Lezione 10

Finanza matematica - Lezione 10
Integrale di Îto
Abbiamo caratterizzato un generico integrale stocastico come:
ℎ
ℎ∈
ℎ
× ℝ , ℑ,
<∞
Definizione: si definisce processo di Îto il seguente processo stocastico:
dove:
i.
ii.
iii.
iv.
=
+
+
∈ℝ
| | < ∞∀$ q.c. (ovvero per ogni fissato $ la funzione
possibile dunque)
∈
è un moto browniano
è q.c. integrabile, per ogni sentiero
è generalmente chiamato drift o deriva, mentre
coefficiente di diffusione. In finanza tali
Il termine
rappresentano l’aspettativa di rendimento e la volatilità di rendimento di un portafoglio. Lo stesso integrale di Îto può
essere riscritto in forma differenziale come segue:
=
$+
=
il che di fatto rappresenta unicamente una trasposizione matematica, in quanto il termine
%&
non ha significato non essendo calcolabile la differenziazione '.
preso singolarmente
%('
L’integrale di Îto possiede le seguenti proprietà:
1)
ha sentieri continui (ciò deriva dal fatto che gli integratori che lo caratterizzano sono continui);
2)
è una martingala in , ovvero integrabile al quadrato (ciò deriva dal fatto che tale integrale in realtà è
un limite nel momento in cui al posto di si inseriscono processi semplici);
3)
$ è un processo continuo a variazione finita (ovvero lim, - → ∑ 1, 123 ∈50 123 − 1 0 < ∞ per una
partizione qualsiasi 6. Ciò deriva dal fatto che per il moto browniano 〈 , 〉 = 9 , : = $). Ne consegue che
tale processo ha variazione quadratica 0 (ciò deriva dal fatto che ogni processo con variazione <-esima finita
ha variaizone < − 1-esima infinita e variazione < + 1-esima 0. Si ricorda che ciò è vero in quanto vale che
>
∑0 123 − 1 0 ≤ supC D E23 − E D ∑0 123 − 1 0, e per tali tipi di processi D E23 − E D → 0 dunque tutto
va a 0);
4) la variazione quadratica del processo di Îto:
9 , : = plim
F 5 →
G
1 , 123 ∈5
H
123
−
1
I
ad esempio per un $J = K , L = 0, … , 2O $ − 1. Ne consegue che, indicando l’integrale di
variazione finita e quello di con Q essendo una martingala:
J
= plim RGHP 123 − P 1 I + GHQ 123 − Q 1 I + 2 GHP 123 − P 1 IHQ 123 − Q 1 IS
con P essendo a
Essendo P a variazione finita, la prima sommatoria va a 0, ∑HP 123 − P 1 I → 0, e lo stesso accade per la
terza sommatoria in quanto:
GHP 123 − P 1 IHQ 123 − Q 1 I ≤ sup0Q 123 − Q 1 0 G0P 123 − P 1 0 → 0
C
ne consegue che rimane solo la parte di martingala:
= plim G T
J
123
U = plim lim G T
5
1
O
123
1
ℎO
U
Se prendiamo una partizione 6 abbastanza fine, allora il processo ℎO sarà costante tra $J e $J V , l’unica cosa
che varierà sarà il moto browniano . Ne consegue che infittendo ulteriormente la partizione:
= plim lim G RℎJO H
5
W
O
123
−
1
I S = lim plim
O
ℎO
5
che è una comoda scrittura in quanto se
corso del tempo.
W
P5
= lim
O
ℎO
W
9 , :=
9 , : =
sarà la varianza, in questo caso cumulata nel
è la volatilità
Lemma di Îto
Lemma di Îto: siano dati:
i.
una funzione X: ℝ → ℝ di classe Z , ovvero differenziabile due volte con continuità;
ii.
un processo = + P + Q di Îto.
allora vale che:
[ =X
è un processo di Îto.
(Pseudo) Dimostrazione: la dimostrazione è fornita dallo sviluppo di Taylor al secondo grado di una funzione:
con:
X
=X
+ X\
−
^
−
+
1 \\
X
2!
=
_
−
−
−
+^
−
−
Considerando un intervallo 90, $: si definisca una partizione diadica, ovvero una partizione che si infittisce di volta in
volta dimezzando l’ampiezza degli intervalli, ∀`:
$J = 1/2O
$
$O
Abbiamo dunque che:
$JO
[ =X
=X
+ G X\ R
K
1c3
SR
K
1
−
= XR
K
1c3
$
$JO V
K
aK
S = XH
1
S + G X \\ R
2
$dOK
K
b
K
1c3
dK
I+G XR
K
1
SR
S + G^R
JeV
K
1
−
K
1c3
S−XR
K
1c3
S
K
1
−
K
1c3
SR
K
1
−
K
1c3
S
Valendo per le proprietà della variazione quadratica:
gG ^ R
K
123
−
K
1
SR
−
K
123
K
1
S g ≤ h< ^ R
e valendo che:
G X \\ R
K
1c3
G X\ R
SR
K
1
K
1c3
SR
G X\ R
K
1c3
K
123
C
S
−
K
1
K
1c3
−
i
S →
K
1c3
K
1
K
1
SGR
i
S→
i
K
123
−
K
1
S →0
9 , :
X \\
→
K
1c3
−
X\
P
X\
ne consegue che:
[ =X
=X
=X
+
+
jX \
=X
+
X\
1
+ X \\
2
+
X\
X\
+
k
+
1
2
+
1
2
1
2
X \\
X \\
9 , :
X \\
La relazione appena vista è fondamentale in finanza, in quanto definito un integrale di Îto, ad esempio relativo ad un
titolo o un portafoglio di titoli, è possibile definire su questo una sua funzione che ha tale asset come sottostante, ad
esempio un derivato, e caratterizzare l’andamento di quest’ultimo ancora con un integrale di Îto.
Osservazione: In linea di principio l’integrale che abbiamo scritto più sopra, X \
, non siamo del tutto certi
che sia un oggetto ben definito. Ponendo che X sia ad esempio il moto Browniano stesso, non è evidente che
quell’integrale sia ben definito nel senso di Îto. In effetti, senza averlo detto, stiamo utilizzando una definizione di
integrale stocastico ancora più generale di quella proposta più sopra. Si tratta di un argomento che esula dal nostro
programma ma che, ad uno studio più serio, andrebbe affrontato con cura.
Il lemma di Îto può essere esteso a casi `-dimensionali:
Lemma di Îto l-dimensionale: siano dati:
i.
una funzione X: ℝO → ℝ di classe Z , ovvero differenziabile due volte con continuità;
ii.
un processo = + P + Q di Îto.
allora vale che:
[ =X
è un processo di Îto.
Dimostrazione: con gli stessi passaggi precedenti si ottiene che:
X
V
,…,
O
=X
V
,…,
O
O
+G
JeV
mX
m J
J
1
+ GG
2
J
n
m X
m Jm
n
9
J
,
n:
Rispetto alla formula di Taylor classica si ha dunque un terzo termine. Nel caso deterministico il terzo termine non
compare, in quanto essendo riferito al tempo, deterministico e dotato quindi di variazione quadratica nulla avendo la
variazione prima finita, sarà 0. Nel caso stocastico invece si aggiunge tale terzo termine che viene per questo detto
correzione di Îto.
Vale che il prodotto di due processi di Îto:
[ = o+
[
1
[ + 9 , [:
2
+
essendo la derivata mista pari a 1 e la derivata seconda pari a 0. Ciò non rappresenta altro che la forma stocastica
dell’integrale per parti. Anche qui si ha dunque un termine di correzione ulteriore rispetto all’integrazione per parti
deterministica.
Vale che l’esponenziale di un processo di Îto è:
p = q &' = q
V ' W
'
b rs %(s t b rs %
= 1+
q &s
+
1
2
q &s 9 , : = 1 +
q &s ℎ
−
1
2
q &s ℎ
+
1
2
q &s ℎ
ed annullandosi il penultimo e l’ultimo termine si ha:
p =1+
pℎ
=uT ℎ
U
Tale forma è detta trasformata di Escher. Di fatto tale forma riassume una equazione differenziale stocastica, in cui si
chiede se esiste una p tale che soddisfi:
p = pℎ
La soluzione nel caso deterministico era:
1 p
=
p $
ℎ
→ ℎ
= log p → p = q
'
b r' %
dunque anche in questo caso rispetto al caso deterministico vi è un termine di correzione.