = 0.5 cm e altezza h = 1 m si trova all’interno di uno
strato conduttore cilindrico di raggi interno R2 = 2 cm ed esterno R3 = 3 cm,di uguale altezza h.
Il conduttore A ha una carica totale QA = 4 10-9 C ed il conduttore B carica totale QB. Trovare:
a) La differenza di potenziale fra i conduttori
b) L’en. elettrostatica immagazzinata nello spazio fra i conduttori
c) La carica Qe sulla superficie esterna del conduttore B, sapendo che il lavoro necessario ad
allontanare di un tratto δ = 10-3 cm una carica q = 3 10-12 C posta a distanza d = 10 cm
dall’asse dei cilindri vale W = 6 10-14 J
d) La carica totale QB sul conduttore B
Carica indotta sulla sup. interna di B: − QA
Cap. cilindrica:
2πε 0 h
C=
R
ln 2
R1
→ ∆V =
QA
QA
R
=
ln 2 ≈ 100 V
C 2πε 0 h R1
En. immagazzinata nella capacita':
QA2
≈ 210 −7 J
2C
Carica su sup. esterna di B: Qe
UE =
C. elettrico esterno:
Ee =
Qe
2πε 0 hr
→ V ( r2 ) − V ( r1 ) =
Qe
2πε 0 h
ln
r2
r1
→ Lavoro della forza esterna che sposta q :
r2
W = ∫ Fext ⋅ dr = −
r1
→ Qe = −W
d +δ
∫
d +δ
qE ⋅ dr = − q
d
∫
d
Edr = −
qQe
qQe δ δ
d +δ
ln
≈−
, ≪1
d
2πε 0 h
2πε 0 h d d
2πε 0 hd
≈ −1.110−8 C
qδ
QB = Qe − QA ≈ −1.510−8 C
5. Fra le armature di un condensatore piano poste a una distanza d viene inserita una lastra
metallica della stessa area e di spessore δ in posizione centrale. Come varia la capacita’?
S
C = ε0
d
Dopo l'inserimento della lastra si ha l'equivalente di due capacita' uguali in serie
Per ognuna:
S
2S
C ' = ε0
= ε0
d −δ
d −δ
2
εS
1
1
1
d −δ d −δ
→
=
+
=2
=
→ Ctot = 0
Ctot C ' C '
d −δ
ε 0 2S ε 0 S
6. In una sfera di raggio R = 10 cm e’ distribuita uniformemente una carica totale Q = 10-8 C. Una
particella puntiforme di carica q = 3 10-9 C e massa m = 0.1 g viene lanciata da una distanza L
dal bordo della sfera, lungo un asse che passa per il centro della sfera. Calcolare il valore
minimo della velocita’iniziale della particella che garantisce l’attraversamento di tutta la sfera.
R
L
Cons. energia totale per la carica q: Ek + U E = cost
C. elettrico generato da Q:
 Q
 4πε r 2 , r > R
Q

0
E=
, ρ=
4
 ρr , r < R
π R3
3
 3ε 0
vmin : Corrisponde a Ek = 0 al centro della sfera; da quel punto in poi
il c. elettrico spinge q fuori dalla sfera
1 2
→ mvmin
= W1 + W2 , lavoro del c. elettrico su q fuori e dentro la sfera
2
qQ  1
1 
W1 = ∆U1 = U1 ( R ) − U 2 ( R + L ) =
 −

4πε 0  R R + L 
W2 = ∆U 2 = U 2 ( 0 ) − U 2 ( R )
r
ρr
ρr2
dr = −
3ε 0
6ε 0
0
U 2 ( r ) = −∫
 ρ R2  ρ R2
→ W2 = ∆U 2 = 0 −  −
=
 6ε 0  6ε 0
1 2
qQ  1
1  ρ R2
→ mvmin
=
−

+
2
4πε 0  R R + L  6ε 0
→ vmin ≈ 11.6 ms −1