Pitagora con soluz.

Consolidamento
Conoscenze
1. Scrivi l’enunciato del teorema di Pitagora.
“ In ogni …triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sui due cateti.”
2. Siano c, C e i rispettivamente i cateti e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo , quale delle
seguenti scritture esprime correttamente il teorema di Pitagora?
i2=c2 +C2
i
C2=i2 + c2
c
i2=C2- c2
C
3. Completa.
a. La misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la …radice quadrata
della somma dei quadrati della misura dei due cateti………………………
b. La misura di un cateto di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la radice quadrata della
differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa e il quadrato della misura dell’altro cateto
4. Nella seguente tabella sono date, in centimetri, le misure dei cateti (c,C) oppure quelle di un
cateto e dell'ipotenusa (i) di un triangolo rettangolo.
Indica qual è la misura incognita esatta, scegliendola fra le tre opzioni proposte.
c
12
…..
16
21
C
9
8
…..
20
i
…..
10
34
……
15
5
29
28
misura incognita
16
6
32
29
17
7
30
27
5. Rispondi.
a. Che cos’è una terna pitagorica?.....una terna di numeri che soddisfa il teorema di Pitagora......
b. Quando una terna pitagorica è detta primitiva?..quando è formata da numeri primi tra di loro
c. Come possono essere ottenute le terne pitagoriche derivate?... moltiplicando o dividendo per
uno stesso, diverso da zero, numero tutti i numeri della terna......
6. Vero falso?
a. Se tre numeri rispettano la relazione pitagorica possono esprimere le misure dei lati di un
triangolo rettangolo ……V
b. Dati tre numeri a, b e c se risulta che c2=a2 + b2 allora i tre numeri formano una terna
pitagorica……………….V
c. Una terna pitagorica primitiva è formata solo da tre numeri naturali……………F
d. La terna 5, 10, 13 è una terna pitagorica………………….. F
7. Osserva la figura e rispondi:
C
a. nel triangolo ABC cosa rappresenta il segmento CH?.l’altezza relativa ad AB
b. come si chiamano i segmenti AH e HB ?...proiezioni dei cateti su i
c. nel triangolo ACH quali sono i cateti, qual è l’ipotenusa? Cateti: AH e
CH e ipotenusa AC
A
H
B
d. nel triangolo CHB quali sono i cateti, qual è l’ipotenusa? Cateti: CH e
BH e ipotenusa BC
Scegli il completamento esatto.
C
D
A
B
8. Dato il rettangolo ABCD si ha:
a. AC =
AB 2 + CB 2
AB 2 − CB 2
AB + CB
b. AB =
AC 2 + CB 2
AC 2 − CB 2
AC + CB
9. Dato il quadrato ABCD si ha:
a. d =
2l
l 2
2l
d
2
d
2
d
2
b. l =
C
D
d
l
A
B
10. Dato il triangolo equilatero ABC l’altezza si calcola :
l
3
l 3
2l 3
a. h =
2
h
h
2h
b. l =
3
3
2 3
C
l
h
H
A
l/2
B
11. Le formule relative al calcolo dell’altezza e del lato di triangolo isoscele sono state scritte in
modo sbagliato, correggile:
C
Formula errata
b
h = l2 +  
2
l
h
H
A
b/2
l = h+
B
Formula corretta
2
b
2
b
h = l2 − 
2
2
b
l = h + 
2
2
2
12. Dato il rombo ABCD il lato si calcola.
D
C
2
 d   d'
l =   − 
2  2 
d/2
2
2
 d   d'
l =   + 
2  2 
2
l=
(d )2 + (d ')2
l
d'/2
B
A
13. Nel trapezio ABCD sono stati evidenziati i triangoli rettangoli ACK e CKB.
Scrivi le formule che ti permettono, applicando Pitagora, di
D
C
conoscere: il lato obliquo, l’altezza, la proiezione, la diagonale.
A
H
K
B
CB =
CK 2 + BK 2
CK =
BC 2 − BK 2
BK =
BC 2 − CK 2
CA = AK 2 − CK 2
Abilità
1. Completa la seguente tabella riferita ad alcuni triangoli rettangoli
Cateto minore c
12 cm
18,3 cm
16 cm
Cateto maggiore C
35 cm
24,4 cm
30 cm
Ipotenusa i
37cm
30,5 cm
34 cm
2. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa misura 39 cm e
che un cateto è i 5/13 dell’ipotenusa.
[90 cm; 270 cm2]
3. Stabilisci quali delle seguenti terne di numeri rappresentano terne pitagoriche.
a. 10, 24, 26;
b. 13, 7, 11;
c. 21, 28, 35,
d. 21, 24, 50
4. Scrivi due terne pitagoriche derivate dalla terna: 8, 15, 17
………., ………., ………..;
………., ………, …………
5. L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 45 cm e il cateto maggiore è i suoi 4/5. Calcola la
misura del perimetro, dell’area e dell’altezza relativa all’ipotenusa.
[108 cm; 486 cm2; 21,6 cm]
6. Completa la seguente tabella, riferita al quadrato ABCD ( 2 = 1,414):
Area ( in cm2) Lato ( in cm ) Perimetro ( in cm ) Diagonale ( in cm )
961
31
124
31√2 ≈ 43,834
1936
44
176
44√2 ≈ 62,216
7,84
2,8
11,2
2,8√2 ≈ 3,959
1296
36
144
36 2 ≈ 50,904
C
D
d
A
l
B
7. Il lato di un quadrato è congruente al cateto maggiore di un triangolo rettangolo avente
l’ipotenusa di 52 cm e il cateto minore che supera di 7 cm 1/4 dell’ipotenusa stessa. Calcola il
perimetro e la diagonale del quadrato.
[192 cm; 67, 872 cm]
8. Completa la seguente tabella riferita ad un triangolo isoscele ABC.
AB (in cm) AC=BC (in cm) CH (in cm) P (in cm) A(in cm2)
10
13
12
36
60
24
20
16
64
192
16
17
15
50
120
9. Calcola l’area di un trapezio isoscele che ha il perimetro di 228 cm e il lato obliquo di 34 cm,
sapendo che la base minore è 2/3 della maggiore.
[2400cm2]
Esercizio 1
Soluzione:
Esercizio 2
Soluzione:
Esercizio 3
Soluzione:
Esercizio 4
Soluzione:
Esercizio 5
Soluzione:
Esercizio 6
Soluzione:
Esercizio 7
Soluzione:
Esercizio 8
Soluzione:
Esercizio 9
Soluzione:
Esercizio 10
Soluzione:
Esercizio 11
Soluzione:
Esercizio 12
Soluzione:
Esercizio 13
Soluzione:
Esercizio 14
Soluzione:
Esercizio 15
Soluzione:
Esercizio 16
Soluzione:
Esercizio 17
Soluzione:
Esercizio 18
Soluzione:
Esercizio 19
Soluzione:
Esercizio 20
Soluzione:
Esercizio 21
Soluzione:
Esercizio 22
Soluzione:
Esercizio 23
Soluzione:
Esercizio 24
Esercizio 25
Soluzione:
Esercizio 26
Esercizio 27
Soluzione:
Esercizio 28
Soluzione:
Esercizio 29
Soluzione:
Esercizio 30
Soluzione:
RECUPERO
1. Vero o falso?
a. Il teorema di Pitagora si può applicare a tutti i tipi di triangoli …………..F
b. Il teorema di Pitagora si può applicare a tutte quelle figure in cui si possono ricavare triangoli
rettangoli…......V
c. Se i lati di un triangolo formano una terna pitagorica allora il triangolo è rettangolo………..V
2. Dato il triangolo rettangolo ABC, scrivi le formule che ti permettono di
calcolare :
i
c
C
a. la misura dell’ipotenusa quando sono noti i due cateti i = c + C
2
2
b. la misura di un cateto quando sono noti l’ipotenusa e l’altro cateto … c = i 2 − C 2 ....
3. Osserva le figure e calcola quanto richiesto:
C
Q1 = 784 cm2
Q2 = 441 cm2
Q3 = 1225 cm2
Q3
Q1
C
Q3= 1156 cm2
Q2 = 900 cm2
Q1= …256 cm2..
Q3
Q1
A
A
B
B
Q2
Q2
C
Q3
Q1
Q1 = 1764 cm2
Q2 = 1600 cm2
CB = 58 cm
A
Q2
C
B
A
Q2
B
Q3= 3721cm2
Q2 = 3600 cm2
AB = 11cm
Q1
Q3
Scegli il completamento corretto.
4. Tre numeri a, b, c (con a<b<c) formano una terna pitagorica se:
a. c = a + b
b. c2= a2 – b2
c. c2= a2+ b2
5. Stabilisci quali terne di numeri possono rappresentare, in cm, i lati di un triangolo rettangolo:
a. 18, 24, 30
b. 10, 13, 15
c. 5, 12, 13
d. 9,16,18
6. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che i due cateti misurano
rispettivamente 4,8 cm e 6,4 cm.
[19,2 cm; 15,36 cm2]
C
D
7. Calcola l’area di un rettangolo sapendo che la diagonale è i 5/4 della
base e la loro somma misura 54 cm. [432cm2]
B
B
d'/2
d/2
A
D
8. Calcola il perimetro di un rombo avente le diagonali lunghe
rispettivamente 20 cm e 48 cm . (Osserva la figura nella quale
è stato già individuato un triangolo rettangolo...!)
[104 cm]
l
C
A
(punti ..../4)
C
9. L’area di un triangolo isoscele misura 1680 cm2 e l’altezza misura
70 cm. Calcola il perimetro del triangolo. (Osserva la figura……)
[196 cm]
l
h
A
H
b/2
B
10. In un trapezio isoscele la base maggiore e la base minore misurano rispettivamente 65 cm e 17
cm. Sapendo che l’altezza del trapezio misura 45 cm, calcola:
a. il perimetro del trapezio;
b. la diagonale di un quadrato che ha lo stesso perimetro del trapezio.
[184 cm; 65,044 cm]
POTENZIAMENTO
1. Vero o falso?
a. Il teorema di Pitagora permette di classificare un triangolo senza conoscere la misura degli
angoli …………….V
b. Se due triangoli rettangoli hanno uguali l’area e un cateto hanno uguale anche il perimetro….V
c. I quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo isoscele sono ciascuno la metà del
quadrato costruito sull’ipotenusa ………………V
d. Una terna pitagorica non può essere costituita da numeri decimali………..F
2. Completa le seguenti terne pitagoriche , ricordando che a < b < c
a
b
c
14
…48…
50
36
48
…60……
...33..
56
65
3. Trova la terna primitiva di ciascuna delle seguenti terne derivate
(Rifletti: se per trovare le terne derivate moltiplichi, ……………..)
Terna derivata
40, 42, 58
15, 36, 39
Terna primitiva
20 21 29
5 12 13
4. Osserva il seguente disegno che rappresenta un triangolo
rettangolo sui cui lati sono stati disegnati dei rettangoli
aventi una dimensione coincidente con un lato del triangolo.
Sapendo che AB = 4 cm, AC= 3 cm e BC = 5 cm e che
l’altezza di ogni rettangolo è doppia della base, verifica che
R3 = R1 + R2
50cm2 = 18cm2 + 32cm2
R3
C
R1
B
A
R2
5. Completa la seguente tabella in modo che i valori
assegnati alle lettere a, b, c rappresentino i lati di
un triangolo rettangolo (ricorda che a<b<c!)
a
10
3
di b =18
4
20
b
2a + 4 =
24
c
26
30
4
di a + 5 =21
5
29
C
6.
Calcola perimetro e area del triangolo ABC , sapendo
che l’altezza CH misura 12 cm. (Approssima i risultati
ai centesimi)
[73,75 cm; 196,68 cm2]
45°
30°
A
H
B
7. L’area di un rettangolo è 2352 cm2 e una dimensione è i 3/4 dell’altra. Calcola il perimetro di
un quadrato che ha il lato congruente alla diagonale del rettangolo.
[280 cm ]
8. Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O sono state condotte le tangenti alla
circonferenza nei punti A e B. Sapendo che il punto P dista dal centro 10,2 cm e che il raggio
della circonferenza misura 4,8 cm, calcola perimetro e area del quadrilatero AOBP.
[27,6 cm; 43,2 cm2]
9. Un trapezio isoscele è inscritto in una circonferenza. La base maggiore del trapezio coincide con
il diametro e misura 40 cm mentre la base minore misura 24 cm. Calcola l’altezza e l’area del
trapezio.
[16 cm; 512 cm2]
Esercizio 1
Soluzione:
Esercizio 2
Soluzione:
Esercizio 3
Soluzione:
Esercizio 4
Soluzione:
Esercizio 5
Soluzione:
Esercizio 6
Soluzione:
Esercizio 7
Soluzione:
Esercizio 8
Soluzione:
Esercizio 9
Soluzione:
Esercizio 10
Soluzione:
Esercizio 11
Soluzione:
Esercizio 12
Soluzione:
Esercizio 13
Soluzione:
Esercizio 14
Soluzione:
Esercizio 15
Soluzione:
Esercizio 16
Soluzione:
Esercizio 17
Risolvi il seguente problema mediante l’applicazione del teorema di Pitagora.
Soluzione: