TRIGONOMETRIA: EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
PRECORSO DI MATEMATICA
ANNO ACCADEMICO 2013-2014
ESERCIZI DI
TRIGONOMETRIA: EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Esercizio 1: Risolvere la seguente equazione
√
cos x = −
2
.
2
Svolgimento: Poiché
√
3
2
cos π = −
4
2
√
5
2
cos π = −
4
2
e
e la funzione coseno è periodica di periodo 2π, l’equazione data ha come soluzioni
x=
3
π + 2kπ
4
e
x=
5
π + 2kπ , k ∈ Z .
4
Esercizio 2: Risolvere la seguente equazione
π
sin x +
= 1.
6
Svolgimento: Poiché
sin
π
=1
2
e la funzione seno è periodica di periodo 2π, l’equazione data è soddisfatta se
π
π
x + = + 2kπ , k ∈ Z .
6
2
Allora si ha
π π
x = − + 2kπ , k ∈ Z ,
2
6
da cui si ottiene
π
x = + 2kπ , k ∈ Z .
3
Esercizio 3: Risolvere la seguente equazione
2 cos2 x + 7 sin x = 5 .
1
2
PRECORSO DI MATEMATICA
Svolgimento: Innanzitutto è conveniente far comparire nell’equazione data solo una funzione
trigonometrica. Utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometria
sin2 x + cos2 x = 1
x ∈ R,
cos2 x = 1 − sin2 x
x ∈ R.
si ha
Sostituendo tale relazione nell’equazione si ottiene
2 1 − sin2 x + 7 sin x − 5 = 0 ,
e quindi
2 sin2 x − 7 sin x + 3 = 0 .
Ponendo y = sin x, l’equazione si può riscrivere come
2y 2 − 7y + 3 = 0 ,
le cui soluzioni sono
1
.
2
y=3
∨
y=
sin x = 3
∨
sin x =
Quindi si ottiene
1
.
2
L’equazione sin x = 3 non ha soluzione, poichè
−1 ≤ sin x ≤ 1
x ∈ R.
1
L’equazione sin x = è verificata se
2
π
5
x = + 2kπ
∨
x = π + 2kπ , k ∈ Z ,
6
6
che costituiscono le soluzioni dell’equazione data.
Esercizio 4: Risolvere la seguente equazione
π
π
sin x +
− sin x −
= 1.
4
4
Svolgimento: Utilizzando le formule di addizione e sottrazione del seno l’equazione data si
può riscrivere come
π
π π
π
sin x cos + cos x sin − sin x cos − cos x sin
= 1,
4
4
4
4
da cui segue
√
√
√
√
2
2
2
2
sin x +
cos x −
sin x +
cos x = 1 .
2
2
2
2
Allora si ottiene
√
2 cos x = 1 ,
da cui
√
cos x =
2
.
2
PRECORSO DI MATEMATICA
Poiché
√
π
2
cos =
4
2
3
π √2
cos −
=
4
2
e
e la funzione coseno è periodica di periodo 2π, l’equazione data ha come soluzioni
π
π
x = + 2kπ
e
x = − + 2kπ , k ∈ Z .
4
4
Esercizio 5: Risolvere la seguente equazione
1 − cos 2x = sin x .
Svolgimento: Utilizzando la formula di duplicazione del coseno
cos 2x = cos2 x − sin2 x
x∈R
l’equazione data si può riscrivere come
1 − cos2 x − sin2 x = sin x ,
da cui si ottiene
1 − cos2 x + sin2 x = sin x .
Dalla prima relazione fondamentale della trigonometria si ha
sin2 x = 1 − cos2 x
x ∈ R,
quindi l’equazione data diventa
2 sin2 x = sin x .
Si ottiene
sin x (2 sin x − 1) = 0 ,
le cui soluzioni sono le soluzioni delle equazioni
∨
sin x = 0
2 sin x − 1 = 0 .
L’equazione sin x = 0 ha come soluzioni
x = kπ , k ∈ Z .
L’equazione sin x =
1
è verificata se
2
π
x = + 2kπ
6
∨
x=
5
π + 2kπ , k ∈ Z .
6
Allora l’equazione data ammette come soluzioni
x = kπ
∨
x=
π
+ 2kπ
6
∨
x=
5
π + 2kπ , k ∈ Z .
6
4
PRECORSO DI MATEMATICA
Esercizio 6: Risolvere la seguente equazione
2 sin2
x
1 − cos x
=
.
2
2 + 2 cos x
Svolgimento: Innanzitutto bisogna imporre la condizione di esistenza
2 + 2 cos x 6= 0 ,
che equivale a
cos x 6= −1 ,
le cui soluzioni sono
x 6= π + 2kπ , k ∈ Z .
Utilizzando la formula di bisezione del seno
r
1 − cos x
x
sin = ±
x∈R
2
2
si ha
x
2 sin2 = 1 − cos x .
2
Sostituendo tale relazione nell’equazione data si ottiene
1 − cos x
1 − cos x =
,
2 (1 + cos x)
da cui, calcolando il minimo comune multiplo, si ha
2 (1 − cos x) (1 + cos x) − (1 − cos x)
= 0.
2 (1 + cos x)
Essendo 1 + cos x 6= 0 per la condizione di esistenza, tale equazione equivale a
2 (1 − cos x) (1 + cos x) − (1 − cos x) = 0 ,
da cui si ottiene
(1 − cos x) (2 + 2 cos x − 1) = 0 ,
e quindi
(1 − cos x) (2 cos x + 1) = 0 .
L’equazione 1 − cos x = 0 si può riscrivere come
cos x = 1 ,
le cui soluzioni sono
x = 2kπ , k ∈ Z ,
mentre l’equazione 2 cos x + 1 = 0 equivale a
1
cos x = − ,
2
le cui soluzioni sono
x=
2
π + 2kπ
3
∨
x=
4
π + 2kπ , k ∈ Z .
3
PRECORSO DI MATEMATICA
Allora l’equazione data ha come soluzioni
2
x = 2kπ
∨
x = π + 2kπ
3
∨
x=
5
4
π + 2kπ , k ∈ Z .
3
Esercizio 7: Risolvere la seguente equazione
cos x − sin x = 1 .
Svolgimento: Tale equazione è lineare in seno e coseno e si può risolvere utilizzando le formule parametriche
sin x =
dove t = tan
2t
,
1 + t2
cos x =
1 − t2
1 + t2
x 6= π + 2kπ , k ∈ Z ,
x
. Per poter usare queste formule bisogna imporre che
2
x 6= π + 2kπ , k ∈ Z .
Ponendo x = π + 2kπ , k ∈ Z , nell’equazione e tenendo conto del fatto che le funzioni seno
e coseno sono periodiche di periodo 2π si ha
cos π − sin π = −1 + 0 6= 1 ,
quindi x = π + 2kπ , k ∈ Z , non sono soluzioni dell’equazione data.
Sostituendo nell’equazione le formule parametriche si ottiene
2t
1 − t2
−
= 1.
1 + t 2 1 + t2
Facendo il minimo comune multiplo si ha
1 − t2 − 2t − 1 − t2
= 0,
1 + t2
da cui segue
−2t2 − 2t
= 0.
1 + t2
Essendo 1 + t2 > 0 , tale equazione equivale a
−2t2 − 2t = 0 ,
e quindi a
2t (t + 1) = 0 ,
le cui soluzioni sono
Allora si ha
tan
L’equazione tan
t=0
∨
t = −1 .
x
=0
2
∨
tan
x
= 0 ha come soluzioni
2
x
= kπ , k ∈ Z ,
2
x
= −1 .
2
6
PRECORSO DI MATEMATICA
da cui segue
x = 2kπ , k ∈ Z .
Infine l’equazione tan
x
= −1 , è verificata se
2
π
x
= − + kπ , k ∈ Z ,
2
4
e quindi se
x=−
π
+ 2kπ , k ∈ Z .
2
Allora l’equazione data ha come soluzioni
∨
x = 2kπ
x=−
π
+ 2kπ , k ∈ Z .
2
Esercizio 8: Risolvere la seguente equazione
√
√ sin2 x − 1 + 3 sin x cos x + 3 cos2 x = 0 .
Svolgimento: Tale equazione è omogenea di secondo grado e per risolverla conviene dividere
entrambi i membri per cos2 x : tale passaggio è lecito solo se cos x 6= 0 . Se cos x = 0 allora
π
x = + kπ , k ∈ Z .
2
Sostituendo tali valori nell’equazione si ha
π
π
π
π
√
√ + kπ − 1 + 3 sin
+ kπ cos
+ kπ + 3 cos2
+ kπ
sin2
2
2
2
2
√
=1− 1+ 3 ·0+0
= 1 6= 0 ,
π
quindi x = + kπ , k ∈ Z , non sono soluzioni dell’equazione data.
2
Dividendo entrambi i membri dell’equazione per cos2 x 6= 0 si ottiene
√ √
tan2 x − 1 + 3 tan x + 3 = 0 .
Ponendo y = tan x tale equazione di scrive come
√ √
y2 − 1 + 3 y + 3 = 0 ,
le cui soluzioni sono
√
y=1
∨
y=
tan x = 1
∨
tan x =
3.
Allora si ha
L’equazione tan x = 1 è verificata se
x=
π
+ kπ , k ∈ Z ,
4
√
3.
PRECORSO DI MATEMATICA
mentre l’equazione tan x =
√
3 ha come soluzioni
x=
π
+ kπ , k ∈ Z .
3
Quindi le soluzioni dell’equazione data sono
x=
π
+ kπ
4
∨
Esercizi: Risolvere le seguenti equazioni
√
1. sin x = −
2
2
2. cos x = sin2 x − cos2 x
x
x
3. tan −
= tan π −
2
3
4.
√ 5 − 2 5 cos2 x = sin2 x
5. sin x + cos x = 0
6. cos 2x + sin2 x = 0
7.
3
3 cos x
x
+ 2 sin2 =
2 cos2 x2
2
2
8. sin2 x − sin x = 0
9.
3
− cos x = 4
cos x + 2
10. (sin x − 1) (2 sin x − 1) = 0
11. 3 sin2 x − 2 sin x cos x − cos2 x = 0
π
3
π
12. cos
+ x + cos
−x =
6
6
2
13. cos x − 2 sin x cos x − sin x + 2 sin2 x = 0
√ sin2 x
√
14. 2 3
− 2 sin x + 3 tan x = 1
cos x
15. tan2 (−x) − tan (5π + x) = 0
√
16. 3 cos x + sin x = 2
x=
π
+ kπ , k ∈ Z .
3
7
8
PRECORSO DI MATEMATICA
17. sin4 x − sin2 x cos2 x + 4 cos4 x = 1
18. cos x cos 3x = cos 4x cos 2x
19. 2 cos
√
x
− 2 cos x = 3 − 1
2
20. sin 5x = 5
21.
√
1 + cos x − √
1
=0
1 + cos x
√ √
22. tan2 x + 1 + 3 tan x + 3 = 0
23. sin x − cos x = 2 sin x cos x − 1
π
24. sin 3x = cos x −
6
25. 2 cos2
26.
x
+ cos x = 1
2
sin x
+ cot x = 2
1 + cos x
27. 4 sin x cos x = 1 + 2 sin2 x
28. tan x = −1
29. 2 sin2 x + 2 cos 2x − 1 = 0
30.
1 + cos 2x
cot x
=
1 − cos 2x
2 sin x
31. 5 − 2 cos2 x − 4 sin x = 2 cos2 x
√
32. 2 tan x cos x − 3 tan x = 0
33. 3 sin x − cos x = 4
34. sin2 x =
1
sin (π − x)
2
√
√
4 sin x − 1
35. √
+ 3 2 sin x + 1 = 7 sin x
2 sin x + 1
x
−1=0
2
2
5
37. cos2 x +
=
2
tan2 x
36. 2 cos
PRECORSO DI MATEMATICA
38. sin x = sin 2x
√3
39. tan x =
3
40. cos2 2x + cos 2x = 0
x
5
+ 2 cos x =
2
4
√
42. tan 4x = 3
41. sin2
43. 5 + 2 sin 3x =
3
sin 3x
44. (sin x + cos x)2 = cos 2x
√
45. 3 sin x − cos x = 0
√
sin2 x − 3 sin 2x
46. cos x =
cos x
√
2
47. 4 sin x − 3 sin x cos x + cos2 x = 1
48. sin 3x + sin 5x = cos x
π
49. sin x +
+1=0
6
√
3
50. sin 2x = −
2
51. 2 cos2 x − cos x − 1 = 0
52.
√
1 − sin x + √
2 sin x
=0
1 − sin x
53. sin2 2x + 3 cos2 x = 3
54.
1
1
8
=
+
1 + cos x
cos x − 1 3
5
55. sin x −
π = − cos x
12
1
56. cos 3x =
2
57. 2 (1 − cos x) =
sin (π − x)
1 + cos x
58. sin2 x − sin x = cos2 x + cos x
π
59. sin x = cos x −
3
9
10
PRECORSO DI MATEMATICA
1 − tan2 x
tan x + tan2 x
=
tan x
2
1
61. cos x = −
2
60.
62. 2 sin x cos x + 2 cos x = 1 + sin x
π
√
63. 2 sin
+ x = 3 cos x − 1
3
64. sin x + cos x = 1
√ √ √
65. 2 + 2 sin2 x + 2 − 2 cos2 x + 2 2 sin x cos x = 2
66. sin x cos 3x = sin 2x cos 4x
67. 2 cos2 x − 5 cos x = 0
68.
cos x
+ cot x = 2 cos x
1 + sin x
69. 64 sin4 x − 16 sin2 x cos2 x = 1
70. sin x + sin
x
=0
2
71. sin2 x + 3 cos x = 1 + cos2 x
π
π
72. cos x +
− sin x +
+ sin2 x = 0
6
3
73. sin 5x − sin x = cos 3x
74. √
75.
76.
√
√
2 sin x + 1
=1
3 sin x + cos x
3 tan2 x + tan (π + x) = 0
3 + cos x +
√
77. 2 sin 2x + 1 = 0
78. tan2 x + 3 cot2 x = 4
79. cos x =
6
cos x = p
4 sin x + 1
cos (−x)
80. tan (180◦ + x) = 1
1 − cos 2x
sin 2x
81. √
=
1
+
cos 2x
2 sin x
3 + cos (−x)
PRECORSO DI MATEMATICA
82. sin
83.
x
=0
3
5 cos x
11
2 x + 1 = cos x + 2
2 sin 2
84. sin4 x − sin2 x cos2 x = sin2 x − cos2 x
85. cos x = cos 2x
π
π
86. tan x +
+ tan
−x =2
6
3
87. cos 8x − cos 4x = 2 sin 6x
88. tan4 x − 4 tan2 x + 3 = 0
89. sin 2x sin x − sin 4x sin 3x = 0
90. cos x + 2 −
6
=1
cos x + 2
91. 3 sin x + 7 = 0
π
92. tan 2x −
=0
2
93. 4 sin2 x + 3 tan2 x = 12
94. cos 3x − 3 = 0
95. sin2 x − 3 cos2 x = 0
√
96. 2 sin x + 3 tan (π − x) = 0
97. 3 cos2 x + sin2 2x =
5
2
98. 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0
99. tan2
100.
x
+ cos x = 1
2
9 cos x − 1
5 cos x + 2
−
=5
1 + 2 cos x 1 − 4 cos2 x
101. sin x + cos x = −2
102. tan (π − 2x) = tan (−3x)
1
103. 2 sin x tan x = 5 −
cos x
√
◦
104. 2 sin (x + 20 ) + 3 = 0
11
12
PRECORSO DI MATEMATICA
105. 6 − cos2 x = 3 sin x (4 − sin x)
106. sin x = 2 tan x
107. sin2 x + 2 sin x cos x − 3 cos2 x = 0
108. 4 cos 4x − 4 = 0
√
√
109. 2 sin x cos x − 3 cos x − 2 sin2 x + 3 sin x = 0
110. tan2 x − tan x = 0
111. sin (2x − 4◦ ) = − sin x
√
π
112. 2 cos 2x −
= −1
4
√
113. tan x sin x = 3 sin x
x
x √
114. cos2 − sin2 = 2 cos2 x
2
2
π √
115. tan 2x −
= 3
3
116. 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0
117. sin 2x = cos x
118. 2 sin2 x cos x − 2 cos x + sin2 x = 1
√
119. 3 sin x = 3 cos x
√
√
120. 2 cos2 x − sin2 x = 3 (cos x − sin x)
121. cos 6x + cos 2x = 2 cos 4x
122. 3 cos2 x + sin x = 2 − sin2 (π − x)
123. 2 cos x − 5 = 0
124.
√
√
4 sin 2x − 3 + 2 sin 2x = 3
125. tan 4x − 1 = 0
π 13
126. cos x +
= − cos x +
π
12
12
2√
127. tan x − cot x =
3
3
128. sin 2x − 2 cos x = 0
129.
1 + cos 2x
sin 2x
+
=0
cos x
1 − cos 2x
130. 2 sin2 x − 4 cos2 x = −1 .