estremanti funzioni due variabili
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Capitolo IV MASSIMI E MINIMI DELLE FUNZIONI REALI A DUE VARIABILI REALI In questo quarto capitolo introduciamo alcuni metodi per la ricerca dei punti estremanti di una funzione reale a due variabili reali. Iniziamo con il dare la definizione di punto di massimo e minimo. Definizione 1.1 Data una funzione z = f(x,y) definita in un insieme D ⊆ ℜxℜ , il punto P0 ( x 0 , y 0 ) di D si dice: • punto di massimo relativo se esiste un intorno di P0, incluso in D, per cui valga: f ( x , y) ≤ f ( x 0 , y 0 ) ; • punto di minimo relativo se esiste un intorno di P0, incluso in D, per cui valga: f ( x , y) ≥ f ( x 0 , y 0 ) . Si parla invece di punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni precedenti sono vere ∀( x , y) ∈ D . I punti di massimo e di minimo (assoluti o relativi) vengono detti punti estremanti della funzione. Essi si diranno liberi se si ottengono considerando che le variabili coinvolte non hanno legami tra loro e sono libere di assumere qualunque valore del dominio. IV-1 Anche per le funzioni reali di due variabili reali è possibile calcolare le derivate ma in questo caso, essendo due le variabili coinvolte, occorre specificare la variabile rispetto alla quale si deriva e quindi si parla di derivate parziali. Definizione 1.2 Si definisce derivata parziale prima della funzione z = f(x;y) rispetto alla variabile x, la derivata prima della funzione quando si considera x come variabile ed y come costante e si indica così f x′ ( x, y) oppure z ′x ( x, y) oppure ∂f . ∂x Analogamente, si definisce derivata parziale prima della funzione z = f(x;y) rispetto alla variabile y, la derivata prima della funzione quando si considera x come costante ed y come variabile e si indica così f y′ ( x , y) oppure z ′y ( x , y) oppure ∂f . ∂y Se le derivate prime f x′ ( x, y) e f y′ ( x , y) sono funzioni a loro volta derivabili, si possono calcolare le loro derivate seconde della funzione f(x,y). Tali derivate sono quattro: due derivate si ottengono dalla f x′ ( x, y) e due dalla f y′ ( x , y) . Definizione 1.3 Si definisce derivata parziale seconda della funzione z = f(x;y) rispetto alla variabile x, la derivata prima della funzione f x′ ( x, y) quando si considera x come ′′ ( x, y) oppure z′xx ′ ( x , y) o anche variabile ed y come costante e si indica così f xx ∂ 2f . ∂x 2 IV-2 Si definisce derivata parziale seconda mista della funzione z = f(x;y) rispetto a x e a y la derivata prima della funzione f x′ ( x, y) quando si considera y come ′′ ( x , y) oppure z ′xy ′ ( x , y) o anche variabile ed x come costante e si indica così f xy ∂ 2f . ∂x∂y Analogamente, si definisce derivata parziale seconda della funzione z = f(x;y) rispetto alla variabile y, la derivata prima della funzione f y′ ( x , y) quando si ′′ ( x , y) oppure considera y come costante ed x come variabile e si indica così f yy ′ ( x , y) o anche z′yy ∂ 2f . ∂y 2 Si definisce derivata parziale seconda mista della funzione z = f(x;y) rispetto a y e a x la derivata prima della funzione f y′ ( x , y) quando si considera y come ′′ ( x , y) oppure z ′yx ′ ( x , y) o anche costante ed x come variabile e si indica così f yx ∂ 2f . ∂y∂x Per le derivate seconde miste si ha: ∂ 2f ∂ 2f 1 = ∂x∂y ∂y∂x 1 Teorema di Schwarz: se le derivate seconde miste ∂ 2f ∂ 2f e della funzione z=f(x,y) ∂x∂y ∂y∂x esistono e sono continue in un intorno del punto P(x0, y0), allora IV-3 ∂ 2f ∂ 2f = . ∂x∂y ∂y∂x Osservazione Per il calcolo di una derivata parziale prima o seconda, si utilizzano le stesse regole valide per il calcolo delle derivate di una funzione di una sola variabile. IV.2 Ricerca degli estremi liberi di una funzione a due variabili con le derivate. Se una funzione z = f(x, y) è derivabile, per determinare i suoi punti di massimo e di minimo relativi possiamo ricorrere ad un metodo che si basa sul calcolo delle derivate parziali. Infatti, sussiste una condizione necessaria per l’esistenza di un punti di massimo o di minimo in un punto P che è data dal seguente Teorema 2.1 Perché una funzione z = f(x, y), derivabile parzialmente rispetto a x e a y, ammetta massimi o minimi è che il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a zero ammetta soluzioni: f x′ ( x 0 , y 0 ) = 0 ′ f y ( x 0 , y 0 ) = 0 condizione necessaria I punti nei quali si annullano le derivate parziali prime si dicono punti stazionari o critici. Tuttavia, non è detto che tali punti siano di massimo o di minimo. Una condizione sufficiente per stabilire di che tipo è un punto critico fu data dal matematico Hesse. IV-4 Definizione 2.1 Data una funzione z = f(x, y) definita in un insieme D ⊆ ℜxℜ , e dotata di derivate parziali seconde in D, si dice determinante hessiano H di f in un punto P(x0, y0) di D il determinante: H( x 0 , y 0 ) = f xx'' ( x 0 , y 0 ) f xy'' ( x 0 , y 0 ) '' yx '' yy f (x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) ( = f xx'' ( x 0 , y 0 ) ⋅ f yy'' ( x 0 , y 0 ) − f xy'' ( x 0 , y 0 ) ) 2 Teorema dell’Hessiano e dei punti critici. Sia z = f(x,y) definita in un insieme D ⊆ R xR e dotata di derivate prime e seconde continue in un intorno di P0(x0,y0) di D. Se f x' ( x0 , y0 ) = 0, f y' ( x0 , y 0 ) = 0 , e • • • • se H ( x0 , y0 ) > 0 e se f xx'' ( x0 , y0 ) < 0 , P0 è punto di massimo relativo; se H ( x0 , y0 ) > 0 e se f xx'' ( x0 , y0 ) > 0 , P0 è punto di minimo relativo; se H ( x0 , y 0 ) < 0 P0 è un punto di sella; se H ( x0 , y0 ) = 0, nulla si può dire riguardo P0 e per scoprirne la natura si devono utilizzare altri metodi. IV.3 Ricerca degli estremi vincolati di una funzione a due variabili. Talvolta le variabili x e y di una funzione non sono libere di assumere qualsiasi valore all’interno del dominio della funzione stessa, ma hanno tra loro un legame espresso da equazioni o disequazioni. In questo caso i valori estremanti della funzione vengono detti massimi e minimi vincolati. IV-5 Esistono tre metodi per la ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati: a) Esplicitazione del vincolo b) Moltiplicatore di Lagrange c) Linee di livello Noi analizzeremo solo il metodo dell’esplicitazione del vincolo. IV.3.1 Metodo dell’esplicitazione Quando il vincolo è un’equazione di tipo lineare g(x,y)= 0, la ricerca dei massimi e minimi vincolati può essere fatta con i metodi utilizzati per i massimi e minimi di una funzione ad una variabile. Infatti, esplicitando il vincolo rispetto alla variabile di primo grado e sostituendo quanto ricavato nella funzione assegnata, si passa da una funzione z = f(x,y) a due variabili, ad una funzione z = f(x) o z = f(y) ad una sola variabile e quindi basta cercare i massimi e minimi con i metodi utilizzati per i massimi e minimi di una funzione ad una variabile. Esempio z = x2 + y2 − 5y + 5 vincolo g ( x, y ) = 2 x − y = 0 Si risolve il sistema: z = x2 + y 2 − 5 y + 5 g ( x, y ) = 2 x − y = 0 Esplicitando una variabile nell’equazione della retta e sostituendo: z = x 2 + y 2 − 5 y + 5 ⇒ z( x ) = 5x 2 − 10x + 5 y = 2x funzione della sola variabile x. Derivando e studiando il segno della derivata prima si ottiene: z ' ( x) = 10 x − 10 IV-6 z ' ( x) = 10 x − 10 0 1 x min min(1,2) → z = 0 In generale, per determinare (se possibile) i massimi e minimi vincolati di una funzione z = f(x,y) soggetta al vincolo g(x,y)= 0, si dovrà procedere nel modo seguente: - esplicitare una variabile nella funzione g(x,y)= 0; - sostituire la variabile esplicitata nella funzione z = f(x,y ottenendo una nuova funzione in una sola variabile; - determinare i massimi e minimi di questa nuova funzione. Il metodo di sostituzione è sempre consigliabile quando è possibile esplicitare una variabile dal vincolo. IV.3.2 Ricerca dei massimi e minimi assoluti in un insieme chiuso e limitato Nei casi finora esaminati il vincolo era espresso da un’equazione rappresentata in genere da una curva nota. È chiaro che la ricerca dei massimi e minimi assoluti non richiede nessuna altra considerazione, dato che, il massimo assoluto coinciderà con il massimo dei massimi relativi e, nello stesso modo, il minimo IV-7 assoluto con il minimo dei minimi dei minimi relativi rispetto al vincolo assegnato. Massimi e minimi assoluti in un sottoinsieme chiuso e limitato. Si dice che una funzione z = f(x,y) ha un massimo assoluto in un punto P0 ( x0 , y0 ) di un sottoinsieme S del dominio D ⊆ R x R, se per ogni punto P ∈ S risulta: f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y 0 ) Analogamente, la funzione ha un minimo assoluto in un punto P0 ( x0 , y0 ) di un sottoinsieme S del dominio D ⊆ R x R, se per ogni punto P ∈ S risulta: In certi casi il vincolo può essere rappresentato da un sistema di disequazioni rappresentante una regione di piano limitata S. In questo caso si procede come segue: - si cercano gli estremi liberi (relativi) della funzione accertando se essi sono accettabili, cioè se cadono nella regione considerata; - si vede cosa accade lungo la frontiera; - infine, dal confronto fra gli estremi individuati si vede quali sono gli estremi assoluti (massimo assoluto e minimo assoluto) Esempio 1 Determinare il massimo e il minimo assoluti di z = f ( x , y) = 15x − 3xy + 9 y soggetta al vincolo: x 2 − 2x − y + 2 ≤ 0 2 x + 3y ≤ 6 IV-8 La soluzione del sistema vincolare è rappresentata dalla regione di piano S limitata dall’arco di parabola ABC e dal segmento AC rappresentata in figura: Figura IV.1 Soluzione del sistema vincolare a. Ricerca dei massimi e minimi relativi interni alla regione di piano con il metodo delle derivate. Le derivate parziali prime: ∂z = 15 − 3y ; ∂x ∂z = − 3x + 9 . ∂y 15 − 3y = 0 − 3x + 9 = 0 ⇒ y = 5 x = 3 Poiché il punto P(3,5) non appartiene alla regione di piano considerata non interessa la sua natura (max o min). b. Ricerca dei massimi e minimi appartenenti alla frontiera di S con il metodo della sostituzione. IV-9 → tratto di parabola ABC: z = f ( x , y) = 15x − 3xy + 9 y con y = x 2 − 2 x + 2 e 0 ≤ x ≤ 4 3 Si risolve il sistema: z = 15x − 3xy + 9 y 2 y = x − 2x + 2 ottenendo: z 1 ( x ) = −3x 3 + 15x 2 − 9 x + 18 funzione della sola variabile x. Derivando e studiando il segno della derivata prima si ottiene: z 1′ ( x ) = −9 x 2 + 30 x − 9 ⇒ 0 − 9 x 2 + 30 x − 9 = 0 1/3 4/3 per x 1 = 1 e per x 2 = 3 3 3 x min 149 1 16 min D , → z = 9 3 9 A(0,2) → z = 18 230 4 10 C , → z = → max 9 3 9 IV-10 → segmento AC: z = f ( x , y) = 15x − 3xy + 9 y con 2 x + 3y = 6 e 0 ≤ x ≤ 4 3 Si risolve il sistema: z = 15x − 3xy + 9 y 2 x + 3y = 6 ottenendo: z 2 ( x ) = 2 x 2 + 3x + 18 funzione della sola variabile x. Derivando e studiando il segno della derivata prima si ottiene: z ′2 ( x ) = 4x + 3 ⇒ 4x + 3 = 0 3 per x = − . 4 -3/4 0 4/3 x min in A (0,2) → z = 18 230 4 10 max in C , → z = 9 3 9 L’analisi effettuata ci permette di concludere: punti critici A(0,2) P(3,5) D(1/3,16/9) C(4/3,10/9) Valori di z 18 45 149/9 230/9 note Minimo assoluto Esterno alla regione di piano considerata minimo vincolato Massimo assoluto IV-11