Analisi Matematica 1 data e ora – Versione A Nome, Cognome

Analisi Matematica 1
data e ora – Versione A
Nome, Cognome, Matricola:
Corso di Laurea:
Cognome del Docente:
Esercizio 1. (10 punti) Sia data la funzione
f (x) =
e2x
x|x| + 5
(a) Determinare il dominio ed eventuali asintoti.
(b) Studiare il segno.
(c) Determinare eventuali punti di non derivabilità e calcolare la derivata (dove questa esiste).
(d) Determinare eventuali punti di massimo e di minimo relativo, e gli intervalli di monotonia.
(e) Tracciare il grafico qualitativo.
(f) Dire quanti sono i punti in cui la retta y = ȳ interseca il grafico della funzione, al variare di ȳ
nell’intervallo (−∞, 0).
Esercizio 2. (8 punti) Data la funzione
f (x) = |x − 2| sin(x − 3),
determinare l’area della parte di piano compresa fra l’asse delle x e il grafico di f (x), per
3−
π
π
≤x≤3+ .
2
2
Quesito 1. (6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle.
Quesito 2. (6 punti)
(a) Sia f : R → R continua, derivabile, tale che f (−10) = f (7) = 0. Qual è il minimo numero di punti
stazionari della funzione g(x) = (cosh(f (x))) ? Motivare la risposta.
R +∞
(b) Siano f, g : R → R due funzioni continue tali che f ≤ g, e per cui l’integrale improprio −∞ g(x) dx
R +∞
sia convergente. Dire se necessariamente anche l’integrale improprio −∞ f (x) dx è convergente,
motivando la risposta.
Analisi Matematica 1
data e ora – Versione A
Nome, Cognome, Matricola:
Corso di Laurea:
Cognome del Docente:
Esercizio 1. (10 punti) Si consideri la funzione
r
f (x) =
x3 − 27
2x
Si chiede di:
(a) determinare il dominio di f (x), trovare i limiti agli estremi e gli eventuali asintoti;
(b) studiare la derivabilità della funzione;
(c) determinare gli intervalli di monotonia di f (x) e gli eventuali punti di massimo e di minimo locale
ed assoluto;
(d) tracciare il grafico qualitativo di f (x) utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti;
(e) determinare l’intervallo massimale contenente il punto x = −8 in cui f (x) è invertibile .
Esercizio 2. (8 punti) Determinare tutte le soluzioni y(t) dell’equazione differenziale
y 00 + 4y = t.
Quesito 1. (6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.
Quesito 2. (6 punti)
(a) Sia f (x) = 4 − |x|; tracciare il grafico di f (x) nell’intervallo I = [−2, 2] e determinare la media
integrale di f (x) nel medesimo intervallo. Come si interpreta geometricamente il risultato ottenuto?
(b) Interpretare geometricamente la disuguaglianza triangolare |z + w| ≤ |z| + |w| nel piano complesso.