aver compreso alcuni concetti di base

Università degli Studi di Genova
Concorso per l'ammissione ai corsi TFA - classe 049 - a.a. 2012/13
seconda prova scritta
Affrontando i quattro quesiti che compongono la prova i candidati devono dimostrare di
– aver compreso alcuni concetti di base (scientifici e matematici),
– saperne discutere utilizzando sia il linguaggio corrente che linguaggi specialistici,
– sapersi esprimere in modo corretto, sintetico, efficace e comprensibile (anche dal punto di vista
calligrafico),
utilizzando al più due facciate di protocollo (tra testo ed eventuali immagini) per la risposta ad
ogni quesito.
Per i diversi quesiti si usino fogli procollo distinti. L'elaborato deve essere consegnato entro 3 ore
dall'inizio della prova.
Ogni quesito è articolato in 3 domande, aventi ugual peso valutativo.
QUESITO 1
Sotto sono riprodotti l'istogramma di distribuzione e il box-plot relativi all'età dei morti in Italia nel
2006 (l'istogramma è ottenuto classificando i morti nelle fasce di età in anni [0,5), [5,10), [10,20),
…). Sull'asse verticale dell'istogramma sono rappresentate le densità di frequenza (ossia le
frequenze relative divise per le ampiezze degli intervalli). Il box-plot evidenzia con un rettangolo il
50% centrale dei dati; la linea che lo divide corrisponde al 50º percentile; i "pallini" corrispondono
al 5º e al 95º percentile.
A) Qual è la percentuale dei morti di almeno 90 anni? (arrotonda a 2 cifre)
Quanto vale la mediana? Scegli tra: 55.0, 75.6, 81.2, 83.9, 90.3
Quanto vale il 10º percentile? Scegli tra: 33.7, 45.5, 54.6, 64.4, 75.6
Quanto vale la media? Scegli tra: 55.0, 75.1, 81.1, 84.0, 85.2
Motiva, brevemente, le risposte.
B) Evidentemente questo è un fenomeno che ha andamento non gaussiano. Invero sono ben pochi i
fenomeni le cui misure hanno andamento gaussiano, anche in ambito fisico. Per quali motivi la
distribuzione gaussiana è importante nelle applicazioni?
C) Una delle distribuzioni che ha maggiori applicazioni nelle scienze sia tecniche che sociali è la
distribuzione esponenziale, che ha una funzione di densità, definita in [0, ∞), del tipo:
x → h·ek x.
Se h = 0.4, quanto vale k?
Schizza il grafico di tale funzione di densità
QUESITO 2
A) Sotto sono riprodotti (con la stessa scala) i grafici di tre funzioni.
Qual è quello di x → sin(1/x)·x? (motiva la risposta)
È possibile estendere tale funzione in modo che risulti continua in R? (motiva la risposta)
B) Sappiamo che la "lunghezza" del grafico di una funzione F continua (o prolungabile per
continuità) in un intervallo chiuso e limitato di estremi A e B può essere definita come l'integrale
tra A e B della radice quadrata di 1 + F' (x)².
In questo modo si può ottenere che la lunghezza del grafico della nostra funzione tra 1/4 e 1 è
1.341752963…. Che cosa si può dire di quella tra −1 e 1? (si può dimostrare che, in generale, la
lunghezza di un grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è un numero
finito o sappiamo che potrebbe essere infinita o sappiamo che potrebbe non esistere? e in questo
caso sappiamo che …)
C) Esitono figure piane illimitate che hanno area finita? Se "sì" fanne un esempio esplicito
(descritto, e motivato, in termini analitici); se "no" argomenta opportunamente la loro non
esistenza.
Traccia delle risposte:
1) (A) area = (0.033+0.015+0.004+0.0005)*5 = 0.026 = 26%
mediana = 83.9
10° percentile = 64.4 (unico valore compreso tra 5° e 25°)
media (data la coda a sinistra deve essere inferiore alla mediana) = 81.1
(B) per il t. limite centrale le medie hanno andamento gaussiano
(C) k = −h (affinché l'integrale sia 1; ma la distribuzione esponenziale dovrebbe essere comunque
nota)
2) (A) (III), sì
(B) essere infinita, e in questo caso è tale (è l'esempio classico che dovrebbero aver visto anche nei
corsi di analisi - i matematici solo se non hanno avuto Bottaro o la Aruffo - e che "si dovrebbe"
vedere anche a scuola).
(C) La gaussiana o una funzione del tipo 1/x^A, prendendo come dominio (0,1] o [1,∞) a seconda
del valore di A.
Rispondere ai quesiti, giusticando esaurientemente ogni risposta.
3) Una massa m parte da ferma dalla sommita di una sfera piena di raggio R e scivola lungo la sua
supercie (vedere gura).
a)
b)
c)
d)
Determinare la reazione vincolare quando la massa m si trova nella posizione = 30.
Determinare il vettore accelerazione in funzione di .
Per quale valore di la massa m abbandona la sfera?
Se tra massa e sfera vi e attrito, l'angolo di stacco e maggiore o minore rispetto al caso c)?
4) In un apparato sperimentale e possibile visualizzare la traiettoria di un fascio di elettroni che viene
accelerato da una dierenza di potenziale V (potenziale di accelerazione) stabilita tra un elettrodo
negativo (catodo) ed uno positivo (anodo).
a) Determinare la velocita di un elettrone quando raggiunge l'anodo, ipotizzando che parta da
fermo.
Nel volume occupato dall'apparato sperimentale viene acceso un campo magnetico uniforme B~ diretto
perpendicolarmente alla direzione del moto degli elettroni del fascio.
b) Descrivere e valutare quantitativamente la traiettoria percorsa dagli elettroni del fascio.
c) Discutere come e possibile misurare la massa dell'elettrone me , assumendo nota la sua carica e,
in funzione di tutte le grandezze misurabili dell'apparato sperimentale.
Esprimere tutti i risultati in funzione me, e e delle grandezze misurate.