1 Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura

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Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura - Trigonometria
Esercizio 1. Calcolare la seguente espressione:
5
cos 2 arcsin
.
11
Soluzione 1.
Dalle formule di duplicazione abbiamo:
cos (2α) = cos2 (α) − sin2 (α) = 1 − 2 sin2 α.
Applicando questa formula otteniamo:
2
5
5
= 1 − 2 sin arcsin
.
cos 2 arcsin
11
11
Essendo:
sin (arcsin (α)) = α,
abbiamo
cos 2 arcsin
5
11
5
=1−2
11
2
=1−
50
71
=
.
121
121
Esercizio 2. Semplificare la seguente espressione usando le formule di addizione e sottrazione:
π
2
cos α − π + sin
−α .
3
6
Soluzione 2.
Ricordiamo le formule rispettivamente di addizione e sottrazione:
• sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
• sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β,
cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β.
2
Usiamo le formule per espandere l’espressione dell’esercizio:
π
2
cos α − π + sin
−α =
3
6
2
2
π
π
= cos α cos
π − sin α sin
π + sin cos α − cos sin α.
3
3
6
6
Sostituiamo i valori degli angoli (tutti notevoli):
√ !
1
3
1
−
cos α +
sin α +
cos α −
2
2
2
√ !
3
sin α = 0.
2
Esercizio 3. Verificare la seguente identità:
sin 3x
= 3 cos2 x − sin2 x.
sin x
Soluzione 3.
Osserviamo che:
sin (3x) = sin (2x + x).
Possiamo applicare le formule di addizione e quelle di duplicazione, da esse
derivate:
• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α.
Ora possiamo esprimere sin 3x in funzione di sin x e cos x.
sin 3x = sin (2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x =
= 2 sin x cos2 x + cos2 x − sin2 x sin x = sin x 3 cos2 x + sin2 x .
Da qui abbiamo
sin 3x
= 3 cos2 x + sin2 x
sin x
3
Esercizio 4. Sapendo che tan α = 25 , calcolare mediante le formule di duplicazione il valore di cos (2α).
Soluzione 4.
Considerando che
tan2 α =
4
sin2 α
=
,
cos2 α
25
possiamo scrivere
1+
sin2 α
4
=1+
2
cos α
25
cos2 α + sin2 α
29
=
2
cos α
25
1
29
=
cos2 α
25
cos2 α =
25
.
29
Da qui abbiamo
cos 2α = 2 cos2 α − 1 =
21
50
−1=
.
29
29
Esercizio 5. Trovare le soluzioni della seguente equazione:
cos2 x + sin2 2x = 1.
Soluzione 5.
Usando la formula di duplicazione sul seno al quadrato otteniamo:
2
sin2 2x = (2 sin x cos x) = 4 sin2 x cos2 x
per cui l’equazione diventa
cos2 x + 4 sin2 x cos2 x = 1.
Per semplificare qualche termine, conviene usare la relazione 1 = sin2 x +
cos2 x:
4
cos2 x + 4 sin2 x cos2 x = sin2 x + cos2 x
4 sin2 x cos2 x = sin2 x
sin2 x · 4 cos2 x − 1 = 0.
Il numero x è soluzione di questa di questa equazione se e solo se è soluzione
di una delle due equazioni seguenti:
sin2 x = 0,
4 cos2 x − 1 = 0.
Per risolvere la prima ricordiamo che il seno si annulla solo nei multipli di
π:
sin2 x = 0 ⇐⇒ x = kπ,
k ∈ Z.
Per la seconda abbiamo:
1
1
π
⇐⇒ cos x = ± ⇐⇒ x = ± + hπ, h ∈ Z.
4
2
3
2
2
L’insieme delle soluzioni di sin x · 4 cos x − 1 = 0 è l’unione dei due insiemi
di cui sopra.
cos2 x =
Esercizio 6. Semplificare la seguente espressione:
1 − sin 2x
+ cos x − sin x.
sin x − cos x
Soluzione 6.
Abbiamo
1 − sin 2x
+ cos x − sin x =
sin x − cos x
=
cos2 x + sin2 x − 2 sin x cos x
+ cos x − sin x =
sin x − cos x
2
(sin x − cos x)
+ cos x − sin x =
sin x − cos x
= sin x − cos x + cos x − sin x = 0.
=
5
Esercizio 7. Semplificare la seguente espressione con le formule di addizione e
sottrazione:
π
5π
cot α −
+ tan α +
.
4
4
Soluzione 7.
La formula di addizione per la tangente è ricavabil e da quelle di seno e
coseno
tan (α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
1
La cotangente è il reciproco della tangente: cot α =
, quindi applicando
tan α
la formula di cui sopra:
1 − tan α tan − π4
tan α + tan 5π
π
5π
4
+
cot α −
+ tan α +
=
4
4
tan α + tan − π4
1 − tan α tan 5π
4
π
5π
= tan
= 1, otteniamo
Sostituendo i valori noti tan
4
4
5π
π
1 + tan α tan α + 1
+ tan α +
+
= 0.
cot α −
=
4
4
tan α − 1 1 − tan α
Esercizio 8. Risolvere la seguente equazione:
7 cos x − 4 cos3 x − 3 = 0.
Soluzione 8.
Poniamo y = cos x e riscriviamo l’equazione in y:
7y − 4y 3 − 3 = 0
4y 3 − 7y + 3 = 0
Questo polinomio si annulla in 1, quindi possiamo scomporlo dividendo per
y − 1:
4y 3 − 7y + 3 = (y − 1) 4y 2 + 4y − 3 .
L’equazione diventa
6
(y − 1) 4y 2 + 4y − 3 = 0
Le sue soluzioni sono quelle delle due equazioni
4y 2 + 4y − 3 = 0,
(y − 1) = 0,
ovvero
y = 1,
3
y=− ,
2
y=
1
.
2
3 1
Avendo posto y = cos x, dobiamo cercare i valori di x per i quali cos x = 1, − , .
2 2
Abbiamo:
• cos x = 1
• cos x =
1
2
• cos x =
3
2
⇐⇒ x = 2kπ,
k ∈ Z;
⇐⇒ x = ± π3 + 2hπ,
non ha soluzioni.
h∈Z