Esercizio 1 Si considerino la retta r di equazioni parametriche x = 3


 x=3−t
y=t
Esercizio 1 Si considerino la retta r di equazioni parametriche
e il piano

z = 2t
α : x − y − 2z + 3 = 0.
Verificare che r e α sono perpendicolari e determinare le coordinate del punto P in cui si
intersecano.
Determinare l’equazione della retta s passante per il punto P , contenuta nel piano α, e
perpendicolare al vettore 2i − j + k.
Esercizio 2 Si considerino le rette

 x=1−t
y=t
r1 :

z =2+t

 x=t
y =1−t
r2 :

z=3
(a) Verificare che r1 e r2 sono incidenti e trovare il loro punto di intersezione P .
(b) Determinare il piano α contenente r1 e r2 .
√
(c) Trovare i punti Q1 e Q2 della retta r per P e perpendicolare ad α, aventi distanza 2
da α.

 x=t
y =1+t e
Esercizio 3 Si considerino il piano α : x − y + 2z − 1 = 0 e le rette r1 :

z=1

 x=2−t
y =1+t .
r2 :

z=t
(a) Dimostrare che r1 e r2 sono contenute in α e trovare il loro punto P di intersezione.
(b) Determinare i punti Q1 , Q01 su r1 , e Q2 , Q02 su r2 , aventi tutti la stessa distanza da
P , tali che l’area del quadrilatero Q1 Q2 Q01 Q02 sia uguale a 12. Suggerimento: viste le
equazioni parametriche di r1 e r2 , osservare che Q1 Q2 Q01 Q02 è un quadrilatero particolare.
Esercizio 4 Si considerino le rette
x−y+1=0
r :
2x + z = 0
s =
x−y+z−1=0
y=0
(a) Verificare che r e s sono incidenti e trovare il punto P0 di intersezione.
√
(b) Determinare i punti Q1 e Q2 di r aventi distanza 2 6 da P0 .
(c) Determinare la proiezione ortogonale r0 di r sul piano α per P0 e perpendicolare a s.
Esercizio 5 Si considerino le rette
x−z+1=0
r :
y=0
s =
1
2x − z − 4 = 0
x−y−2=0
(a) Verificare che r e s sono sghembe e trovare il segmento P Q, con P ∈ r e Q ∈ s,
perpendicolare ad entrambe le rette.
(b) Trovare il piano α contenente r e parallelo ad s, e la distanza d tra s e α.
(c) Dati
r il punto T (1, 1, 1), determinare i punti R di r tali che il triangolo OT R abbia
3
area
.
2
Esercizio 6 Si considerino i piani
π1 : x − y + λz − 2 = 0
π2 : x + λy − z + 3 = 0
π3 : λx − λy + z = 0
(a) Determinare il valore di λ tale che i tre piani risultino paralleli e, per tale valore di
λ, calcolare le distanze tra i tre piani.
(b) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di λ che rendono i piani π1 , π2 e π3
a due a due perpendicolari.
(c) Fissato il valore di λ determinato al punto (a), trovare l’equazione del piano π equidistante dai piani π1 e π3
Esercizio 7 Si considerino la retta r e il piano π definiti da:
x + 2y − 5 = 0
r:
π : 2x − y + z − 1 = 0
y−z−1=0
(a) Determinare
il punto P di intersezione tra r e π, ed i punti Q1 e Q2 di r aventi
√
distanza 2 6 da π;
(b) determinare la proiezione ortogonale H di Q1 su π;
(c) determinare la retta s per P , perpendicolare a r, e contenuta nel piano α contenente
r e H.
Esercizio 8 (a) Verificare che le rette

 x=1+t
y=t
r:

z=2

 x=4−t
y = −1 + t
s:

z=t
sono incidenti e determinare il punto P di intersezione.
√
√
(b) Detti A1 e A2 i punti di r a distanza 2 da P e B1 e B2 i punti di s a distanza 2
da P , si dimostri che il quadrilatero A1 B1 A2 B2 è un quadrato e se ne determini l’area.
Suggerimento: non è necessario determinare le coordinate dei punti A1 , A2 , B1 e B2 .
(c) Detta l la retta per P e perpendicolare a r e s, se ne√determinino i punti Q tali che la
piramide di vertici A1 , A2 , B1 , B2 e Q abbia volume 4 6.
2
Esercizio 9 Si considerino le rette r e s di equazioni parametriche


 x=1−t
 x = 2t
y =2+t
y = −1 + 2t
r:
s:


z=1
z=t
(a) Verificare che r e s sono incidenti, trovare il punto P di intersezione e l’equazione del
piano α contenente le due rette.
√
(b) Detti A1 e A2 i punti di r a distanza 2 da P , e B1 e B2 i punti di s a distanza 3 da
P , determinare l’area del quadrilatero A1 B1 A2 B2 .
3